2020年广西桂林市、崇左市高考数学二模试卷(理科)

1、2020年广西桂林市、崇左市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1. （5 分）已知集合 N = x|x2-x-2<1, M = -2, 0, 1,则 MAN=（）A. -1, 2 B. -2, 1 C. -2, 0, 1D. 0, 12. （5 分）设 2=峥，则 |z|=（）1 3 工A.血B. 2C. 1 + iD. 1-i3. （5 分）在数列an中，as= 5, an+1 - an-2=0 （nN+）,若 Sn = 25,则 n=（）A. 3B. 4C. 5D. 64. （5分）在某

2、项测试中，测量结果 E服从正态分布N （1, I） （r> 0）,若P （0< W<1） =0.4,则 P （0< y2）=（）A. 0.4 B. 0.8C. 0.6D. 0.25. （5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a, b分别为12, 18,则输出的a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 66. （5 分）已知 a, b6R,贝U “工>=”是 “a<b” 的（）a bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. （5分）若函数f （x） =x2ln

3、2x,则f （x）在点（/，0）处的切线方程为（）第1页（共19页）A. y=0 B. 2x-4y- 1 = 0C. 2x+4y-1 = 0 D.2x-8y-1 =08. (5 分)已知 sin (白分)=2cos(84),则 sin2 0=()A. LB. WC.皇D.&310559. (5分)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且在0, +s)上单调递增.若实数 m满足f (log3m - 1|) +f ( T) <0,则m的取值范围是()A. (- 2, 1) U ( 1, 4) B. (- 2, 1)C. (-2, 4)D. (1, 4)10. (5分)在 ABC中，内角

4、 A、B、C的对边分别是 a、b、c,若ccosB+bcosCY,且 b2+c2 - a2=Jbc,则一-=()si nAA.血B.三C. 2D2211. (5分)过双曲线x2-三二1的右支上一点P分别向圆Ci： (x+2) 2+y2 = 4和圆C2： (x-2) 2+y2=1作切线，切点分别为 M, N,则|PM|2-|PN|2的最小值为()A. 5B. 4C. 3D. 212. (5分)安排3人完成5项不同工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式种数为()A. 60B. 150C. 180D. 240二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13. (5 分

5、)已知向量由=(1, 5),吊=(2, - 1),=(m, 3),若(：+工)，则 m =.>1 ,则1的最大值为.15 . (5分)以抛物线C: y2 = 2px (p>0)的顶点为圆心的圆交 C于A, B两点，交C的 准线于D, E两点.已知|AB| = 2V, |DE| = 2/i,则p等于.第2页(共19页)16 . (5分)在大小为75°的二面角a- l- (3内有一点M到两个半平面的距离分别为1 和五，则点M到棱l的距离等于.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题， 每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考

6、生根据要求作答.(一)必考题：60分17 .已知数列an中，a1, an+1=2an+1, (n6N*).(1)求证：数列an + 1是等比数列；(2)求数列an的前n项和.18 .某汽车公司为调查4s店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的 A, B, C, D四座城市的4s店一季度汽车销量进行了统计，结果如表：城市ABCD4S店个数x2365销量y (台数)24303733(1)根据统计的数据进行分析，求 y关于x的线性回归方程;(2)现要从A, B, D三座城市的10个4s店中选取3个做深入调查，求B城市中被选中的4s店个数X的分布列和期望.附：回归方程y= ”量中的斜率和截距的最小二

7、乘法估计公式分别为:19 .已知四棱锥 S-ABCD的底面ABCD是菱形，/ ABC=嗫，SA，底面ABCD , E是SC上的任意一点.(1)求证：平面EBD，平面SAC;(2)设SA=AB = 2,是否存在点E使平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30° ?如果存在，求出点E的位置，如果不存在，请说明理由.20 .椭圆M：与+£= 1 (a>b>0)的离心率e=夸，过点A (- a, 0)和B (0, b)的 直线与原点间的距离为 日.(1)求椭圆M的方程；(2)过点E (1, 0)的直线l与椭圆M交于C、D两点，且点D位于第一象限，当普 =3时，求直

8、线l的方程.21 .设函数 f (x) = ex- (a- 1) x2 -x.(1)当a=1时，讨论f (x)的单调性；(2)已知函数f (x)在(0, +s)上有极值，求实数a的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22 .在平面直角坐标系中，已知曲线 C的参数方程为巾(。为参数)，以原点为 极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)过点P (1, 2)倾斜角为135°的直线l与曲线C交于M、N两点，求PM2+PN2 的值.选修4-5:不等式选讲第5页(共19页)23 .已知函数 f

9、(x) =|x a|+2x,其中 a>0.(1)当a=l时，求不等式f (x) n2的解集；(2)若关于x的不等式|f (2x+a) - 2f (x) |W2恒成立，求实数a的取值范围.第 5页(共19页)A. 3B. 4C. 5D. 62020年广西桂林市、崇左市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. (5 分)已知集合 N = x|x2-x-2<1, M = -2, 0, 1,则 MAN=()A. -1, 2 B. -2, 1 C. -2, 0, 1D. 0, 1

10、【解答】解：集合 N = x|x2- x-2< 1 = x|1I<x<U,M = -2, 0, 1, .MnN = 0, 1.故选：D.2. (5 分)设 2=掾，则 |z|=()J. JA./B. 2C. 1 + iD. 1-i【解答】解：根据题意，2=瑞=岩患荒翦(-10+10i) = - 1+i,则 |Z|=.-，, (5 分)在数列an中，as= 5, an+1 - an-2=0 (nN+),若 Sn = 25,贝U n=(第11页(共19页)【解答】解：数列an中，a3= 5,由于：an+1 - an - 2= 0 （n6N+）,故：an+1 - an= 2 （常数

11、），所以：数列an为等差数列，故：an = 5+2 (n-3) = 2n - 1,所以:n(l+2nT)'一,解得：n = 5.故选：C.4. (5分)在某项测试中，测量结果E服从正态分布N (1, 1) (r> 0),若P (0< W 1) =0.4,则 P (0< y2)=()A. 0.4 B. 0.8C. 0.6D. 0.2【解答】解：随机变量X服从正态分布N (1,02), 曲线关于x=1对称，. P (0< S< 1) =0.4, .P (1< S< 2) =0.4, .P (0< S< 2) =P (0< % 1)

12、 +P (1< 次 2) =0.4+0.4=0.8,故选：B.5. (5分)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a, b分别为12, 18,则输出的a的值为()E ” , " iA. 1B. 2C. 3D. 6【解答】解：根据程序框图：a=12, b=18,由于：a* b,所以：b= b- a = 6,由于 a= 12, b=6,所以：a= 6,由于a= b,所以输出a=6.故选：D.6. （5分）已知a, b6R,贝U “工>工”是“a<b”的（）a bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D

13、.既不充分也不必要条件【解答】解：当a=-1, b=1时，满足a<b,但工不成立. a b当a= 1, b= 一 1时，满足I/,但a<b不成立.是“a<b”的既不充分也不必要条件. a b故选：D.7. （5分）若函数f （x） =x2ln2x,则f （x）在点（冬0）处的切线方程为（）A. y=0B. 2x-4y- 1 = 0C. 2x+4y-1 = 0 D. 2x-8y- 1 =0【解答】解：函数 f （x） =x2ln2x 的导数为 f' （x） = 2xln2x+x2世= 2xln2x+x,可得f （x）在（!o）处的切线的斜率为kU，可得切线方程为y=l

14、（x-）,即为 2x - 4y - 1=0.故选：B.8. （5 分）已知 sin （日咛）=2cos（9。），则 sin2 0=（）A bT c-| di【解答】解：由sin （白4） =2cos （6产全），得tan (白=2,即tan 6 4t an=27T百吧 则tan白.1-tane g3二 sin2 0=2tan 31+tan2 B 5故选：C.9. (5分)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且在0, +s)足f (log3m - 1|) +f ( T) <0,则m的取值范围是(A. (- 2, 1) U ( 1, 4)B. (- 2, 1)C. (- 2, 4)D. (1

15、, 4)【解答】ft?: vf (x)是定义在R上的奇函数，且在0, +f (x)在(-巴 0)上单调递增.上单调递增.若实数m满)上单调递增. f (log3|m1|) +f ( 1) <0,f (log31m T|) <一 f (1) = f (1), . log31m 1|< 1,.0< |m- 1|<3,解可得-2cm<4且m#1故选：A.10. (5分)在 ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、且 b2+c2 a2=6bc,贝()si nAA.也 B. gC. 2D. y【解答】解：根据题意，在 ABC中，ccosB+bcosC=V2,22

16、1 221 1 22则有cx0+bx且芋工=a=般, zacZabc,若 ccosB+bcosC=>/2,b2+c2- a2=我bc,222则 cosA=_L+£ 卫2bc=Y2,贝！J sinA=2_,22则si nA=2;2故选：C.211. （5分）过双曲线x2-二二1的右支上一点P分别向圆Cl： （x+2） 2+y2 = 4和圆C2： （x-2） 2+y2=1作切线，切点分别为 M, N,则|PM|2-|PN|2的最小值为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【解答】解：设P (x, y),由切线长定理可知|PM|2=|PCi|2- |CiM|2= (x+2) 2+y2-

17、4,|PN|2= IPC2I2- |C2N|2= (x-2) 2+y2-i,. |PM|2-|PN|2= (x+2) 2- (x-2) 2-3 = 8x-3.P在双曲线右支上，故xAl,.当乂= 1时，|PM|2一|PN|2取得最小值5.故选：A.12. （5分）安排3人完成5项不同工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式种数为（）A. 60B. 150C. 180D. 240【解答】解：根据题意，分2步进行分析：、将5项工作分成3组，3 Ipl若分成1、1、3的三组，有士1=10种分组方法， | |C2C3C1若分成1、2、2的三组，有F"： 1=15种分组方法

18、, | |则将5项工作分成3组，有10+15=25种分组方法；、将分好的三组全排列，对应 3名志愿者，有A33 = 6种情况，第10页（共19页）则有25X 6= 150种不同的分组方法；故选：B.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. （5 分）已知向量后=（1, 5）,后=（2, - 1）,日=（m, 3）,若E，（W+X）,则 m =3 .【解答】解：: a= (1, 5), b= (2, 1), c = (m, 3),= a+c= ( 1+m, 8), bX ( a + c),2 (1 + m) 8 = 0,m = 3,故答案为：3.14. （5分）若x, y满足

19、卜1 ,则q的最大值为 5【解答】解：满足约束条件 卜1的可行域：如下图所示：又（的表示的是可行域内一点与原点连线的斜率当x=1, y= 5时，工有最大值5.给答案为：5.15. （5分）以抛物线C: y-l - B内有一点M到两个半平面的距离分别为和血，则点M到棱l的距离等于2 【解答】解：如图所示,经过点M ,作ME，& MF ± & 垂足分别为 E, F .则 ME J MF ±l.设平面MEF与棱l交于点O,则1，平面MEOF .UMO.设 OM = x, / EOM=机 / MOF =贝” 以+鱼=著，sin&=g sin&=T-

20、= 2px （p>0）的顶点为圆心的圆交 C于A, B两点，交C的准线于D, E两点.已知|AB| = 2缶，|DE| = 2/,则p等于*【解答】解：由对称性可知yA=±在，代入抛物线方程可得xa=_L=旦, 2p p设圆的半径为R,则R2 =-+6,又R2=10+JL, p246=10+J4,解得p=V2.第17页（共19页）16. （5分）在大小为75的二面角cos 9i =cos a=娓事券=sinIL2L=sin（。+&）=匹x+JjZ! xL,解得x= 2.故答案为：2.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题, 每

21、个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：6017.已知数列an中，ai=1, an+i=2an+1, (n6N*).(1)求证：数列an+1是等比数列；(2)求数列an的前n项和.【解答】解：(1) ; an+1 = 2an+1, (n6N*),an+1+1 = 2 (an+1),2,.数列an+1是以2为公比的等比数列，(2)由(1)知，数列an+1是等比数列，且q=2,首项为a1+1 = 2,.an+1=2?2n1=2n,an = 2n - 1,二数列an的前 n 项和 Sn= ( 2+22+-+2n)-门=a三上-n = 2n+1 - n - 2.

22、1-218.某汽车公司为调查4s店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的A, B, C, D四座城市的4s店一季度汽车销量进行了统计，结果如表:城市A4S店个数x2销量y （台数）24BCD365303733（1）根据统计的数据进行分析，求 y关于x的线性回归方程;B城市中被（2）现要从A, B, D三座城市的10个4s店中选取3个做深入调查，求选中的4s店个数X的分布列和期望.【解答】解：（1） GE,9;31附：回归方程y= ”量中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:第21页(共19页)卜=(>4)(2-3：1)，3小30-31 + 0吗23小蚌4)(33-31= 2.9|(2

23、-4) ¥(34) +(6-4) +(5-4)一一辰32-2,9><4:1".二回归直线方程为y=2,9Hl丸4；(2) X的可能取值为：0, 1, 2, 3.r3rlr2匕下 7791P(X=0) =TT=； P(X=1)=干券Lio10P2r1r3P(X=2)=才小;P (X=3)=式二卷 v10v10X012311.20X的分布列为X的期望为E (X) =0'/十1><鲁十2></十3><吉=0.9 工>ur二 L1-L. £ Vx19.已知四棱锥 S-ABCD的底面ABCD是菱形，/ ABC=2

24、L, SA，底面ABCD , E是SC上的任意一点.(1)求证：平面EBD，平面SAC;(2)设SA=AB = 2,是否存在点E使平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30° ?如果存在，求出点E的位置，如果不存在，请说明理由.【解答】 证明：(1) SA，平面ABCD, BD?平面ABCD ,SALBD .丁四边形ABCD是菱形，ACXBD. ACnAS=A,.BD，平面 SAC.BD?平面 EBD,平面 EBD，平面 SAC.解：(2)设AC与BD的交点为O,以OC、OD所在直线分别为x、y轴，以过。垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系(如图)，则 A ( -

25、1, 0, 0), C (1, 0, 0), S ( - 1, 0, 2), B (0,-0), D (0,近，0).设 E (x, 0, z),则豆=(x+1, 0, z-2), EC= (1-x, 0, - z), r设豆=i工萩，一e0，r)，if可二瓦=(高，-Vs,备).bd=(0,忆6, 0),设平面BDE的法向量；=(x, y, z),七式叫解得；=(2, 0, 1-2为平面BDE的一个法向量.同理可得平面SAD的一个法向量为7=(匹，-1： 0),平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为 30/. cos30 = 皿 nJ_=, 2 门 =_=., 解得 )= 1.hl-l

26、nl 刃 4+CL”产 2.E为SC的中点.20 .椭圆M:与+!=1 (a>b>0)的离心率e=当,过点A (- a, 0)和B (0, b)的 直线与原点间的距离为 坐.(1)求椭圆M的方程；(2)过点E (1, 0)的直线l与椭圆M交于C、D两点，且点D位于第一象限，当瞿=3时，求直线l的方程.【解答】解(1)据题知，直线AB的方程为bx-ay+ab=0.依题意得2解得a2=2, b2=1,所以椭圆M的方程为2+y2=1.(2)设 C (xi, yi), D(X2, y2),(X2>0, y2>0,),设直线l的方程为x= my+1 (m6R).代入椭圆方程整理得

27、：(m2+2) y2+2my-1 = 0. =8m2+8>0yi+y2=-, yiy2=-.m +2m +2由器=3,依题意可得：yi= - 3y2,f m结合得，:,消去y2解得m=1, m= - 1 (不合题意).3 y2 -21 口十2所以直线l的方程为y=x-1.21 .设函数 f (x) = e<- (a- 1) x2 - x.(1)当a=1时，讨论f (x)的单调性；(2)已知函数f (x)在(0, +s)上有极值，求实数a的取值范围.【解答】解：(1) f' (x) =ex-2 (a 1) x- 1,当 a=1 时 f' (x) =ex- 1,由 f&

28、#39; (x) A0有 ex 1 A0,解得 x>0； f' (x) <0, .,.x<0. 函数f (x)在0, +oo)上单调递增，在(-OO, 0上单调递减.(2)设 g (x) = f' (x) = ex- 2 (a1) x1,贝Ug' (x) = ex- 2 (a1), 函数f (x)在(0, +s)上有极值点，.函数 g (x)在(0, +s)上有零点.当回<|时，x>0,. ex>1,. g' (x) =ex- 2 (a1) >0, ifZ-r g (x)在(0, +oo)上单调递增， .g (0) =0, .当 x>0 时 g (x) >g (0) =0 恒成立，即函数g (x)在(0, +°°)上没有零点.当 时，2 (a1) >1, ln2 (a1) >0,g' (x) =w 2 (a1) >0 时，x>ln2 (a1), g' (x) =eX 2 (a1) <0 时，x< ln2 (a- 1), g (x)在(0, ln2 (a-1)上单调递减，在ln2 (a-1), +°0)上单调递增 .g (0) =0,且 g (x)在(0, ln2 (a- 1)上单调递减，. g (ln2 (a- 1