空间平面与直线方程教学设计

1、空间平面与直线方程教学设计公共教学部数学教研室 余黎1. 教材内容分析：本教学设计所使用的教材是高等数学应用教程许艾珍、黄丽萍、李明主编，航空工业出版社2010年8月第一版。本节是第七章空间解析几何与向量代数中的第三节内容。前面已经学习了向量的相关知识并已经建立了空间直角坐标系，本节内容是向量和立体几何的第一次“结合”，同时也为下面继续学习曲面曲线方程等打下基础。因此，本节的学习有着极其重要的地位。2. 学情分析：目前数学都是大班上课，相对小班上课学生注意力不容易集中，需要教学更加“跌宕起伏”来吸引学生的注意力。目前教材内容多课时少，每节课的容量巨大，而本校的学生学习的自觉性较差，很少有学生会

2、课后预习或复习，甚至不能独立完成作业。这就要求教师充分利用好课堂45分钟，合理安排每个环节，增加学生课堂练习巩固的时间。3. 设计思想结合学生学情和本教材的特点使用情景教学的方法。首先构造数学思维活动的情节，以探索启发为主，运用合理的推理和拟真推理进行教学；设计教学活动过程联系学生的情感、意志、水平，使学生在兴奋状态下经历潜伏存疑豁然开朗的过程，也就是提出问题试一试不断尝试中增强信心下决心证明得到正确结果的过程。在新课一开始就提出了富有挑战性的问题，激发学生的浓厚兴趣和积极的求知态度。但情景只是手段、不是目的，是开端、不是终点；良好的开端是成功的一半，情景的创设不应只在课的开始阶段，而是存在于

3、整个知识的发生、发展、规律的揭示、形成和应用过程中，也就是说在整个课堂教学过程中，都根据具体情况创设合理的情景来进一步激发学生的参与热情。4. 教学目标：我确定教学目标的依据有以下三条：（1）教学大纲、考试大纲的要求（2）教材的特点：例题简单，练习有一定难度（3）所教学生的实际情况已有的认知结构及心理特征：学生观察力已具有一定的目的性、精细性、持久性，有意识记占主导地位、意义识记以占重要地位，同时概念理解能力、推理能力有所提高，具有一定的掌握和运用逻辑法则的能力，但由于认知水平的不同，学生掌握和运用逻辑法则的能力存在不平衡性。基础知识目标：掌握平面方程的三种形式，能利用它们解决相关的问题。能力

4、训练目标：逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，通过转化问题探究公式条件的过程，培养学生探索问题的精神，提高学生化归的意识和转化的能力。 个性品质目标：培养学生勇于探索，善于发现，独立的意识，不断超越自我的创新品质。5. 教学重点、难点：重点：点法式的推导证明及平面的一般方程的几种特殊情形的推导应用难点：灵活应用各种形式平面方程进行解题。 6. 教学程序第一课时 空间平面方程环节教学程序及设计设计意图及效果1. 给出定义分析定义法向量：垂直于平面的任意非零向量称为该平面的法向量。问(1)平面有多少法向量?他们之间的关系怎样?(2)法向量与平面内的向量有什么关系?

5、教师通过两个问题让学生深刻理解法向量的定义.并为下面推导点法式方程作铺垫.2 .设置问题，创设情景平面的点法式方程 在空间中给定一点m0和向量n，要求平面a过m0、且以n为法向量，那么平面a 就唯一被确定了如果已经建立了空间直角坐标系，就可以具体描述构成平面a的点的条件，这就是平面在该坐标系中的方程 如图7.16，设点m0坐标为(x0,y0,z0)，n=(a,b,c)，把n平移到以m0为始点 点m(x,y,z)Î平面a ÛnÛ×n=0，=(x-x0,y-y0,z-z0)，据向量数量积坐标公式得点m(x,y,z)在平面a上的充分必要条件是 a(x-x0)+

6、b(y-y0)+c(z-z0)=0 (7-12)称方程(7-12)为平面的点法式方程(normal form equation)1.提出问题：已知平面过一个已知点和法向量,如何求平面方程.2画出图形，标出字母，边问边答推导点法式方程我们知道，学习总与一定知识背景即情景相联系，在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验同化和索引出当前学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。3.趁热打铁，完成练习口答满足下列条件的平面方程过点（2,-3,0）,的平面方程 过点（1,2,-1）,的平面方程 过点（2,1,-3）,的平面方程归纳思考:这些方程有什么特点?通过

7、练习一方面巩固点法式,另一方面让学生自己归纳出一般式方程。学生在这个过程中自然的融入教师创设的情景中。4.变式延伸，进行重构1.教师引导：当一般方程缺了某些项后他的图象有什么特点?2.和二维平面中的情况进行类比得到什么结论.1.学生在教师引导下，在积累了已有探索经验的基础上进行讨论交流，相互评价，共同总结完成了表格。2.这一问题设计试图让学生自己得到结论,这个过程可以提高学生思维能力,得到的结果也不必死记硬背,却能让知识深刻的印在脑海中。5.主动尝试根据以上知识填空做两个练习这两个练习都应用了上面的表格中的知识，设计练习一是让学生掌握观察方程特点说出图象特点。而练习二正相反，让学生练习的是由图

8、象特点说出方程一般式6 .综合应用知识进行解题例1 求平行于x轴且过点a（1，-2，3）b（2，1，2）的平面方程。 练习1 求通过z轴且过点m（2，4，-3）的平面方程。例2 求过点（-2，1，3）且平行于向量，的平面方程。练习 已知一平面过三点a（1，1，-1)，b（-2，-2，2) c（1，-1，2)，求这个平面的方程。选取这四个题目难度逐渐加深，目标是让学生真正理解和应用平面的点法式和一般式。并归纳总结出什么场合用哪种方程。7.学生小结 教师点评本节课小结主要由学生完成知识总结，通过学习知识所体验到的数学思想方法，由学生总结和相互补充，教师适当点评，加以经验总结通过师生共同小结，巩固所

9、学知识，提炼用到的解决问题的方法，其中蕴涵的数学思想方法，培养学生归纳概括能力第二课时 空间直线方程1.引入新课在空间直角坐标系中：一个三元一次方程表示一个平面；一个三元二次方程表示一个曲面；两个曲面交线是空间曲线，两个平面的交线（ ? ）通过图形给学生直观的创设情景，用平面、曲面、曲线、直线与方程进行类比。2.给出定义分析定义由于空间的每一条直线都可以看作是两个平面的交线，故我们可以直接从平面的一般方程得到空间直线方程. 称为空间直线的一般方程.师生共同归纳出直线的一般方程3.设置问题，创设情景设直线的方向向量为s=m, n, p，为直线上的一定点(如图),求的方程.在上任取一点,则向量与s

10、平行.由两个向量平行的充分必要条件,有 (7-16)显然,当且仅当点在直线上时,方程组(7-16)成立.方程组(7-16)叫做直线的点向式方程或对称式方程提问：那么和平面一样如何求空间直线的方程呢？给出基本条件：已知方向向量为s=m, n, p，直线上的一定点，这又给学生创设情景。学生开始画图，讨论，推导，教师进行指导。最终给出结论，求出方程，教师给出命名点向式方程4.变式延伸，进行重构由直线的点向式方程容易导出直线的参数方程,如设= (为参数),则有 方程组叫做直线的参数方程教师讲解5.继续变式延伸例1求过和两点的直线方程.解 所求直线的方向向量可取为s=，因此，直线的方程可写为点向式 方程

11、称为直线的两点式方程（two points equation）教师继续给出直线的不同条件，让学生探索直线方程的第三种类型。尽管该问题是新知识，但可当做例题，让学生利用已有的知识（直线的点向式）进行求解，这样学生不仅的到了新的知识，也巩固了已学的知识。6.趁热打铁，再举一例例2 设一直线过点(2,-3,4),且与轴垂直相交,求此直线方程.解 因为所求直线与轴垂直相交,故在轴上的交点为(0,-3,0),由此得方向向量s=2,0,4,根据(7-16)得所求直线方程为，即本例可由学生在黑板上书写求解过程，除了掌握直线方程的求法，更练习了解析几何解答题的书写方法。教师和其余同学帮助共同订正。7.小组合作

12、，开展探究活动练习1 求过点p(4,-1,3)且平行于直线2 求过点p(4,-1,3)且平行于直线3 求过点p(4,-1,3)且平行于两平面和让学生分组讨论，三个联系，得出解决的方法。最终的出结论这三种类型均要转化为点向式。 8. 巩固拓展，应用知识例3化一般式方程为点向式方程和参数方程解 先在直线上找一点,令,得到解得 ，即 (0,1,4)是直线上的一点.再求直线的方向向量s. s= n1×n2=(9,7,10),因此,所给直线的点向式方程为,令上式各比值为参数,得所给直线的参数方程为练习：将方程化为一般式和参数式通过这个例子和配套练习让学生掌握三种基本的直线方程之间的互化，从而把整节课的知识内容融会贯通起来。具体处理是，例子可由学生讲解，教师板书，练习由学生分组讨论，每组派代表在黑板上板书结果，然后大家一起讨论，订正，老师给每组打分。这样可已加深学生对知识的理解，也可激发兴趣。9.学生小结 教师点评点向式方程一般方程参数式方程教师要求学生不仅要记住三种形式，而且要引导学生要掌握三种形式之间的互化，以及他们的适用范围。7教学小结与反思我这节课的特点是让学生“动”起来。 “动”体现在各个方面：即嘴动，眼动，耳动，手动，脑动。 嘴动。嘴巴是表情达意的器官，所有得人心思想