微分形式的外微分

1、第八节 微分形式的外微分一 微分形式及其外积我们知道, 一个可微函数的全微分为.它是的线性组合, 一个很自然的想法是将看作一个线性空间的基.设是上的区域, 记, ()为上连续可微函数全体. 将看作一组基, 其线性组合称为一次微分形式,简称1-形式. 1-形式的全体记为(或).如果对中的元素定义加法、数乘、零元和负元等, 就可以使成为一个上的线性空间. 对于任意:,定义和()为,进一步定义中的零元为,且定义负元为显然成为一个上的线性空间.为了得到二次微分形式, 我们先引入向量的外积这个概念. 设, 为平面上两个线性无关的向量, 我们将行列式称为向量与的外积, 记为, 即.平面上的向量的外积的讨论

2、可以推广到上去. 设定义他们的外积为.它是由所张成的平行面体的有向体积. 而且这种体积满足反对称性和分配律.类似于向量的外积, 规定.因此共有个有序元以这些有序元为基就可以构造一个线性空间. 其中的元素称为二次微分形式. 简称2-形式. 于是中的元素可以表示为.这种形式称为2-形式的标准形式.一般地, 在中任意选取个组成有序元, 记为,这里是从集合中选取的任意个整数. 规定.以这些有序元为基构造一个线性空间. 其中的元素称为次微分形式. 简称-形式. 于是一般k-形式就可以表示为.这种形式称为形式的标准形式.显然, 当时, 总有, 因此.上的连续可微函数称为形式, 它们的全体记为, 它是一个线

3、性空间, 函数是它的一个基.现在把中的理解为一种运算. 对于任意:,定义与的外积为它是中的元素.下面把这样的外积定义推广到任意的和上去. 若记为线性空间之和, 即有, 于是是一个(因)维的线性空间, 因此中的元素的一般形式为.记,. 则它是形式. 对一般形式和形式, 定义和的外积为它是形式. 对于形式,我们补充定义二 外微分的基本概念设为区域, 上的可微函数的全微分为这可以理解为: 一个-形式作了微分运算后成为了-形式.现在将微分运算推广到上去. 对中的任意一个-形式.,定义同时,对空间上的任意一个元素定义.这样,微分运算就是线性的, 即, ,其中为常数. 这样的微分运算称为外微分. 显然,.

4、性质1 设为-形式, 为-形式, 则.证明 (留作练习).设, 定义. 在下面的讨论中,我们假设微分形式的系数都具有二阶连续偏导数.例13.34 设为-形式, 证明证明 由于具有二阶连续偏导数, 因此. 所以.性质2 对任意, 有证明 由于的线性性, 只要证明这种情形即可. 这时,由于具有二阶连续偏导数, 因此. 所以.因此再由性质1可得.二 外微分的应用首先看green公式其中闭区域的边界由分段光滑的曲线l所围成. 若将看成有向面积元素,那么如果将它看成是正面积元素的话, 上式就可以表示为对于-形式, 则由外微分的定义可得.于是有下式成立. 再看stokes公式其中为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与的侧符合右手规则. 对于-形式,由外微分的定义可得于是stokes公式则变为.同样地, 对于gauss公式其中空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面所围成. 如果我们将有向体积元素看成是正体积元素的话, 它就可以表示为对于-形式, 我们有.于是gauss公式则变为.这样, green公式、gauss公式和stokes公式就可以统一地写成如下形式：.这个式子统称为stokes公式. 它说明了, 高次的微分形式在给定区域上的积分等于低一次的微分形式在