初二数学四边形中考题集特殊的平行四边形

1、参考答案与试题解析1（2006眉山）如图：mon=90°，在mon的内部有一个正方形aocd，点a、c分别在射线om、on上，点b1是on上的任意一点，在mon的内部作正方形ab1c1d1（1）连续d1d，求证：d1da=90°；（2）连接cc1，猜一猜，c1cn的度数是多少？并证明你的结论；（3）在on上再任取一点b2，以ab2为边，在mon的内部作正方形ab2c2d2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再做出一个合理的判断考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）根据已知利用sas判定oab1dad1，从而得到add1=o=90&

2、#176;；（2）作c1hon于h作c1cd1于g，那么c1g=ch，只要证得c1gd1c1b1h，得出c1g=c1h；即可得出三角形cc1h是等腰直角三角形，从而得出c1cn的度数（3）和（1）（2）均一样，求法和证法都相同解答：（1）证明：d1ad+b1ad=90°，oab1+b1ad=90°，b1ao=d1ad，ad1=ab1，ao=ad，oab1dad1，d1da=o=90°；（d1，d，c在同一条直线上）（2）解：猜想c1cn=45°证明：作c1hon于h作c1gcd1于g；则有c1g=chc1d1c+c1ed1=90°，cb1h+b

3、1ec=90°，c1d1c=c1b1e，c1d1=b1c1，d1c1e=c1hb1=90°，c1gd1c1b1h，c1g=c1h，又由ch=c1g，因此直角三角形chc1是个等腰直角三角形，c1cn=45°（3）解：作图；得add2=90°（add2=90°、c2cn=45°均可）点评：本题考查了正方形的性质和全等三角形的应用等，本题中利用全等三角形得出所求的条件是解题的关键2（2006茂名）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，如图是一副七巧板，若已知sbpc=1，请你根据七巧板制作过程的认识，解决下列问题：（1）求一只妈

4、蚁从点a沿abche所走的路线的总长（结果精确到0.01）；（2）求平行四边形efgh的面积考点：正方形的性质；七巧板；勾股定理；等腰直角三角形。专题：应用题。分析：（1）根据图，以及七巧板的性质，可知四边形efgh是平行四边形，bpc，ghn，chd，dhe都是等腰直角三角形，利用bpc的面积，可求出bp，cp，再利用勾股定理可求出bc同理，可求出cd，ch，he的长，那么就可求出abche的总长（2）可以用sefghs=sdnfsdhesghn，根据（1）可分别求出dn，hn，dh的长，那么面积就可求即等于42=2解答：解：（1）由七巧板性质可知，bi=ic=ch=he（字母i就是字母p）

5、又sbic=1，bic=90°，biic=1，bi=ic=，ab+bc+ch+he=2bc+bc+bi+bi=3bc+2bi=3×2+2×=6+26+2.8288.83即蚂蚁沿abche所走的路线的总长为8.83（2）方法一：ef=bc=2，fg=eh=bi=，点g到ef的距离为：sin45°，平行四边形efgh的面积=efsin45°=2×=2方法二：连接ge，则可知平行四边形efgh的面积为=2sbic=2点评：本题利用了正方形、等腰直角三角形的性质，以及勾股定理三角形面积公式等知识3（2006临沂）如图1，已知正方形abcd的对

6、角线ac、bd相交于点o，e是ac上一点，连接eb，过点a作ambe，垂足为m，am交bd于点f（1）求证：oe=of；（2）如图2，若点e在ac的延长线上，ambe于点m，交db的延长线于点f，其它条件不变，则结论“oe=of”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到ob=oa，又因为ambe，所以mea+mae=90°=afo+mae，从而求证出rtboertaof，得到oe=of（2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到ob=oa，再根据已知条件求证

7、出rtboertaof，得到oe=of解答：（1）证明：四边形abcd是正方形boe=aof=90°，ob=oa又ambe，mea+mae=90°=afo+mae，mea=afortboertaofoe=of（2）解：oe=of成立证明：四边形abcd是正方形，boe=aof=90°，ob=oa又ambe，f+mbf=90°，e+obe=90°，又mbf=obe，f=ertboertaofoe=of点评：本题就是一个考查正方形的性质以及三角形全等的判定问题4（2006临沂）已知正方形abcd（1）如图1，e是ad上一点，过be上一点o作be的垂

8、线，交ab于点g，交cd于点h，求证：be=gh；（2）如图2，过正方形abcd内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交ad，bc于点e，f，交ab，cd于点g，h，ef与gh相等吗？请写出你的结论；（3）当点o在正方形abcd的边上或外部时，过点o作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形abcd外一点o作互相垂直的两条直线m，n，m与ad，bc的延长线分别交于点e，f，n与ab，dc的延长线分别交于点g，h，试就该图形对你的结论加以证明考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：（1）通过构建全等

9、三角形来证明，过点a作gh的平行线，交dc于点h，交be于点o那么gh=ah，要证明gh=be只要证明三角形ahd和三角形aeb全等即可这两个三角形中已知的条件有ad=ab，有一组直角，只要再求出一组对应角相等即可得出全等的结论，我们发现eao和abe同为bea的余角，因此eao=abe，由此就构成了全等三角形判定中的asa，所以两三角形全等，那么就能得出be=ah=gh了；（2）应该相等，作法同（1），只不过要作两条辅助线，即过d作gh的平行线和过c作ef的平行线，证法和思路与（1）完全一样，因此结果也一样（3）也要通过构建全等三角形来证明，过点a作m的平行线交bc于点f，过点d作n的平行线

10、交ab于点g因此四边形affe是个平行四边形，那么af=ef，同理gh=gd，那么只要证明三角形agd和三角形abf全等即可，证明的过程和思路与（1）（2）都是一样的得出两三角形全等后，自然ef=gh了解答：（1）证明：在图1中，过点a作gh的平行线，交dc于点h，交be于点o'abcd是正方形，d=90°，had+ahd=90°ghbe，ahgh，ahbehad+bea=90°bea=ahd在bae和adh中，baeadh，be=ah=gh；（2）解：ef=gh，理由如下：过e作embc，过g作gncd，emf=gnh=90°，又ghef，eo

11、g=gof=90°，e+eqg=90°，g+eqg=90°，e=g，又gn=em，emfgnh，ef=gh；（3）解：相等证明：在图3中，过点a作m的平行线交bc于点f，过点d作n的平行线交ab于点g则有ef=af，gd=gh，由（1）可知，rtabfrtdag，af=dg从而可证明ef=gh点评：本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定，本题中利用构建全等三角形来证明线段相等是解题的基本思想5（2006锦州）如图，abc是等腰直角三角形，其中ca=cb，四边形cdef是正方形，连接af、bd（1）观察图形，猜想af与bd之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若

12、将正方形cdef绕点c按顺时针方向旋转，使正方形cdef的一边落在abc的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：一般线段的关系有数量关系和位置关系，此题af与db的关系是af=bd且afbd，要证明它们可以利用等腰直角三角形性质和正方形的性质构造全等条件证明acfbcd，然后利用全等三角形的性质可以解决题目的问题解答：解：（1）猜想：af=bd且afbd（1分）证明：设af与dc交点为gfc=dc，ac=bc，bcd=bca

13、+acd，acf=dcf+acd，bca=dcf=90°，bcd=acfacfbcdaf=bd（4分）afc=bdcafc+fgc=90°，fgc=dga，bdc+dga=90度afbd（7分）af=bd且afbd（2）结论：af=bd且afbd图形不惟一，只要符合要求即可画出图形得（1分），写出结论得（1分），此题共（2分）如：cd边在abc的内部时；cf边在abc的内部时点评：此题是开放性试题，要求学生对等腰直角三角形的性质和正方形的性质比较熟练，发挥它们的作用构造全等三角形的全等条件，然后利用全等三角形的性质解题6（2006海淀区）如图是由三个小正方形组成的图形，请你

14、在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形考点：正方形的性质。专题：作图题。分析：本题考查轴对称的概念，有多种画法，答案不唯一，本题要求在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，所以观察此图就要着重画图中那一个小正方形的轴对称图形解答：解：参考图如下图：说明：如果补成轴对称图形，但添加不止一个小正方形，给2分点评：考查轴对称图形的性质及动手操作能力7（2006哈尔滨）已知：如图，点e为正方形abcd的边ad上一点，连接be，过点a作ahbe，垂足为h，延长ah交cd于点f求证：de=cf考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：要证de=cf，可先证ae

15、=df，根据题意易得rtadfrtbae，由全等三角形的性质可得到证明解答：证明：四边形abcd为正方形，ab=ad=cd，d=bae=90°，eah+bah=90°ahbe，ahb=90°，abh+bah=90°，daf=abe（1分）在adf与bae中，有，adfbae（1分）ae=df（1分）adae=cddf，即de=cf（1分）点评：此题主要考查正方形的性质及由三角形全等证线段相等，培养同学们综合运用知识的能力8（2005无锡）已知正方形abcd的边长ab=k（k是正整数），正pae的顶点p在正方形内，顶点e在边ab上，且ae=1将pae在正方

16、形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边ab、bc、cd、da、ab、连续地翻转n次，使顶点p第一次回到原来的起始位置（1）如果我们把正方形abcd的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是pae在直线上作连续的翻转运动图2是k=1时，pae沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图请你探索：若k=1，则pae沿正方形的边连续翻转的次数n=12时，顶点p第一次回到原来的起始位置；（2）若k=2，则n=24时，顶点p第一次回到原来的起始位置；若k=3，则n=12时，顶点p第一次回到原来的起始位置；（3）请你猜测：使顶点p第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）考点：正方

17、形的性质；等边三角形的性质。专题：压轴题。分析：正pae的顶点p在正方形内按图1中所示的方式连续地翻转，顶点p第一次回到原来的起始位置，实际上正方形周长和与三角形的周长和相等，正方形的周长=4k，三角形的周长=3，即找4k，3的最小公倍数，由此求出k=1，2，3时n的值；故当k是3的倍数时，n=4k；当k不是3的倍数时，n=12k解答：解：正pae的顶点p在正方形内按图1中所示的方式连续地翻转，顶点p第一次回到原来的起始位置，实际上正方形周长和与三角形的周长和相等，正方形的周长=4k，三角形的周长=3，即找4k，3的最小公倍数；（1）当k=1时，4k，3的最小公倍数是12，故n=12；（2）当

18、k=2时，4k，3的最小公倍数是24，故n=24；当k=3时，4k，3的最小公倍数是12，故n=12；（3）当k是3的倍数时n=4k，当k不是3的倍数时n=12k点评：本题考查了等边三角形在正方形中的翻转中周长的最小公倍数问题，注意找到等量关系9（2005南充）如图，正方形abcd的边长为1 cm，ac是对角线，ae平分bac，efac（1）be是否等于cf？是（填“是”或“否”）（2）be的长为cm考点：正方形的性质；角平分线的性质；勾股定理。专题：计算题；探究型。分析：（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得be=ef；再根据正方形的性质发现ef=cf；（2）根据（1）的结论，只需求

19、得cf的长，可以根据勾股定理计算正方形的对角线的长，减去af的长解答：解：（1）efac，abbc，ae平分bac，be=ef；在rtcef中，ecf=45°，fe=cf，be=cf故答案为：是（2）正方形abcd的边长为1cm，对角线ac=cm，由（1）得，be=ef=cf=acaf=acab=（1）cm故答案为：点评：综合运用了角平分线的性质、正方形的性质以及勾股定理10（2005呼和浩特）如图，正方形abcd的对角线ac、bd相交于点o，ocf=obe求证：oe=of考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：根据正方形的性质及全等三角形的判定得到ocfob

20、e，从而可得到结论解答：证明：四边形abcd是正方形，（1分）acbd，即aob=boc=90°，（2分）bo=oc，（3分）ocf=obe，（4分）ocfobe，（5分）oe=of（5分）点评：本题利用了正方形的性质（正方形的四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等），还利用了全等三角形的判定11（2005河北）如图所示，四边形abcd是正方形，m是ab延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点d，且直角顶点e在ab边上滑动（点e不与点a，b重合），另一直角边与cbm的平分线bf相交于点f（1）如图1所示，当点e在ab边的中点位置时：通过测量de，ef的长度，猜想de与ef满足的数

21、量关系是de=ef；连接点e与ad边的中点n，猜想ne与bf满足的数量关系是ne=bf；请证明你的上述两个猜想；（2）如图2所示，当点e在ab边上的任意位置时，请你在ad边上找到一点n，使得ne=bf，进而猜想此时de与ef有怎样的数量关系考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：几何综合题。分析：根据图形可以得到de=ef，ne=bf，要证明这两个关系，只要证明dneebf即可在第二个图形中，只要验证一下这个相等关系是否还成立就可以解答：解：（1）de=ef；ne=bf；四边形abcd为正方形，ad=ab，dab=abc=90°，n，e分别为ad，ab中点，an=dn=ad

22、，ae=eb=ab，dn=be，an=ae，def=90°，aed+feb=90°，又ade+aed=90°，feb=ade，又an=ae，ane=aen，又a=90°，ane=45°，dne=180°ane=135°，又cbm=90°，bf平分cbm，cbf=45°，ebf=135°，dneebf（asa），de=ef，ne=bf（2）在da上截取dn=eb（或截取an=ae），连接ne，则点n可使得ne=bf此时de=ef证明方法同（1），证dneebf点评：解决本题的关键就是求证dneeb

23、f12（2005大连）如图，操作：把正方形cgef的对角线ce放在正方形abcd的边bc的延长线上（cgbc），取线段ae的中点m探究：线段md、mf的关系，并加以证明说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明注意：选取完成证明得10分；选取完成证明得7分；选取完成证明得5分dm的延长线交ce于点n，且ad=ne；将正方形cgef6绕点c逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；在的条件下，且cf=2ad附加题：将正方形cgef绕点c

24、旋转任意角度后（如图），其他条件不变探究：线段md、mf的关系，并加以证明考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。专题：几何综合题；压轴题。分析：根据观察它们的关系可能是md=mf，mdmf证明思路：可以通过构建三角形来证明延长dm交ce于点n，连接fd、fn根据等腰直角三角形的性质，我们可以通过证明三角形dfn为等腰直角三角形，m为其斜边的中点来实现那么我们要证明三角形dfn是个等腰直角三角形，且dm=mn即要证明df=fn，dm=mn，dfn=90度如果要证明dm=mn，那么可通过证明三角形adm和mne全等来实现由于adbe，那么1=2，m为ae中点，am=me，对顶角3=4，根据a

25、sa可得出admenm，那么可得出mn=dm，ad=ne下一步证明dcf和fne全等即可现在可得出的两个三角形中相等的条件是：ad=dc=ne，cf=ef（同为正方形cgef的边），只要证明出dcf=fen即可我们发现ce时正方形cgef的对角线，那么fce=fec=45°，dcce，那么dcf=90°fce=45°=fec，这样根据cd=ne，cf=ef，dcf=fen可根据sas得出dcf和fne全等那么df=fn，5=6，6+cfn=cfe=90°，那么5+cfn也应该是90°，又由上面证得的dm=mn，那么我们可得出dfn是个等腰直角三

26、角形，且m是斜边dn的中点，因此可得出md=mf，mdmf附加题：证明思路同上，只不过辅助线的作法略有不同，本题过点e作ad的平行线分别交dm、dc的延长线于n、h，连接df、fn还是通过证明dfn是个等腰直角三角形且m是dn的中点来实现解答：证明：关系是：md=mf，mdmf如图，延长dm交ce于点n，连接fd、fn正方形abcd，adbe，ad=dc，1=2又am=em，3=4admenmad=en，md=mnad=dc，dc=ne又正方形cgef，fce=nef=45°，fc=fe，cfe=90°又正方形abcd，bcd=90°dcf=nef=45°

27、;fdcfnefd=fn，5=6cfe=90°，dfn=90°又dm=mn=dn，m为dn的中点，fm=dn，md=mf，dmmf思路一：四边形abcd、cgef是正方形，ab=bc=cd=ad，b=bcd=cda=bad=90°cf=ef=eg=cg，g=gef=efc=fcg=90°，fce=fec=45°dcf=fec思路二：延长dm交ce于n，四边形abcd、cgef是正方形adce，dam=nem又dma=nme，am=em，admenm思路三：正方形cgef，fce=fec=45°又正方形abcd，dcb=90°

28、dcf=180°dcbfce=45°，dcf=fec=45°选取条件证明：如图正方形abcd，adbe，ad=dc，1=2ad=ne，3=4，admenmmd=mn又ad=dc，dc=ne又正方形cgef，fc=fe，fce=fen=45°fcd=fen=45°fdcfnefd=fn，5=6，dfn=cfe=90°md=mf，mdmf选取条件证明：如图，延长dm交fe于n正方形abcd、cgefcf=ef，ad=dc，cfe=90°，adfe1=2又ma=me，3=4，amdemnmd=mn，ad=enad=dc，dc=ne

29、又fc=fe，fd=fn又dfn=90°，fmmd，mf=md选取条件证明：如图，延长dm交fe于n正方形abcd、cgefcf=ef，ad=dc，cfe=90°，adfe1=2又ma=me，3=4，amdemnad=en，md=mncf=2ad，ef=2enfd=fn又dfn=90°，md=mf，mdmf附加题：证明：如图过点e作ad的平行线分别交dm、dc的延长线于n、h，连接df、fnadc=h，3=4am=me，1=2，admenmdm=nm，ad=en正方形abcd、cgefad=dc，fc=fe，adc=fcg=cfe=90°，cgfeh=9

30、0°，5=nef，dc=nedcf+7=5+7=90°dcf=5=neffc=fe，dcfneffd=fn，dfc=nfecfe=90°dfn=90°dm=fm，dmfm点评：本题考查的全等三角形的判定和正方形的性质的综合运用，本题中的难点是辅助线的作法，作好辅助线找对解题的方向是本题解答的关键所在13（2010泰安）如图，abc是等腰直角三角形，a=90°，点p、q分别是ab、ac上的一动点，且满足bp=aq，d是bc的中点（1）求证：pdq是等腰直角三角形；（2）当点p运动到什么位置时，四边形apdq是正方形，并说明理由考点：正方形的判定；

31、全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。专题：几何综合题。分析：（1）连接ad，根据直角三角形的性质可得ad=bd=dc，从而证明bpdaqd，得到pd=qd，adq=bdp，则pdq是等腰三角形；由bdp+adp=90°，得出adp+adq=90°，得到pdq是直角三角形，从而证出pdq是等腰直角三角形；（2）若四边形apdq是正方形，则dpap，得到p点是ab的中点解答：（1）证明：连接adabc是等腰直角三角形，d是bc的中点adbc，ad=bd=dc，daq=b，又bp=aq，bpdaqd（sas），pd=qd，adq=bdp，bdp+adp=90°adp

32、+adq=90°，pdq为等腰直角三角形；（2）解：当p点运动到ab的中点时，四边形apdq是正方形；理由如下：由（1）知abd为等腰直角三角形，当p为ab的中点时，dpab，即apd=90°，又a=90°，pdq=90°，四边形apdq为矩形，又dp=ap=ab，四边形apdq为正方形（邻边相等的矩形为正方形）点评：本题考查正方形的判定：邻边相等的矩形为正方形也考查了等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半14（2010莱芜）在abcd中，ac、bd交于点o，过点o作直线ef、gh，分别交平行四边形的四条边于e、g、f、h四点，连接eg、gf、fh、h

33、e（1）如图，试判断四边形egfh的形状，并说明理由；（2）如图，当efgh时，四边形egfh的形状是菱形；（3）如图，在（2）的条件下，若ac=bd，四边形egfh的形状是菱形；（4）如图，在（3）的条件下，若acbd，试判断四边形egfh的形状，并说明理由考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定。分析：（1）由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心，即可得出oe=of、og=oh；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出egfh的性质；（2）当efgh时，平行四边形egfh的对角线互相垂直平分，故四边形egfh是菱形；（3）当ac=bd时，对四边形e

34、gfh的形状不会产生影响，故结论同（2）；（4）当ac=bd且acbd时，四边形abcd是正方形，则对角线相等且互相垂直平分；可通过证bogcof，得og=of，从而证得菱形的对角线相等，根据对角线相等的菱形是正方形即可判断出egfh的形状解答：解：（1）四边形egfh是平行四边形；（1分）证明：abcd的对角线ac、bd交于点o，点o是abcd的对称中心；eo=fo，go=ho；四边形egfh是平行四边形；（3分）（2）菱形；（1分）（3）菱形；（1分）（4）四边形egfh是正方形；（1分）证明：ac=bd，abcd是矩形；又acbd，abcd是菱形；abcd是正方形，boc=90°

35、;，gbo=fco=45°，ob=oc；efgh，gof=90°；bog=cof；bogcof；og=of，gh=ef；（2分）由（1）知四边形egfh是平行四边形，又efgh，ef=gh；四边形egfh是正方形（1分）点评：此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键15（2009黄石）如图，abc中，点o是边ac上一个动点，过o作直线mnbc，设mn交bca的平分线于点e，交bca的外角平分线于点f（1）探究：线段oe与of的数量关系并加以证明；（2）当点o在边ac上运动时，四边

36、形bcfe会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；（3）当点o运动到何处，且abc满足什么条件时，四边形aecf是正方形？考点：正方形的判定；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的判定。专题：几何综合题。分析：（1）利用平行线的性质由角相等得出边相等；（2）假设四边形bcfe，再证明与在同一平面内过同一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾；（3）利用平行四边形及直角三角形的性质证明四边形aecf是正方形解答：解：（1）oe=of证明如下：ce是acb的平分线，1=2mnbc，1=32=3oe=oc同理可证oc=ofoe=of（3分）（2）四边形bcfe不可能是菱形，若b

37、cfe为菱形，则bfec，而由（1）可知fcec，在平面内过同一点f不可能有两条直线同垂直于一条直线（3分）（3）当点o运动到ac中点时，且abc是直角三角形（acb=90°）时，四边形aecf是正方形理由如下：o为ac中点，oa=oc，由（1）知oe=of，四边形aecf为平行四边形；efbc，acb=90°，aecf为矩形，又acefaecf是正方形当点o为ac中点且abc是以acb为直角的直角三角形时，四边形aecf是正方形（3分）点评：本题考查的是平行线、角平分线、等腰三角形的性质及正方形、平行四边形的性质与判定，涉及面较广，在解答此类题目时要注意角的运用，一般通过

38、角判定一些三角形，多边形的形状，需同学们熟练掌握16（2009湖州）如图：已知在abc中，ab=ac，d为bc边的中点，过点d作deab，dfac，垂足分别为e，f（1）求证：bedcfd；（2）若a=90°，求证：四边形dfae是正方形考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。专题：证明题。分析：（1）利用等腰三角形的性质，可得到b=c，d又是bc的中点，利用aas，可证出：bedcfd（2）利用（1）的结论可知，de=df，再加上三个角都是直角，可证出四边形dfae是正方形解答：证明：（1）deab，dfac，bed=cfd=90°（1分）ab=ac

39、，b=c（1分）d是bc的中点，bd=cd（1分）bedcfd（1分）（2）deab，dfac，aed=afd=90°a=90°，四边形dfae为矩形（2分）bedcfd，de=df四边形dfae为正方形（2分）点评：本题利用了全等三角形的判定和性质以及矩形、正方形的判定17（2008乌鲁木齐）如图，在四边形abcd中，点e是线段ad上的任意一点（e与a，d不重合），g，f，h分别是be，bc，ce的中点（1）证明：四边形egfh是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若efbc，且ef=bc，证明：平行四边形egfh是正方形考点：正方形的判定；三角形中位线定理；平行四边形的

40、判定。专题：证明题。分析：通过中位线定理得出gfeh且gf=eh，所以四边形egfh是平行四边形；当添加了条件efbc，且ef=bc后，通过对角线相等且互相垂直平分（efgh，且ef=gh）就可证明是正方形解答：证明：（1）g，f分别是be，bc的中点，gfec且gf=ec又h是ec的中点，eh=ec，gfeh且gf=eh四边形egfh是平行四边形（2）g，h分别是be，ec的中点，ghbc且gh=bc又efbc且ef=bc，efgh且ef=gh平行四边形egfh是正方形点评：主要考查了平行四边形的判定和正方形的性质正方形对角线的特点是：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组

41、对角18（2007昆明）已知：如图，四边形abcd中，ac与bd相交于点o，ob=od，bao=dco（1）求证：四边形abcd是平行四边形；（2）把线段ac绕o点顺时针旋转，使acbd，这时四边形abcd是什么四边形？简要说明理由；（3）在（2）中，当acbd后，又分别延长oa、oc到点a1，c1，使oa1=oc1=od，这时四边形a1bc1d是什么四边形？简要说明理由考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定。专题：几何综合题。分析：（1）根据已知条件，可知要证四边形abcd为平行四边形，只需再证oa=oc，只需证aobcod即可；（2）根据已知条件，可知要证

42、四边形abcd是菱形，只需证acbd即可；（3）要证四边形a1bc1d是正方形，只需证ac=bd即可解答：（1）证明：ac与bd相交于点o，aob=cod，（1分）在aob和cod中，aobcod，（2分）oa=oc，（3分）oa=oc，ob=od，四边形abcd为平行四边形（4分）（2）解：四边形abcd是菱形（5分）因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形（6分）（或对角线互相垂直的平行四边形是菱形）（3）解：四边形a1bc1d是正方形（7分）因为对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形（8分）（或对角线相等的菱形是正方形）点评：本题考查了全等三角形的判定及平行四边形的判定，菱形的判定，正方形

43、的判定，以及它们之间的联系19（2006济南）如图，在rtabc与rtabd中，abc=bad=90°，ad=bc，ac，bd相交于点g，过点a作aedb交cb的延长线于点e，过点b作bfca交da的延长线于点f，ae，bf相交于点h（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）（2）证明：四边形ahbg是菱形；（3）若使四边形ahbg是正方形，还需在rtabc的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件（不必证明）考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；菱形的判定。专题：几何综合题。分析：（1）可根据已知条件，或者图形的对称性合理选择全等三角形，

44、如abcbad，利用sas可证明（2）由已知可得四边形ahbg是平行四边形，由（1）可知abd=bac，得到gab为等腰三角形，ahbg的两邻边相等，从而得到平行四边形ahbg是菱形解答：（1）解：abcbad证明：ad=bc，abc=bad=90°，ab=ba，abcbad（sas）（2）证明：ahgb，bhga，四边形ahbg是平行四边形abcbad，abd=bacga=gb平行四边形ahbg是菱形（3）解：需要添加的条件是ab=bc点评：本题考查全等三角形，四边形等几何知识，考查几何论证和思维能力，第（3）小题是开放题，答案不唯一20（2009威海）如图1，在正方形abcd中，

45、e，f，g，h分别为边ab，bc，cd，da上的点，ha=eb=fc=gd，连接eg，fh，交点为o（1）如图2，连接ef，fg，gh，he，试判断四边形efgh的形状，并证明你的结论；（2）将正方形abcd沿线段eg，hf剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形若正方形abcd的边长为3cm，ha=eb=fc=gd=1cm，则图3中阴影部分的面积为1cm2考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。专题：证明题；操作型。分析：（1）先证明aehbfecgfdhg，可得出四边形ghef是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，又可得出菱形的一个角是直角，那么就

46、可得出四边形ghef是正方形（2）根据已知条件，可以知道重新拼成的四边形是正方形（因为正方形ghef的对角线翻到了外边，做了新拼成的正方形的边长），利用勾股定理可得边长是，它的面积是10减去正方形abcd的面积就是阴影部分的面积解答：解：（1）四边形efgh是正方形（1分）证明：四边形abcd是正方形，a=b=c=d=90°，ab=bc=cd=da，ha=eb=fc=gd，ae=bf=cg=dh，（2分）aehbfecgfdhg，（3分）ef=fg=gh=he，（4分）四边形efgh是菱形，（5分）dhgaeh，dhg=aeh，aeh+ahe=90°，dhg+ahe=90&

47、#176;，ghe=90°，（6分）四边形efgh是正方形（7分）（2）ha=eb=fc=gd=1，ab=bc=cd=ad=3，gf=ef=eh=gh=，根据已知条件，可以知道重新拼成的四边形是正方形（设边长为a），并且拼成的正方形的边长为正方形ghef的对角线，根据勾股定理，a=，其面积=，s阴影=10s正方形ghef=109=1点评：本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定的综合运用21（2006烟台）（1）如图1，正方形abcd中，e，f，gh分别为四条边上的点，并且ae=bf=cg=dh求证：四边形efgh为正方形（2）如图2，有一块边长1米的正方形钢板，

48、被裁去长为米、宽为米的矩形两角，现要将剩余部分重新裁成一正方形，使其四个顶点在原钢板边缘上，且p点在裁下的正方形一边上，问如何剪裁使得该正方形面积最大，最大面积是多少？考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。专题：代数几何综合题。分析：（1）根据题意易得：aehbfecgfdhg，故四边形efgh是菱形；又有4=90°，故四边形efgh是正方形；（2）先根据题意设原正方形为abcd，正方形efgh是要裁下的正方形，且ah=x；根据平行线的性质，得；解得x的值，分别求出面积并比较大小可得答案解答：（1）证明：ab=bc=cd=da，ae=bf=cg=dh，eb=fc=gd=h

49、a，a=b=c=d=90°，aehbfecgfdhg，（2分）he=ef=fg=gh，1=2，（3分）四边形efgh是菱形，（4分）1+3=90°，2+3=90°，4=90°，四边形efgh是正方形；（5分）（2）解：如图，设原正方形为abcd，正方形efgh是要裁下的正方形，且eh过点p设ah=x，则ae=1xmpah，（6分）整理得12x211x+2=0，解得，（7分）当时，s正方形efgh=，当时，s正方形efgh=，当be=dg=米，bf=dh=米时，裁下正方形面积最大，面积为米2（9分）点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质注意在正方形中的特

50、殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率22（2005河北）操作示例：对于边长为a的两个正方形abcd和efgh，按图1所示的方式摆放，在沿虚线bd，eg剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形bned从拼接的过程容易得到结论：四边形bned是正方形；s正方形abcd+s正方形efgh=s正方形bned实践与探究：（1）对于边长分别为a，b（ab）的两个正方形abcd和efgh，按图2所示的方式摆放，连接de，过点d作dmde，交ab于点m，过点m作mndm，过点e作ende，mn与en相交于点n；证明四边形mned是正方形，并用含

51、a，b的代数式表示正方形mned的面积；在图2中，将正方形abcd和正方形efgh沿虚线剪开后，能够拼接为正方形mned，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）；（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由考点：正方形的判定与性质。专题：操作型。分析：（1）首先证明四边形mned是矩形，然后依题意可证出四边形mned是正方形根据勾股定理可得正方形mned的面积过点n做npbe，然后根据全等三角形的判定求得（2）由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三

52、个正方形在拼接为一个正方形，所以可得出一个正方形解答：解：（1）证明：由作图的过程可知四边形mned是矩形在rtadm与rtcde中，ad=cd，又adm+mdc=cde+mdc=90°，dm=de四边形mned是正方形de2=cd2+ce2=a2+b2，正方形mned的面积为a2+b2；过点n作npbe，垂足为p，如图可以证明图中6与5位置的两个三角形全等，4与3位置的两个三角形全等，2与1位置的两个三角形也全等所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形mned（2）答：能理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形在拼接为一个正方形，依此类推由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过（n1）次拼接，得到一个正方形点评：本题考查的是正方形的性质以及正方形的判定定理23（2010北京）阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形abcd中，ad=8cm，ab=6cm现有一动点p按下列方式在矩形内运动：它从a点出发，沿着ab边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当p点碰到bc边，沿着bc边夹角为45°的方向作直线运动，当p点碰到