锐角三角函数全

1、锐角三角函数（1）一问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是，为使出水口的高度为，求需要准备多长的水管？探究：如图，与中，探究与的关系结论：在直角三角形中，当锐角a的度数一定时，不管三角形的大小如何，a的对边与斜边的比是一个固定值.在中，我们把锐角a的对边与斜边的比叫做a的正弦.记作如图， 同理：二例题与练习：1.例题：如图，在中, ，求和的值.2.练习：1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是 a b c d2.如图，在中, ，若，则的值是（ ）a b c d3.在中，则边的长是(

2、 )a b3 c d 4如图，已知是的直径，点、在上，且，则 = ； = .5在中，于点.已知，那么的值为（ ）a b c d-1-三在直角三角形中，当锐角a的度数一定时，不管三角形的大小如何，a的邻边与斜边的比是一个固定值，a的对边与邻边的比是一个固定值，在中，我们把锐角a的邻边与斜边的比叫做a的余弦.记作如图， 同理：在中，我们把锐角a的对边与邻边的比叫做a的正切.记作如图， 同理：四例题与练习：例题：如图，在中，求，的值.练习：1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值2.如图，在中，求、的值五课后作业：1.在中，分别是、的对边，则有（ ） a b c d本题主要考查锐

3、解三角函数的定义，同学们只要依据的图形，不难写出，从而可判断c正确.2. 在中，如果，那么的值为（ ） a b c d分析? 本题主要考查锐解三角函数及三角变换知识。其思路是：依据条件，可求出；再由，可求出，从而，故应选d.3如图：是的边上一点，且点的坐标为（3，4）， 则=_. 4.分别求出图中、的正弦值、余弦值和正切值（b层）在中，求的面积（用含有字母，的式子表示）-2三 角 函 数（2）一探究：如图，在中，.如图1，求、的值；如图1，求、的值；如图2，求、的值；二结论：1.完成表格：2.的正弦值随着的角度的增大而 .的余弦值随着的角度的增大而 .的正切值随着的角度的增大而 .三例题与练习

4、：例题1：求下列各式的值： 例题2：如图1, 在中，,，求的度数.如图2，已知圆锥的高等于圆锥的底面半径的倍,求.练习：1.求下列各式的值： 2. 在中，,，求、的度数.-3-四课堂检测：计算：1.将改写成下列形式的式子，其中错误的是（ ）a. b. c. d. 2. 在中，,，则的值是（ ）a. b. c. d. 3.在中，、都是锐角，且，则的形状为（ ）a. 直角三角形 b.钝角三角形 c.锐角三角形 d.不能确定4.化简的结果为（ ）a. b. c. d. 5.已知，则锐角的度数为 .6.已知是锐角，若，则的值为 .7. 在中，,，则的值为 .8.已知，则锐角的度数为 .9. 求下列各式

5、的值： 10. 在中，,，且，求、的长.11.如图，一块为的空地，现在这块空地上种植每平方米元的草皮，求购买这种草皮至少需要多少钱？（b层）12.如图，两地之间有一座山，汽车原来从地到地须经地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线行驶.已知，求开通隧道后，汽车从地到地比原来少走多少千米？（结果保留根号）-4-锐角三角函数（3）一例题与练习：例题1：用计算器计算下列锐角三角函数值（精确到0.0001） 由你能得到的猜想为 ，请利用下图验证你的猜想练习：用计算器计算下列锐角三角函数值（精确到0.0001） 例题2：已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角 练习： 例题3：如图，要焊接一个高

6、，底角为的人字形钢架，约需要多长的钢材（结果保留小数点后两位）练习：如图，一块平行四边形木板的两条邻边、的长分别为和，它们之间的夹角为，求这块木板的面积（结果保留小数点后两位）二课堂检测：1.求下列锐角三角函数值（精确到0.0001）：= ； = ； = .2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角，= ；，= ；，= ；-5-三课后练习：1计算的值为（ ）a b c d2在中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角的正切值（ ）a扩大4倍 b扩大2倍 c保持不变 d缩小4倍3已知为锐角，则等于（ ）a b c d4如果等腰三角形的底角为，腰长为6，那么这个三角形的面积为（ ）a4.5 b

7、c d365中，则等于（ ）a b c d6.已知，则的度数为（ ）a b c d7.已知，则 ；若，则 ；若，则 ；8.某人沿倾斜角为的斜坡前行了100，则他上升的最大高度为 （精确到0.01）9计算： 10. 已知：如图，在中，是高，求、（精确到1）（b层）1.要求的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作，使，斜边，直角边，那么，在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，可求出的值，请简要写出你添加的辅助线和求出的值2.如图，把矩形纸片放入平面直角坐标系中，使、分别落在轴、轴上，连接，将纸片沿折叠，使点落在点的位置，若，求点的坐标-6-锐角三角函数（4）一问题：如图，要想使人安全地攀上斜靠

8、在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足，现有一个长的梯子，问：使用这个梯子最高可以攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？当梯子底端距离墙面时，这个人是否能够安全使用这个梯子？二解直角三角形：在中，由 得 或由 得三例题与练习：例题1：如图，在中，解这个直角三角形.练习：如上图，在中，解这个直角三角形.例题2：如图，在中，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.练习：如上图，在中，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）.四课堂检测：在中，、的对边分别为、和，若，解这个直角三角形-7-五课后作业：1在中，、的对边分别为、和，根据下列条件解直角三角形.， ， ，2在中，于点，且，若，

9、求的长 若=15，求的长3为了测量塔高，小龙在距塔的中心点50米的处，用测角器量得仰角为，已知测角器的高度为1.52米，求塔高的长.（精确到0.1米）4.如图所示，在离铁塔150米的处用测角仪测得塔顶仰角，已知仪器高米，求铁塔高.（精确到0.1米）5如图所示，从某海岛上的观察所测得海上某船只的俯角为，若观察所与海面的垂直高度米，求船只到观察所的水平距离。（精确到0.1米）-8-锐角三角函数（5）一例题与练习：例题1：2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350的圆形轨道运行.如图，当飞船运行到地球表面上点的正上方时，从飞船能直接看到的地球最远的

10、点在什么位置？这样的最远点与点的路程是多少？（地球半径约为6400，结果保留小数点后一位）练习：如图为半径500圆形湖泊，在湖泊正东方的湖岸有一抽水房，在抽水房的正西方2000处的小明想到抽水房维修机器，请你在图中画出他走的最短路线，并求出最短路程是多少？（结果保留小数点后一位）例题2：热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为120，求这栋高楼的高度（结果保留小数点后一位）练习：某塔上有一旗杆，由距40的处观察旗杆顶部的仰角为，观察旗杆底部的仰角为，求旗杆的高度. （结果保留小数点后一位）二课堂检测：某校数学兴趣小组为了测量学校（）的

11、高度，利用附近的一座古塔（）作为参照物，用测角仪在学校的底部处测得塔顶处的仰角，爬到楼顶的处测得塔顶处的仰角，已知学校到古塔的距离是120米，求学校的高度.（精确到0.1米）-9-三课后作业：1如图，河旁有一座小山，从山顶处测得河对岸点的俯角为，测得岸边点的俯角为，又知河宽为50米.现需要从山顶到河对岸拉一条笔直的缆绳，求缆绳的长（答案可带根号）2某学校学生到旅顺白云山游玩，同时对白云塔的高度进行了测量.如图，他们在处测得塔顶的仰角为，再向塔的方向直行80步（1步=0.8）到达处，又测得塔顶的仰角为，请你用以上数据计算塔高（学生的身高忽略不计）3如图所示为住宅区内的两幢楼，它们的高，两幢楼间的

12、距离，现需要了解甲楼对乙楼采光的影响情况，当太阳光线与水平线的夹角为36º时，求甲楼的影子在乙楼上有多高？（精确到0.1米）4如图所示，某工程队修建高速公路时，需要打通东西走向的穿山隧道，为了测得的长，工程队在山的南面选取一点，用测量仪器测得，请你利用所学知识求出的长.（精确到1米）5如图所示，直升机在跨河大桥的上方点处.此时飞机离地面的高度，且、三点在同一直线上，测得大桥两端的俯角分别为，求大桥的长（精确到0.1米）-10-锐角三角函数（6）一例题与练习：例题1：如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔80海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向的处，这时

13、海轮所在的处距离灯塔有多远？（结果保留小数点后一位）练习：如图，海中有一个小岛，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，航行12海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？例题2：如图所示的梯形是水库大坝的横断面图形，斜坡的坡度，斜坡的坡度，坝顶，坝高为25.求大坝的下底宽（精确到0.1米）；求斜坡的坡角的度数（精确到分）.练习：如图，拦水坝的横截面为梯形，高，斜坡的坡度，斜坡的坡度.求坡角和；求斜坡的长（结果保留小数点后一位）二课堂检测：如图所示的梯形是水库大坝的横断面图形，坝顶宽，斜坡，坝高8米，斜坡的坡度

14、，求坝底宽.（精确到0.1米）-11-三课后作业：1.某城市将地处、两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生来往，学校准备在相距的、两地之间修建一条笔直的公路（如图），经测量在地北偏东方向、地北偏西的处有一个半径为的公园.问计划修建的公路能否穿过公园？2如图，某处海面上，一艘军舰正在基地的正东方向且距地40海里的处训练，突然接到基地命令，要该舰前往岛，接送一名病重的渔民到基地医院救治.已知岛在的北偏东方向，且在的北偏西方向，军舰从处出发，平均每小时行驶20海里，需要多长时间才能把患者送到基地医院？（精确到0.1小时）3今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位。一条

15、船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在处测得航标在北偏东60º方向上，前进100米到达处，又测得航标在北偏东45º方向上。且知在以航标为圆心，120米长半径的圆形区内有浅滩。如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？4如图所示的燕尾槽的横断面是等腰梯形，其中的坡度为，外口宽毫米，燕尾槽的深度是毫米，求它的里口宽（精确到1毫米）。（b层）5如图，在笔直的海岸线上有、三个码头，海中有一个小岛，已知点在点的北偏东的方向，点在点的北偏东的方向，点在点的正北方向，且点到点的距离为100，现有人在码头，有急事要到小岛，现知道，船的速度为，车的速度为，为此有人设计了三种方案：方案一：由

16、码头直接坐船到小岛方案二：由码头坐车到码头，再坐船到小岛方案三：由码头坐车到码头，再坐船到小岛假设途中周转的时间忽略不计，请你通过计算说明哪种设计方案最好？-12-锐角三角函数（7）一测量高度的方案设计：1.可达到被测物体底部的方案：方案一：在有阳光的日子里，为旗杆的影子，然后竖直立起一根标杆，为标杆的影子.探究原理：光的特征（太阳光是平行光线） 相似三角形的特征.提供选用的测量工具有：皮尺 标杆你需要得测此示意图中哪些数据？并分别用、来表示测得数据.写出旗杆高度的计算式：= .方案二：将标杆竖直立在地面上，人在所在直线上移动，用视线使、三点在同一直线上.探究原理：光沿直线传播 相似三角形的特

17、征.提供选用的测量工具有：皮尺 标杆你需要得测此示意图中哪些数据？并分别用、来表示测得数据.写出旗杆高度的计算式：= 方案三：在距旗杆一定距离的地面上放一个平面镜，人在所在直线上移动，直到恰好在镜子里看见旗杆顶点为止.探究原理：光的反射定律 相似三角形的特征.提供选用的测量工具有：皮尺 平面镜你需要得测此示意图中哪些数据？并分别用、来表示测得数据.写出旗杆高度的计算式：= .方案四：将测角仪竖直立在地面上.提供选用的测量工具有：皮尺 测角仪写出测量步骤.及你需要得测此示意图中的数据.并长度分别用、，角度用、来表示测得数据.写出旗杆高度的计算式：= .2.不可达到被测物体底部的方案：方案一：测量

18、工具有：皮尺 测角仪写出测量步骤.及你需要得测此示意图中的数据.并长度分别用、，角度用、来表示测得数据.写出山的高度的计算式：= .-13-方案二.如图，、是两栋地平高度相等、隔岸相望的楼房，由于建筑物密集，在的周围没有开阔地带，为了测量的高度，只能从分利用楼的空间，楼的各层都可到达并且都能看到，现仅有的测量工具为皮尺和测角器.请你设计一个测量楼高度的方案，要求写出测量步骤和必须的测量数据（用字母表示），线段长用、表示，角用、表示，并画出测量图形.用你测量的数据（用字母表示）写出计算楼高度的表达式.二测量宽度的方案设计：方案一：在河的对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和，使，然后再选一

19、点，使，用视线确定和的交点.提供选用的测量工具有：皮尺 教学用三角板 你需要得测此示意图中哪些数据？并分别用、来表示测得数据.写出河宽的计算式：= 方案二：在河的对岸选定一个目标作为点，再在河的这一边选点和，使得、三点在一条直线上，且与河岸垂直，然后确定一点，使，用视线确定与河岸的交点.提供选用的测量工具有：皮尺 教学用三角板 你需要得测此示意图中哪些数据？并分别用、来表示测得数据.写出河宽的计算式：= .方案三：如图，为测量小河的宽度，先在河岸边上任意取一点，再在河的另一岸取两点、，测得，量得.求小河的宽度；请你再设计一种测量河宽度的方案，画出设计草图并作简要说明.-14-锐角三角函数（单元

20、）例题：1如图，某校学习小组进行测量小山高度的实践活动.部分学生在山脚点测得山腰上一点的仰角为，并测得的长为180米；另一部分同学在山顶点测得山脚点的俯角为，山腰点的俯角为，请你帮助他们计算出小山的高度.（结果保留根号）2如图，小红面对黑板坐在凳子上，若把黑板看成一个矩形，其上的一个字看作点，过点的该矩形的高为，把小红的眼睛看作点.现测得：，视线恰好与水平线平行，视线与的夹角为，视线与的夹角为.求与的长.（精确到0.1米）一选择题：1在中，则的值为（ ）a b c d2若，则的值为（ ）a1 b c d3如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点与易拉罐刚好接触，则此时水杯

21、中的水深为（ ）a2 b4 c6 d84某人沿着倾斜角为的斜坡前进了米，则他上升的高度为（ ）a米 b米 c米 d米5如图，在中，则的长为（ ）a b c d6在中，斜边是直角边的4倍，则的值为（ ）a b c d7菱形的对角线，则的值为（ ）a b c d-15-8如图的方格中，则与的正切值最接近的是（ ）a b c d二填空题：9如果是等边三角形的一个内角，那么的值为 .10中，那么的长为 .11在中，的周长为60，那么的面积为 .12.若式子无意义，则的值为 .13一个等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个等腰三角形底角的正弦值为 .14某人沿着山坡从山脚到山顶共走1000米，他上升的高

22、度为500米，则这个山坡的坡度为 .15如图，四个边长为的小正方形，则的值为 .16中，若，则的度数为_17一等腰三角形的两边长分别为4和6，则其底角的余弦值为_18 中，若的平分线长为，则 =_， =_19如图，在中，则的长为_20中，若，则的长为_三解答题：21.计算下面各式： 22在锐角中，求：的值；的值23一次函数与轴、轴的交点分别为 、，若的周长为（为坐标原点），求的值-16-24某片绿地的形状如图所示，其中，求、的长（精确到1）25某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点测得某岛在北偏东方向上，航行半小时后到达点，测得该岛在北偏东方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁.试说明点是否在暗礁区域外？若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由.26如图为某一风景区的步行台阶，为了安全着想，准备将台阶进行改善，把倾角由减至，已知原台阶的长为5米（所在地面为水平面）改善后的台阶会加长多少？（精确