第四章(一)电磁波辐射与传播

1、第四章第四章 电磁波的辐射与传播电磁波的辐射与传播 4.1 滞后位滞后位一、一、 动态矢量位和标量位的波动方程动态矢量位和标量位的波动方程0矢矢由由， 称称为为函函数数。量量位位 BBAA0再再由由ttt BAAEEEt ABAE 222tt AAAJ 2t A JHH222tttJEE222 该式称为有源区域的非齐次矢量波动方程。该式称为有源区域的非齐次矢量波动方程。0 0ttAEAE)(根据矢量恒等式 ()=0，可以令 tAE则t AE因为B=0，根据矢量恒等式 ( A)=0，可以令 AB及 tttttJAJAAAJEAH222)(1 于是就得到了用位函数表示的两个方程，两个方程都包含A和

2、，是联立方程。如果适当地选择A的值，就可以使这两个方程进一步简化为分别只含有一个位函数的方程。为此选择：)(2AAEtt222tJAAt22t A 该式称为洛仑兹条件或洛仑兹规范洛仑兹条件或洛仑兹规范。此方程即为此方程即为达朗贝尔方程达朗贝尔方程而A和的方程变为: 2222kkJAA 其中k2=2。AEABj洛仑兹条件变为: j A对于正弦电磁场，上面的公式可以用复数表示为对于正弦电磁场，上面的公式可以用复数表示为222222tt AAJ 引入洛伦兹条件：引入洛伦兹条件： 0t A 可以推得：可以推得： 上方程即为上方程即为达朗贝尔方程达朗贝尔方程。 达朗贝尔方程和位函数的波动性达朗贝尔方程和

3、位函数的波动性电荷产生标量位波动电荷产生标量位波动电流产生矢量位波动电流产生矢量位波动离开源后，位函数以离开源后，位函数以波动的形式波动的形式存在并传播，由存在并传播，由此决定电磁场也以波动的形式存在和传播此决定电磁场也以波动的形式存在和传播二、二、 滞后位（推迟位）滞后位（推迟位） .设设在在时时刻刻 ，原原点点处处有有点点电电荷荷tq t ,由由于于点点电电荷荷产产生生的的位位应应具具有有球球对对称称性性，即即r t 则则在在点点电电荷荷所所在在位位置置外外，标标量量位位满满足足齐齐次次的的波波动动方方程程，即即222210rrrrt ,令令，上上方方程程变变为为：r tu r tr 22

4、220uurt 一维波动方程一维波动方程解解此此方方程程，可可以以求求得得其其解解的的形形式式为为： 1,rru r tftftccc 11,rrr tftftrcrc 第一项代表由原点沿径向向外传播的球面波第一项代表由原点沿径向向外传播的球面波第二项代表由外沿径向向原点传播的球面波第二项代表由外沿径向向原点传播的球面波f+和和f-的具体形式由具体的物理条件决定的具体形式由具体的物理条件决定 对于辐射问题取第一项，即对于辐射问题取第一项，即 1,rr tftrc 说明：说明：对比点电荷产生的电位函数，可知：对比点电荷产生的电位函数，可知： 1,4rr tq trc rq tqc 用用替替换换静

5、静电电场场中中的的 从上表达式可知，在从上表达式可知，在r点处，点处，t时刻的标量位不是时刻的标量位不是由此时刻的电荷分布情况决定的，而是由此时刻的电荷分布情况决定的，而是由由t-r/c时刻时刻的电荷分布决定的，即场点处的标量位变化的电荷分布决定的，即场点处的标量位变化滞后于滞后于源源点的变化。点的变化。滞后的时间等于源的变动以速度滞后的时间等于源的变动以速度c从源点从源点传播到场点所需要的时间传播到场点所需要的时间。因此，定义：因此，定义：连续分布体电荷在空间产生的标量位函数为：连续分布体电荷在空间产生的标量位函数为： 1,4Vtr ctdVr r 1,4Vtr ctdVr r标量滞后位标量

6、滞后位同理，可知矢量滞后位表示为：同理，可知矢量滞后位表示为： ,4Vtr ctdVr JA r /),(4),(VcdRvRtrJtrA/),(41),(VdRvRtrtr在介质中得到达朗贝尔方程的积分解形式为在介质中得到达朗贝尔方程的积分解形式为 对于正弦电磁波，电流和电荷以正弦规律变化，标量对于正弦电磁波，电流和电荷以正弦规律变化，标量滞后位、矢量滞后位的复数形式为：滞后位、矢量滞后位的复数形式为： 14jkrVedVr r 4jkrVedVr JA r 4.2 电偶极子的辐射电偶极子的辐射一、一、 电偶极子的电磁场电偶极子的电磁场v电磁辐射系统最简单的形式是电磁辐射系统最简单的形式是电

7、偶极子电偶极子和和磁偶极子磁偶极子。v电偶极子为长度电偶极子为长度远小于波长远小于波长的载流线元，也称的载流线元，也称元天线元天线。v电偶极子辐射是天线工程中最基本的问题。电偶极子辐射是天线工程中最基本的问题。设电偶极子电流为设电偶极子电流为I ，长度为，长度为dl，电流方向为，电流方向为z向。可知：向。可知：zzIe IdleSdlJdVS 代入矢量滞后位复数表达式，可以求得代入矢量滞后位复数表达式，可以求得 4jkrzIdleer A r 由矢量位的定义可知：由矢量位的定义可知：B A 电基本振子的电磁场计算电基本振子的电磁场计算 电偶极子 电基本振子的辐射场电基本振子的辐射场 电流元与短

8、对称振子 取短导线的长度为dl，横截面积为S，因为短导线仅占有一个很小的体积dV=dlS，故有 zzIdleSdleSIdVrJ) (又由于短导线放置在坐标原点，dl很小，因此可取r=0，从而有R=|r-r|r。 jkrzjkRlzeRIdleeRIdlerA44)(sincoszzrrrAeAeAeAeAeA0sincossinsin11)(2zzrrAArerreerArH由此可解得 jkrrekrkrjIdlkHHH2214sin00）（求得电偶极子在空间中产生的磁场为：求得电偶极子在空间中产生的磁场为：011()sin4rjkrHHHIdleHjkrr A 由麦克斯韦方程，知：由麦克斯

9、韦方程，知：HjE 2221()cos21()sin40jkrrjkrIdleEjjkrrIdlejkEjkrrrE 电基本振子的电磁场分析电基本振子的电磁场分析 1. 近区场近区场 当kr1时，r1时，r/2，即场点P与源点距离r远大于波长的区域称为远区。 在远区中， 32)(1)(11krkrkr远区电磁场表达式简化为 2sinsin42sinsin42jkrjkrjkrjkrIdlkIdlEjejerrIdlkIdlHjejerr 场的方向：电场只有E分量；磁场只有H分量。其复坡印廷矢量为 2*2121*21EeHEeHESrr可见，E、H互相垂直，并都与传播方向er相垂直。因此电基本振

10、子的远区场是横电磁波(TEM波)。 场的相位：无论E或H，其空间相位因子都是-kr，即其空间相位随离源点的距离r增大而滞后，等相位面是r为常数的球面， 所以远区辐射场是球面波。由于等相位面上任意点的E、H振幅不同，所以又是非均匀平面波。E/H=是一常数，等于媒质的波阻抗。 场的振幅：远区场的振幅与r成反比；与I、dl/成正比。值得注意，场的振幅与电长度dl/有关，而不是仅与几何尺寸dl有关。 场的方向性：远区场的振幅还正比于sin，在垂直于天线轴的方向(=90)，辐射场最大；沿着天线轴的方向(=0)， 辐射场为零。这说明电基本振子的辐射具有方向性， 这种方向性也是天线的一个主要特性。 二、电偶

11、极子的辐射方向图因子二、电偶极子的辐射方向图因子 电偶极子的辐射场分布是方向角电偶极子的辐射场分布是方向角 的函数，为了便于的函数，为了便于分析天线辐射场的空间分布情况，我们将分析天线辐射场的空间分布情况，我们将离开天线一定离开天线一定距离处，场量随角度变化的函数距离处，场量随角度变化的函数f( , )称为天线方向图称为天线方向图因子。因子。 根据方向图因子绘制的图形，称为根据方向图因子绘制的图形，称为方向图。方向图。电偶极子电偶极子(元天线元天线)的方向图因子为：的方向图因子为：( , )sinf 元天线方向图元天线方向图从方向图可知：从方向图可知：在垂直于天线轴的方向上辐射最强；在垂直于天

12、线轴的方向上辐射最强；沿天线轴的方向上辐射最小沿天线轴的方向上辐射最小(为零为零)；天线方向图与天线方向图与 无关，呈轴对称。无关，呈轴对称。三、天线的几个重要参数：三、天线的几个重要参数：1、方向性系数、方向性系数D 定义：在相同辐射功率下，某天线产生最大辐射定义：在相同辐射功率下，某天线产生最大辐射强度与点源天线在同一点处产生的辐射强度的比值，强度与点源天线在同一点处产生的辐射强度的比值，称为该天线的方向性系数。称为该天线的方向性系数。220EDE 天线的方向性系数表征天线集中辐射的程度。天线的方向性系数表征天线集中辐射的程度。2、天线效率、天线效率 inPP 辐辐射射功功率率输输入入功功

13、率率3、天线增益、天线增益G 要在天线最大辐射方向产生相等的电场强度的条要在天线最大辐射方向产生相等的电场强度的条件下，点源天线需要输入的功率与某实际天线需要输件下，点源天线需要输入的功率与某实际天线需要输入功率的比值，称为该天线的增益。入功率的比值，称为该天线的增益。GD 如果以电基本振子天线为球心，用一个半径为r的球面把它包围起来，那么从电基本振子天线辐射出来的电磁能量必然全部通过这个球面，故平均坡印廷矢量在此球面上的积分值就是电基本振子天线辐射出来的功率Pr。因为电基本振子天线在远区任一点的平均坡印廷矢量为 222*sin221212121Re*21RerIdleHeEeHEeHESrr

14、rrav四、能流密度矢量四、能流密度矢量 所以辐射功率为 223022202023134222sin222sinsin221IdlIdldIdlddrrIdldSSPSavr以空气中的波阻抗 1200002240rIdlP代入， 可得 式中I的单位为A(安培)且是复振幅值，辐射功率Pr的单位为W(瓦)，空气中的波长0的单位为m(米)。 22212( , , )80() dlPS rdI 电基本振子幅射出去的电磁能量既然不能返回波源， 因此对波源而言也是一种损耗。利用电路理论的概念，引入一个等效电阻。 设此电阻消耗的功率等于辐射功率，则有 rrRIP221式中Rr称为辐射电阻。 2220280r

15、rPdlRI 例例 1 已知电基本振子的辐射功率Pr， 求远区中任意点P(r, , )的电场强度的振幅值。 解：解： 利用 jmeIIk,2远区辐射场的电场强度振幅为 sin200rdlIEmm2040/rmPdlIrPErmsin103 例例 2 计算长度dl=0.10的电基本振子当电流振幅值为2 mA时的辐射电阻和辐射功率。 解：解： 8957. 7) 1 . 0(808022202dlRr辐射功率为 辐射电阻 23 211(2 10 )7.895715.79122rrPIRW 4.3 磁基本振子的辐射场磁基本振子的辐射场 一、一、 磁基本振子的辐射场磁基本振子的辐射场 磁基本振子 lrr

16、jkljkRdlrreIdlReIrA| |44)(| | 上式的积分严格计算比较困难，但因r=a，所以其中的指数因子可以近似为 |)(|)(21)(122)(rRjkrRkrRjkerRjkljkrljkrdleIjkrrdlIejkrrA4| |4)1 ()(324sin4| |4rrmrSIerrdlIl 该式中的m=eza2I=azSI是复矢量。于是有 jkrejkrrISerAsin)1 (4)(2代入H=-1A可得磁基本振子的磁场为 jkrrerjkrISH231cos201sin4223HerkrjkrISHjkr再由E=(j)-1H，可得磁基本振子的电场为 2001sin4rj

17、krEEISkjkEjerr 磁基本振子的远区辐射场： jkrjkrerISerISkHsinsin422HerISerISkEjkrjkrsinsin422 磁基本振子的远区辐射场具有以下特点： 磁基本振子的辐射场也是TEM非均匀球面波。 E/(-H)=。 电磁场与1/r成正比。 与电基本振子的远区场比较，只是E、H的取向互换，远区场的性质相同。 222*sin2121Re*21RerISeHEeHESrrav辐射功率为 22222222202034382sinsin21ISISddrrISdSSPSavr以空气的波阻抗代入上式，以空气的波阻抗代入上式， 有有 24062202160160I

18、aISPr辐射电阻为 426422002320320rrPaSRI 例例 1 将周长为0.10的细导线绕成圆环，以构造电基本振子，求此电基本振子的辐射电阻。 解解： 此电基本振子的辐射电阻为 246406109739. 101. 021320320aRr 长度为此磁基本振子周长的电基本振子的辐射电阻远比磁基本振子的辐射电阻大，即电基本振子的辐射能力大于磁基本振子的辐射能力。 例例 2 沿z轴放置大小为为I1l1的电基本振子，在xoy平面上放置大小为I2S2的磁基本振子，它们的取向和所载电流的频率相同，中心位于坐标原点，求它们的辐射电场强度。 解：解：电基本振子和磁基本振子在空间任意点产生的合成

19、辐射场为 reSIelIjEEeEeEEEjkrsin22221121这是一椭圆极化波。当 时是右旋圆极化波。 2221122SIlI 对偶原理对偶原理 引入假想的磁荷和磁流概念之后，磁荷与磁流也产生电磁场， 因此麦克斯韦方程组可修改为 mmBDHjJEEjJH回顾回顾 在无界的简单媒质中，如果存在“电源”J、，它们产生的电磁场用Ee、He表示，则其满足的麦克斯韦方程组为 0eeeeeeBDHjEEjJHmmmmmmmmBDHjJEEjH0 如果存在“磁源”Jm、m，它们产生的电磁场用Em、Hm表示，则其满足的麦克斯韦方程组为 mmmemeJJHEEH, 例例 应用对偶原理，求磁基本振子的远区

20、辐射场。 解：解：引入假想的磁荷与磁流概念之后，载流细导线小圆环可等效为相距dl，两端磁荷分别为+qm和-qm的磁偶极子，其磁偶极距 ISedlqedlqpzmzmm由此可得磁基本振子的磁流 )cos(tIdtddlSdtdidlSdtdqimmm其对应的磁流复量为 )(jmmeIIIdlSjI如果定义磁偶极子对应的磁流元为Imdl，那么它与电流环的关系为 ISjISjkSIjdlIm2或 dlIjISm2sin2sin2mjkrmjkrI dlHjerI dlEjer sin2sin2jkrjkrIdlEjerIdlHjersin2sin2mjkrmjkrI dlHjerI dlEjer j

21、krjkrerISerISkHsinsin422HerISerISkEjkrjkrsinsin422v平面波：平面波：波阵面为平面波阵面为平面的电磁波（等相位面为平面）。的电磁波（等相位面为平面）。v均匀平面波：均匀平面波：等相位面为平面等相位面为平面，且在等相位面上，电、磁场，且在等相位面上，电、磁场场场量的振幅量的振幅、方向方向、相位处处相等相位处处相等的电磁波。的电磁波。一、亥姆霍兹方程的平面波解一、亥姆霍兹方程的平面波解 在正弦稳态下，在均匀、各向同性理想媒质的无源区在正弦稳态下，在均匀、各向同性理想媒质的无源区域中，电场场量满足亥姆霍兹方程，即：域中，电场场量满足亥姆霍兹方程，即：2

22、2220()Ek Ek 4-4 均匀平面波在无限大介质中的传播特性均匀平面波在无限大介质中的传播特性 考虑一种简单情况，即电磁波电场沿考虑一种简单情况，即电磁波电场沿x x方向，波只沿方向，波只沿z z方向传播，则由均匀平面波性质，知方向传播，则由均匀平面波性质，知 只随只随z z坐标变化。坐标变化。则方程可以简化为：则方程可以简化为：E22222220EEEk Exyz222222222222222222222000 xxxxyyyyzzzzEEEk ExyzEEEk ExyzEEEk Exyz2220 xxEk Ez 解一元二次微分方程，可得上方程通解为：解一元二次微分方程，可得上方程通解

23、为：jkzjkzxmmEE eE e 式中式中: : 、 为待定常数（由边界条件确定）为待定常数（由边界条件确定）. .mEmE讨论：讨论：1 1、 为通解的为通解的复数表达形式复数表达形式，通解的通解的实数表达形式实数表达形式为：为：jkzjkzxmmEE eE eRe()cos()cos()jkzjkzj txmmmmEE eE eeEtkzEtkz 2 2、通解的物理意义：、通解的物理意义：波动方程平面波解波动方程平面波解0t4t2t不同时刻不同时刻 的波形的波形xEkzkzExEx 0 02 23 3 首先考察首先考察 。其实数。其实数形式为：形式为：jkzmE ecos()mEtkz

24、在不同时刻，波形如右图。在不同时刻，波形如右图。从图可知，随时间从图可知，随时间t t增加，波形向增加，波形向+z+z方向平移。故：方向平移。故：jkze表示向表示向+z+z方向传播的均匀平面波；方向传播的均匀平面波；jkze同理可知：同理可知：表示向表示向-z-z方向传播的均匀平面波；方向传播的均匀平面波； 亥姆霍兹方程通解的物理意义：亥姆霍兹方程通解的物理意义：表示沿表示沿z z向向(+z,-z)(+z,-z)方向传播的均匀平面波的合成波。方向传播的均匀平面波的合成波。二、无界理想媒质中均匀平面波的传播特性二、无界理想媒质中均匀平面波的传播特性 在无界媒质中，若均匀平面波向在无界媒质中，若

25、均匀平面波向+z+z向传播，且电场方向传播，且电场方向指向向指向 方向，则其电场场量表达式为：方向，则其电场场量表达式为：xe0(jkzxEe E e场量的复数形式）0cos()(xEe Etkz或场量的实数形式） 电磁波的场量表达式包含了有关波特性的信息。电磁波的场量表达式包含了有关波特性的信息。 1 1、均匀平面波电场场量的一般表达式、均匀平面波电场场量的一般表达式00(cos()(jk rjEE eEEtk r复数形式）实数形式） 式中：式中： 表示电磁波中表示电磁波中电场的幅度电场的幅度00EE的方向表示电磁波中的方向表示电磁波中电场的方向电场的方向0E表示电磁波动的表示电磁波动的角频

26、率角频率为为波矢量波矢量k为波的为波的初始相位初始相位 2 2、波的频率和周期、波的频率和周期22ff频率：频率：12TTf周期：周期：波数波数k: k: 长为长为 距离内包含的波长数。距离内包含的波长数。22k 3 3、波数、波数k k、波长与波矢量、波长与波矢量k221kf 波长波长: :波矢量波矢量 ：表征：表征波传播特性的矢量波传播特性的矢量kkk k式中：式中：k k即为波数即为波数2k即为即为表示波传播方向表示波传播方向的单位矢量。的单位矢量。k 4 4、相位速度（波速）、相位速度（波速）1tz zExEx 0 02 23 3 如图所示电磁波向如图所示电磁波向+z+z方方向传播，从

27、波形上可以认向传播，从波形上可以认为是整个波形随着时间变为是整个波形随着时间变化向化向+z+z方向平移。方向平移。12tt0tkz相位：相位：0tkzconst令两边对时间两边对时间t t去导数，得：去导数，得：10pdzdzkvdtdtk讨论：讨论：1 1、电磁波传播的、电磁波传播的相位速度仅与媒质特性相关相位速度仅与媒质特性相关。 2 2、真空中电磁波的相位速度：、真空中电磁波的相位速度：079001114101036pv 803 10 (/ )(pvm sc 光速) 真空中电磁波相位速度为光速真空中电磁波相位速度为光速。13ppvvfff、 = 5 5、场量、场量 ， 的关系的关系EH0

28、jk rEE eBEj Bt 0()jk rjHE e0()jk rjHjkE e HkE 为表示波传播方向为表示波传播方向的单位矢量。的单位矢量。k 同理可以推得：同理可以推得：EHk 从公式可知：均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度从公式可知：均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度之比为一定值。定义之比为一定值。定义电场幅度和磁场幅度比为媒质本征电场幅度和磁场幅度比为媒质本征阻抗阻抗，用，用 表示，即：表示，即：EH媒质本征阻抗媒质本征阻抗 特殊地：真空（自由空间）的本振阻抗为：特殊地：真空（自由空间）的本振阻抗为：70090410120377( )11036 结论：结论：在自由空间中传播的电磁

29、波，电场幅度与磁场在自由空间中传播的电磁波，电场幅度与磁场幅度之比为幅度之比为377377。 说明：说明：1HkEEHk、 、 三者相互垂直，且满三者相互垂直，且满足右手螺旋关系。足右手螺旋关系。EHk6 6、能量密度和能流密度、能量密度和能流密度电场能量密度：电场能量密度：212ewE磁场能量密度：磁场能量密度：212mwH2211()22EEemww 结论：结论：理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量。实数表达形式实数表达形式电磁波的能量密度：电磁波的能量密度：22emwwwEHk kE EH H小结：无界理想媒质中均匀平面波的传播特性：小结：

30、无界理想媒质中均匀平面波的传播特性：v电场与磁场的振幅相差一个因子电场与磁场的振幅相差一个因子v电场、磁场的时空变化关系相电场、磁场的时空变化关系相同。同。v电场、磁场的振幅不随传播距电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减。离增加而衰减。v电场和磁场在空间相互垂直且都垂直于传播方向。电场和磁场在空间相互垂直且都垂直于传播方向。 、 、 （波的传播方向）满足右手螺旋关系（波的传播方向）满足右手螺旋关系EHk电磁波的能流密度：电磁波的能流密度：211SEHEkEE k22001111Re222avSEHE kkEkv w例例 频率为频率为100MHz100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理的

31、正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿想介质中沿+Z+Z方向传播，介质的特性参数为方向传播，介质的特性参数为 。设电场沿。设电场沿x x方向，即方向，即 。已知：当。已知：当t=0, t=0, z=1/8 z=1/8 m时，电场等于其振幅值时，电场等于其振幅值 。试求试求: :（1 1）波的传播速度、波长、波数；（）波的传播速度、波长、波数；（2 2）电场和磁）电场和磁场的瞬时表达式；场的瞬时表达式； （3 3）坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。）坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。4,1rrxxEe E410/V m0解：由已知条件可知：频率解：由已知条件可知：频率: : 振幅振幅: :100fMHz

32、4010/xEV m(1)(1)800111310/2prrvm s 88242101033k21.5mk(2)(2)设设00cos()xEe Etkz由条件，可知：由条件，可知：4804102103Ek，480410cos(210)3xEetz即：由已知条件，可得：由已知条件，可得：440411010cos()380648410cos(210)36xEetzHkE481410cos(210)6036zxeetz48410cos(210)6036yetz(3)(3)( )( )( )S tE tH t828410cos (210)6036zetz01( )TavSS t dtT8210/120

33、zeW m另解：另解：443610jzjxEee44361060jzjyeHe1Re2avSEH8210/120zeW m三、无限大导电媒质中的均匀平面波三、无限大导电媒质中的均匀平面波1、导电媒质中的波动方程、导电媒质中的波动方程 在无源的导电媒质区域中，麦克斯韦方程为在无源的导电媒质区域中，麦克斯韦方程为第一个方程可以改写为第一个方程可以改写为称为称为复介电复介电常数常数或或等效等效介电常数介电常数v导电媒质的典型特征是电导率导电媒质的典型特征是电导率 0 0。v电磁波在其中传播时，有传导电流电磁波在其中传播时，有传导电流 存在，同时存在，同时伴随着电磁能量的损耗，电磁波的传播特性与非导电

34、媒伴随着电磁能量的损耗，电磁波的传播特性与非导电媒质中的传播特性有所不同。质中的传播特性有所不同。JEHEjEEj B 00HE()HjEj cjEeJ说明：复介电常数说明：复介电常数cjj其中：其中： ，仅与媒质本身介电常数有关；，仅与媒质本身介电常数有关； ，与媒质本身导电率和波的频率有关；与媒质本身导电率和波的频率有关； 为了方便为了方便描述导电媒质的损耗特性描述导电媒质的损耗特性，引入，引入媒质损媒质损耗正切角耗正切角(用用 表示表示)的概念。定义：的概念。定义：ctanarctan()cccHjEEj B 00HE引入等效复介电常数后，麦克斯韦方程组可记做：引入等效复介电常数后，麦克

35、斯韦方程组可记做：推得导电媒质中的波动方程为：推得导电媒质中的波动方程为：222222220000ccccEEEk EHHHk H 式中：式中： 称为复波数。称为复波数。222cckj 比较损耗媒质中的波动方程和理想介质中的波动方程比较损耗媒质中的波动方程和理想介质中的波动方程可知：方程形式完全相同，差别仅在于可知：方程形式完全相同，差别仅在于 ,cckk2、导电媒质中的波动方程的解、导电媒质中的波动方程的解 因此，在损耗媒质中波动方程对应于沿因此，在损耗媒质中波动方程对应于沿+z方向传播的方向传播的均匀平面波解为：均匀平面波解为： cjk zxxmEe E e 式中：式中： ，为复数。，为复

36、数。 2cck 可建立方程组：可建立方程组： 令令 , 则由则由 ckj222cckj 2222 22 1 ()12 1 ()12()jjzzjzxxmxxmEe E ee E ee 所以损耗媒质中波动方程解可以写为：所以损耗媒质中波动方程解可以写为： 写成写成实数形式实数形式（瞬时形式瞬时形式），得：），得： ( , )cos()zxxmE z te E etz3、导电媒质中的平面波的传播特性、导电媒质中的平面波的传播特性 1）、波的振幅和传播因子）、波的振幅和传播因子 振幅：振幅： 随着波传播随着波传播(z增加增加)，振幅不断减小振幅不断减小。zxmE e 传播因子：传播因子： 波为波为均

37、匀平面波均匀平面波（行波行波）。）。jze 2）、幅度因子和相位因子）、幅度因子和相位因子 只影响波的振幅，故称为只影响波的振幅，故称为幅度因子幅度因子；只影响波的相位，故称为只影响波的相位，故称为相位因子相位因子；其意义；其意义与与k相同，即为损耗媒质中的相同，即为损耗媒质中的波数波数。 3）、相位速度（波速）、相位速度（波速） 在理想媒质中：在理想媒质中： 1pcvkf 在损耗媒质中：在损耗媒质中： pv 很明显：损耗媒质中波的相速与波的很明显：损耗媒质中波的相速与波的频率有关频率有关。 色散现象色散现象：波的传播速度（相速）随频率改变而改变的：波的传播速度（相速）随频率改变而改变的现象。

38、具有色散效应的波称为色散波。现象。具有色散效应的波称为色散波。 结论：结论：导电媒质导电媒质（损耗媒质损耗媒质）中的电磁波为色散波中的电磁波为色散波。 4 4）、场量）、场量 ， 的关系的关系EH 可以推知：在导电媒质中，场量可以推知：在导电媒质中，场量 ， 之间关系与在之间关系与在理想介质中场量间关系相同，即：理想介质中场量间关系相同，即： EH式中：式中： 为波传播方向为波传播方向 1cHkEcEHkk 为导电媒质本征阻抗为导电媒质本征阻抗 cc讨论：讨论：(1) 、 、 三者相互垂直，且满足右手螺旋关系三者相互垂直，且满足右手螺旋关系EHk (2) cc1arctan2jcej 在导电媒

39、质中，电场和磁场在空间中不同相。在导电媒质中，电场和磁场在空间中不同相。电场相位超前磁场相位电场相位超前磁场相位 。1arctan2j小结：无限大导电媒质中电磁波的特性：小结：无限大导电媒质中电磁波的特性： 1 1、为横电磁波（、为横电磁波（TEMTEM波），波），、 、 三者满足右手螺旋关三者满足右手螺旋关系系EHk2 2、电磁场的幅度随传播距离的增加而呈指数规律减小；电磁场的幅度随传播距离的增加而呈指数规律减小；3 3、电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；、电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；4 4、是色散波。波的相速与频率相关。、是色散波。波的相速与频率相关。4、媒质导电性对场的

40、影响、媒质导电性对场的影响 对电磁波而言，媒质的导电性的强弱由对电磁波而言，媒质的导电性的强弱由 决定。决定。111良导体弱导体半导体 从上可知：媒质是良导体还是弱导体，与电磁波的频从上可知：媒质是良导体还是弱导体，与电磁波的频率有关，是一个率有关，是一个相对相对的概念。的概念。 1 1）、良导体中的电磁波）、良导体中的电磁波 在良导体中，在良导体中， ，则前面讨论得到的，则前面讨论得到的 ， 近似为近似为 11122ff411jjejjc 重要性质：重要性质：在良导体中，电场相位超前磁场相位在良导体中，电场相位超前磁场相位4 在良导体中，衰减因子在良导体中，衰减因子 。对于一般的高频。对于一

41、般的高频电磁波电磁波(GHz)(GHz)，当媒质导电率较大时，当媒质导电率较大时， 往往很大，电磁往往很大，电磁波在此导电媒质中传播很小的距离后，电、磁场场量的振波在此导电媒质中传播很小的距离后，电、磁场场量的振幅将衰减到很小。幅将衰减到很小。f 因此：电磁波只能存在于良导体表层附近，其在良导体因此：电磁波只能存在于良导体表层附近，其在良导体内激励的高频电流也只存在于导体表层附近，这种现象成内激励的高频电流也只存在于导体表层附近，这种现象成为为趋肤效应趋肤效应。 我们用我们用趋肤深度趋肤深度( (穿透深度穿透深度) )来表征良导体中趋肤效应的来表征良导体中趋肤效应的强弱。强弱。 趋肤深度趋肤深

42、度 ：电磁波穿入良导体中，：电磁波穿入良导体中，当波的幅度下降为表面处振幅的当波的幅度下降为表面处振幅的 时，波在良导体中传播的距离，称为时，波在良导体中传播的距离，称为趋肤深度趋肤深度。1e jkze1zjzee1e111eef 2 2）、弱导体中的电磁波）、弱导体中的电磁波 在良导体中，在良导体中， ，则前面讨论得到的，则前面讨论得到的 ， 近似为近似为 1,2 在弱导电媒质中，仍存在能量损耗，波的相位常数近在弱导电媒质中，仍存在能量损耗，波的相位常数近似等于理想媒质中波的相位常数，似等于理想媒质中波的相位常数， 一列有限长的波相当于许多单色波列的迭加，通常把由这样一群单色波组成的波列叫做

43、波包。 当波包通过有色散的媒质时，它的各个单色分量将以不同的相速前进，整个波包在向前传播的同时，形状亦随之改变，我们把波包中振辐最大的地方叫做它的中心，波包中心前进的速度叫做群速，记作g。 4-5 电磁波的速度与介质的色散电磁波的速度与介质的色散 变化的电场和磁场相互激发在空间传递的速度可视为变化的电场和磁场相互激发在空间传递的速度可视为电磁波的速度。电磁波的速度。 电磁波相位传播的速度电磁波相位传播的速度电磁波信号的传播速度电磁波信号的传播速度电磁波能量传播速度。电磁波能量传播速度。 单色波的速度，是振动传播的速度，也单色波的速度，是振动传播的速度，也是位相传播的速度，称为是位相传播的速度，

44、称为相速度相速度。 相速度的表达式为相速度的表达式为 VP= /k 对于非单色波，它们叠加后往往形成一对于非单色波，它们叠加后往往形成一定形式的脉动，脉动被称为定形式的脉动，脉动被称为波群波群。脉动。脉动传播的速度为传播的速度为群速度群速度。 群速度的表达式为群速度的表达式为 Vg= d/dk)cos(),()cos(),(00rktHtrHrktEtrE2npevkk 1、相速度和群速度、相速度和群速度2） 光的色散 物质的折射率与光的频率有关，折射率物质的折射率与光的频率有关，折射率n取决于真空中光速取决于真空中光速c和物质中光速和物质中光速u之比，即之比，即 n=c/u 这种这种光在介质

45、中的传播速度（或介质的折光在介质中的传播速度（或介质的折射率）随其频率（或波长）而变化的现象，射率）随其频率（或波长）而变化的现象，称为光的色散现象。称为光的色散现象。1672年牛顿首先利用棱年牛顿首先利用棱镜的色散现象，把日光分解成了彩色光带。镜的色散现象，把日光分解成了彩色光带。 相速度是频率的函数，不同频率的电磁波，其等相相速度是频率的函数，不同频率的电磁波，其等相位面传播速度不同，这一现象称为介质的色散现象位面传播速度不同，这一现象称为介质的色散现象 在真空中，没有色散，即不同波长的光在真空中，没有色散，即不同波长的光都具有相同的相速度都具有相同的相速度c，=2= 2c/=ck，群速度

46、，群速度Vg= d/dk=c= VP 。 相速度与群速度相等，波群脉动传播的速度与相速度与群速度相等，波群脉动传播的速度与每一个单色成分位相传播的速度相等。或者说，每一个单色成分位相传播的速度相等。或者说，由于每一个单色的成分的相速度都相等，所以由于每一个单色的成分的相速度都相等，所以合成波的群速度与相速度相等。合成波的群速度与相速度相等。真空中的群速度的特点：真空中的群速度的特点：3）介质中群速度和相速度的关系）介质中群速度和相速度的关系 波在介质中的相速度与波长有关，即不波在介质中的相速度与波长有关，即不同波长的光，在同一介质中，相速度不同波长的光，在同一介质中，相速度不同，折射率不同。同

47、，折射率不同。 dkdVgdkkVdpdkdVkVpp)2(2ddVdkdddVdkdVpppddVVpp222ddVVpp00U(z)z00U(z)zdkdvgdkkvdP)(dkdvkvPPdddkk)2(2ddvvdkdvPPgRayleigh的群速度公式 ncvP)1 (ddnnncvgddnnnvcg1ddnnddnnn1 4-6 垂直入射时平面电磁波的反射和折射垂直入射时平面电磁波的反射和折射 v本节讨论单一频率均匀平面波在两个半无界介质分界面上的反射本节讨论单一频率均匀平面波在两个半无界介质分界面上的反射与透射，设分界面为无限大平面，分界面位于与透射，设分界面为无限大平面，分界面

48、位于z z=0=0处。处。 本节以入射波为本节以入射波为x x方向的线极化波为例进行讨论。方向的线极化波为例进行讨论。一、电磁波在两种不同导电媒质分界面的垂直入射一、电磁波在两种不同导电媒质分界面的垂直入射111110011 11001111( )()( )(/)ccccjk zjk zxirccyjk zjk zircccE ze E eE ekeHzE eE e 介质介质l和和2中的电磁波可以表示为中的电磁波可以表示为22220022 22222( )( )(/)ccxjk zjk zxttccccceE ze E eH zE ek 分界面上，满足边界条件分界面上，满足边界条件210002

49、100000102()0()0()/irtirtirctcnEEEEEnHHHHHEEE 即定义：反射系数定义：反射系数 为反射波振幅与入射波振幅之比为反射波振幅与入射波振幅之比21000021/ccririccEEEE定义：透射系数定义：透射系数 为透射波振幅与入射波振幅之比为透射波振幅与入射波振幅之比20000212/ctiticcEEEE1二、对理想导体的分界面的垂直入射二、对理想导体的分界面的垂直入射x+E+H E H入入反反2 yz10 设左半空间是理想介质，设左半空间是理想介质， 1 10 0；右半空间为理想导右半空间为理想导体，体， 2 2。分界面在。分界面在 z z = 0 =

50、 0 平面上。平面上。 理想介质内将存在入射波和反射波。理想介质内将存在入射波和反射波。设入射波电场为设入射波电场为jkzxmEe E e设反射波电场为设反射波电场为jkzxmEe E e则入射波磁场为则入射波磁场为11jkzzxmjkzymHee E ee E e则反射波磁场为则反射波磁场为1()1jkzzxmjkzymHee E ee E e由理想导体边界条件可知：由理想导体边界条件可知：0tE 0()0 xxzEE0mmEEmmEE 反射波电场为反射波电场为：jkzxmEe E e 理想媒质中的合成场为：理想媒质中的合成场为：()jkzjkzxmEEEe Eee合()jkzjkzmyEH

51、HHeee合2sinxmjeEkz 2cosymeEkz合成波场量的实数表达式为：合成波场量的实数表达式为：Re2sin2sinsinj txmxmEjeEkzeeEkzt合22Recoscoscosj tymymHeEkzeeEkzt合讨论：讨论：1、合成波的性质：、合成波的性质：v 对任意时刻对任意时刻t t，在在合成波电场皆为零合成波电场皆为零 0,1,2,.2kznznn 或或v对任意时刻对任意时刻t t，在在 合成波磁场皆为零合成波磁场皆为零 21210,1,2,.24kznznn 或或zEx0232zHy043454zHy043454zEx0232合成波的性质：合成波的性质： v合

52、成波为纯驻波合成波为纯驻波v振幅随距离变化振幅随距离变化v电场和磁场最大值和电场和磁场最大值和最小值位置错开最小值位置错开 / /4 4v电场和磁场原地振荡，电场和磁场原地振荡，电、磁能量相互转化。电、磁能量相互转化。2、导体表面的场和电流、导体表面的场和电流002sinsin0 xmzzEeEkzt合0022coscoscosymymzzHeEkzteEt合在理想导体表面的感应面电流为：在理想导体表面的感应面电流为：022coscosmSzymxzEJnHeeEtet 合3、合成波的平均能流密度、合成波的平均能流密度1Re2avSEH合合214Resincos02zme jEkzkz结论：合成波结论：合成波(驻波驻波)不传播电磁能量，只存在能量转化。不传播电磁能量，只存在能量转化。三、对两种理想介质分界面的垂直入射三、对两种理想介质分界面的垂直入射xrErHiEiH入入反反1 12 2yztEtH透透设左、右半空间均为理想介质，设左、右半空间均为理想介质， 1 1 2 20