大学离散数学课后习题答案左孝凌版

1、离散数学课后习题答案 (左孝凌版)1-1，1-2（1） 解：a) 是命题，真值为t。b) 不是命题。c) 是命题，真值要根据具体情况确定。d) 不是命题。e) 是命题，真值为t。f) 是命题，真值为t。g) 是命题，真值为f。h) 不是命题。i) 不是命题。（2） 解：原子命题：我爱北京天安门。复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。（3） 解：a) (p r)qb) qrc) p d) pq（4） 解：a)设q:我将去参加舞会。r:我有时间。p:天下雨。q« (rp):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。b)设r:我在看电视。q:我在吃苹果。rq:我在看电视边吃苹果。c)

2、 设q:一个数是奇数。r:一个数不能被2除。（qr）(rq):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。(5) 解：a) 设p：王强身体很好。q：王强成绩很好。pq b) 设p：小李看书。q：小李听音乐。pqc) 设p：气候很好。q：气候很热。pqd) 设p： a和b是偶数。q：a+b是偶数。pqe) 设p：四边形abcd是平行四边形。q ：四边形abcd的对边平行。p«qf) 设p：语法错误。q：程序错误。r：停机。（p q） r(6) 解：a) p:天气炎热。q:正在下雨。 pqb) p:天气炎热。r:湿度较低。 prc) r:天正在下雨。s:湿度很高。

3、rsd) a:刘英上山。b:李进上山。 abe) m:老王是革新者。n:小李是革新者。 mnf) l:你看电影。m:我看电影。 lmg) p:我不看电视。q:我不外出。 r:我在睡觉。 pqrh) p:控制台打字机作输入设备。q:控制台打字机作输出设备。pq1-3（1）解：a) 不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）b) 是合式公式c) 不是合式公式（括弧不配对）d) 不是合式公式（r和s之间缺少联结词）e) 是合式公式。 （2）解： a） a是合式公式，(ab)是合式公式，(a(ab) 是合式公式。这个过程可以简记为：a；(ab)；(a(ab) 同理可记b）

4、a；a ；(ab) ；(ab)a)c） a；a ；b；(ab) ；(ba) ；(ab)(ba)d） a；b；(ab) ；(ba) ；(ab)(ba)（3）解：a） (ac)(bc)a)(bc)a)(ac)b） (ba)(ab)。（4）解： a) 是由c) 式进行代换得到，在c) 中用q代换p, (pp)代换q. d) 是由a) 式进行代换得到，在a) 中用 p(qp)代换q. e) 是由b) 式进行代换得到，用r代换p, s代换q, q代换r, p代换s.（5）解：a) p: 你没有给我写信。 r: 信在途中丢失了。 p qb) p: 张三不去。q: 李四不去。r: 他就去。 (pq)rc)

5、p: 我们能划船。 q: 我们能跑步。 (pq)d) p: 你来了。q: 他唱歌。r: 你伴奏。 p(q«r)（6）解：p:它占据空间。 q:它有质量。 r:它不断变化。 s:它是物质。这个人起初主张：(pqr) « s后来主张：(pq«s)(sr)这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有pq必同时有r，开头时没有这样的主张。（7）解：a) p: 上午下雨。 q:我去看电影。 r:我在家里读书。 s:我在家里看报。(pq)(p(rs)b) p: 我今天进城。q:天下雨。qpc) p: 你走了。 q:我留下。qp1-4  （4）解：a) p

6、0;  q   rqrp(qr)pq(pq)rt   t   tt   t   ft   f   tt   f   ff   t   tf   t   ff   f   tf   f   ftffftffftfffffffttfffffftfffff

7、ff所以，p(qr) Û (pq)rb)  p   q   r     qr   p(qr)     pq  (pq)r  t   t   t  t   t   f  t   f   t  t   f   f  f

8、60;  t   t  f   t   f  f   f   t  f   f f所以，p(qr) Û (pq)r）（）（）（）所以，p(qr) Û (pq)(pr)）p     qpqpq(pq)pq(pq)t     tt     ff     tf

9、60;    fffttftftftttftttffftffft所以，(pq) Ûpq,  (pq) Ûpq（5）解：如表，对问好所填的地方，可得公式f1f6，可表达为   p   q   r   f1   f2   f3   f4   f5   f6   t   t   t  

10、 t   f   t   t   f   f   t   t   f   f   f   t   f   f   f   t   f   t   t   f   f   t

11、0;  t   f   t   f   f   f   t   f   t   t   f   f   t   t   t   f   f   t   t   f   f 

12、0; t   f   t   f   f   f   t   f   f   f   t   t   f   t   t   t   f   f   f   f   f   t&#

13、160;  f   t   t   tf1:(qp)r f2:(pqr)(pqr)f3:(pq)(qr)f4:(pqr)(pqr)f5:(pqr)(pqr)f6:(pqr)(6) p q 1    2 3 4  5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f f  f&#

14、160;t f  t f t f t f t f t f t f t f t f f t t f f t t f f t t  f f t t t f f f f f t t t 

15、t f f f f t t t t t t f f f f f f f f t t t t t t t t解：由上表可得有关公式为1.f     2.(pq)      3.(qp)     

16、0; 4.p          5.(pq)   6.q    7.(p«q)     8.(pq)          9.pq     10.p«q     11.q     &

17、#160; 12.pq          13.p       14.qp      15.pq        16.t(7) 证明：a) a(ba)Û a(ba) Û a(ab)Û a(ab) Ûa(ab)b) (a«b) Û(ab)(ab) Û(ab)(a

18、b)Û(ab)(ab) 或 (a«b) Û(ab)(ba)Û(ab)(ba)Û(ab)(aa)(bb)(ba)Û(ab)(ba)Û(ab)(ab) Û(ab)(ab)c) (ab) Û (ab)  Ûab d) (a«b)Û(ab)(ba)Û(ab)(ba)Û(ab)(ab)e) (abc)d)(c(abd) Û(abc)d)(c(abd) Û(abc)d)(abc)d)Û (abc)(abc)d 

19、9;(abc)(abc)d Û (ab)(ab)c)d Û (c(a«b)d)f) a(bc) Û a(bc)  Û (ab)c   Û(ab)c  Û (ab)c g) (ad)(bd)Û(ad)(bd) Û(ab)d Û (ab)dÛ (ab)dh) (ab)c)(b(dc) Û(ab)c)(b(dc)Û (ab)(bd)cÛ(ab) (db)cÛ(ab)(db)c

20、9; (ad)b)cÛ (b(da)c（8）解：a) (ab) « (ba)cÛ (ab) « (ba)cÛ (ab) « (ab)cÛtc Ûcb) a(a(bb) Û (aa)(bb) Ûtf Ûtc) (abc)(abc) Û (aa) (bc)Ût(bc)Ûbc（9）解：1）设c为t，a为t，b为f，则满足acÛbc，但aÛb不成立。       2）设c为f，a为t，

21、b为f，则满足acÛbc，但aÛb不成立。       3）由题意知a和b的真值相同，所以a和b的真值也相同。     习题 1-5（1） 证明：a) (p(pq)qÛ (p(pq)q  Û(pp)(pq)q  Û(pq)qÛ(pq)q Ûpqq ÛptÛtb) p(pq) Ûp(pq)Û (pp)q

22、0;ÛtqÛtc) (pq)(qr)(pr)因为(pq)(qr)Þ(pr)所以 (pq)(qr)为重言式。d) (ab)(bc) (ca)«(ab)(bc)(ca)因为(ab)(bc)(ca)Û(ac)b)(ca)Û(ac)(ca)(b(ca)Û(ac)(bc)(ba)所以(ab)(bc) (ca)«(ab)(bc)(ca) 为重言式。（2） 证明：a)(pq)Þp(pq)  解法1：设pq为t （1）若p为t，则q为t，所以pq为t，故p(pq)为t（2）若p为f

23、，则q为f，所以pq为f，p(pq)为t命题得证解法2：设p(pq)为f ，则p为t，(pq)为f ，故必有p为t，q为f ，所以pq为f。解法3：(pq) (p(pq)Û(pq)(p(pq)Û(pq)(pp)(pq)Ût所以(pq)Þp(pq)b)(pq)qÞpq设pq为f，则p为f，且q为f，故pq为t，(pq)q为f，所以(pq)qÞpq。c)(q(pp)(r(r(pp)Þrq设rq为f，则r为t，且q为f，又pp为f所以q(pp)为t，r(pp)为f所以r(r(pp)为f，所以(q(pp

24、)(r(r(pp)为f即(q(pp)(r(r(pp)Þrq成立。（3） 解：a) pq表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。b) a)的逆换式qp表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。c) a)的反换式pq表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。d) a)的逆反式qp表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。（4） 解：a) 如果天下雨，我不去。设p：天下雨。q：我不去。pq 逆换式qp表示命题:如果我不去，则天下雨。逆反式qp表示命题:如果我去，则天不下雨b) 仅当你走我将留下。设s：你走了。r：我将留下。rs逆换式sr表示命题：如果你走了则我将留下。逆反式sr表

25、示命题：如果你不走，则我不留下。c) 如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。设e：我不能获得更多帮助。h：我不能完成这个任务。eh逆换式he表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。逆反式he表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助（5） 试证明p«q，q逻辑蕴含p。证明：解法1：本题要求证明(p«q) qÞp, 设(p«q) q为t，则(p«q)为t，q为t，故由«的定义，必有p为t。所以(p«q) qÞp解法2：由体题可知，即证(p«q)q)p是永真式。  (p«

26、q)q)p Û (pq) (pq) q)pÛ (pq) (pq) q) p Û (pq) (pq) q) pÛ (qpq) (qpq) p Û (qp) t) pÛqppÛqt Ût（6） 解：p：我学习        q：我数学不及格        r：我热衷于玩扑克。如果我学习，那么我数学不会不及格：    pq如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习:  

27、rp 但我数学不及格:                      q因此我热衷于玩扑克。                 r即本题符号化为：(pq)(rp)qÞr证：证法1：(pq)(rp)q)r Û (pq)(rp)q) r&#

28、219; (pq)(rp)qr Û (qp)(qq)(rr)(rp)Û qprpÛ t所以，论证有效。证法2：设(pq)(rp)q为t，则因q为t，(pq) 为t，可得p为f，由(rp)为t，得到r为t。故本题论证有效。（7） 解：p：6是偶数      q：7被2除尽      r：5是素数如果6是偶数，则7被2除不尽        pq或5不是素数，或7被2除尽     &

29、#160;    rq5是素数                         r所以6是奇数                     p即

30、本题符号化为：（pq）（rq）r Þp证：证法1：(pq)(rq)r)pÛ (pq) (rq) r) pÛ (pq) (rq) r) p Û (pp) (pq) (rr) (rq)Û (pq) (rq)Ût所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。证法2：(pq)(rq)r为t，则有r为t，且rq 为t，故q为t，再由pq为t，得到p为t。（8） 证明：a) pÞ(pq) 设p为t，则p为f，故pq为tb) abcÞc假定abc为t，则c为t。c) cÞabb因为abb为永真，所以cÞ

31、abb成立。d) (ab) Þab  设(ab)为t，则ab为f。若a为t，b为f，则a为f，b为t，故ab为t。若a为f，b为t，则a为t，b为f，故ab为t。若a为f，b为f，则a为t，b为t，故ab为t。命题得证。e) a(bc)，de，(de)aÞbc设a(bc)，de，(de)a为t，则de为t，(de)a为t，所以a为t又a(bc)为t，所以bc为t。命题得证。f) (ab)c，d，cdÞab设(ab)c，d，cd为t，则d为t，cd为t，所以c为f又(ab)c为t，所以ab为f，所以ab为t。命题得证。（9）解：a) 如果他有勇气，他将得胜

32、。p：他有勇气          q：他将得胜 原命题：pq         逆反式：qp 表示：如果他失败了，说明他没勇气。b) 仅当他不累他将得胜。p：他不累           q：他得胜 原命题：qp         逆反式：pq 表示：如果

33、他累，他将失败。习题  1-6(1)解：a) (pq)pÛ(pp)qÛ(tq)b) (p(qr) pqÛ (p(qr)pqÛ(ppq)(qpq)(rpq) Û(pq)(pq)(prq)ÛpqÛ(pq) c) pq(rp)Ûpq(rp) Û(pqr)(pqp)Û(pqr)fÛpqrÛ(pqr)(2) 解：a)pÛ ppb)pqÛ(pq) Û (pq)(pq)c)pqÛpqÛ (pp)(qq)(3)解

34、：p(pq) Ûp(pq)ÛtÛpp Û (pp)(pp)Ûp(pp) p(pq) Ûp(pq)ÛtÛpp Û(pp)Û(pp)p)Û(pp)p)(pp)p)(4)解： pqÛ(pq)Û(pp)(qq)Û (pp)(qq)(pp)(qq)(5)证明：(bc)Û(bc) Û bc(bc)Û(bc)Ûbc(6)解：联结词“”和“”不满足结合律。举例如下：

35、9;a)给出一组指派：p为t，q为f，r为f，则(pq)r为t，p(qr)为f故 (pq)r p(qr).Ûb)给出一组指派：p为t，q为f，r为f，则(pq) r为t，p(qr)为f故(pq)r p(qr).(7)证明：设变元p，q，用连结词«,作用于p，q得到：p，q，p，q，p«q，p«p，q«q，q«p。但p«qÛq«p，p«pÛq«q，故实际有：p，q，p，q，p«q，p«p（t） （a）用作用于（a）类，得到扩大的公式类（包括原公式类）：p，q

36、，p，q，（p«q）， t，f， p«q （b）用«作用于（a）类，得到：p«q，p«pÛf，p«qÛ（p«q），p«（p«q）Ûq，p«（p«p）Ûp，q«pÛ（p«q），q«qÛf，q«（p«q）Ûp，q«tÛq, p«qÛp«q，p«（p«q）Ûq，p«tÛp,

37、q«（p«q）Ûp，q«tÛq,（p«q）«（p«q）Ûp«q.因此，（a）类使用运算后，仍在（b）类中。对（b）类使用运算得：p，q，p，q， p«q， f，t，（p«q）， 仍在（b）类中。对（b）类使用«运算得：p«q，p«pÛf，p«qÛ（p«q），p«（p«q）Ûq，p«tÛp，p«fÛp，p«（p«q）&#

38、219;q， q«pÛ（p«q），q«qÛf，q«（p«q）Ûp，q«tÛq, q«fÛq， q«（p«q）Ûp， p«qÛp«q，p«（p«q）Ûq，p«tÛp, p«fÛp,p«（p«q）Ûq， q«（p«q）Ûp，q«tÛq, q«tÛq,q&

39、#171;（p«q）Ûp，（p«q）«tÛ（p«q），（p«q）«fÛp«q，（p«q）«（p«q）Ûft«fÛf，t«（p«q）Û p«qf«（p«q）Û （p«q）（p«q）«（p«q）Ûp«q.故由（b）类使用«运算后，结果仍在（b）中。由上证明：用«,两个连结词，反复作用在两个变元

40、的公式中，结果只能产生（b）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故«,不是功能完备的，更不能是最小联结词组。已证«,不是最小联结词组，又因为p qÛ （p«q），故任何命题公式中的联结词，如仅用 , 表达，则必可用«,表达，其逆亦真。故 , 也必不是最小联结词组。(8)证明，和不是最小联结词组。证明：若，和是最小联结词，则      pÛ（pp）      pÛ（pp）     

41、 pÛp(p(p)对所有命题变元指派t，则等价式左边为f，右边为t，与等价表达式矛盾。c所以，和不是最小联结词。(9)证明,和, 是最小联结词组。证明：因为,为最小联结词组，且pqÛpq所以,是功能完备的联结词组，又,都不是功能完备的联结词组。ccc所以,是最小联结词组。c又因为pqÛ(p q)，所以, 是功能完备的联结词组，又, 不是功能完备的联结词组，所以, 是最小联结词组。习题  1-7(1) 解：p(pq) Ûp(pq) Û (pp)(pq) p(pq)Û (p(qq)(pq)

42、Û (pq)(pq)(pq)(2) 解：a) (pq)r  Û(pq)r  Û pqr Û(pq)(pq) (qr)(qr)(rp)(rp) b) p(qr)s)Ûp(qr)s) Ûpqrs Û(pq)(pq) (qr)(qr)(rs)(rs)(sp)(sp) c) (pq)(st)Û(pq)(st)Û(pqs)(pqt)d) (pq)rÛ(pq)rÛ(pq)r

43、60;Û(pr)(qr) e) (pq)(pq)Û(pq)(pq)Û(pp)(pq)(qp)(qq)Û (pq)(qp)(3) 解：a) p(pqr) Û(pp)(pq)(pr) Û(pq)(pr)     b) (pq)(pq)Û(pq)(pq)Û(pq)(pq) Û(ppq)(qpq) c) (pq)Û(pq)Û pqÛ(pq)(pq)(qp)d) (pq)rÛ(

44、pq)rÛ (pq)rÛ (pr)(qr)e) (pq)(pq)Û(pp)(pq)(qp)(qq)Û(pq)(qp)(4) 解：a) (pq)(p«q)Û(pq) (p«q)Û (pq) (pq)(pq) Ûå1，2，3Ûpq=p0b) q(pq)Û (pq)(qq)Û pq =å3Ûp0，1，2 Û(pq)(pq) (pq)c) p(p(q(qr)Ûp(p(q(qr) Ûpqr=p0Ûå1，2，

45、3,4,5,6,7=(pqr) (pqr) (pqr) (pqr) (pqr) (pqr) (pqr)d) (p(qr) )(p(qr) Û (p(qr) (p(qr)Û (pp) (p(qr) (qr) p) (qr) (qr)Û (pqr) (pqr) =å0,7Ûp1，2，3,4,5,6Û (pqr) (pqr) (pqr) (pqr) (pqr) (pqr)e) p(p(qp) Ûp(p(qp)Û(pp)(pqp) Ût(tq) ÛtÛå0,1,2,3= (

46、pq) (pq) (pq) (pq)f) (qp) (pq) Û (qp) pqÛ (qp) (pq) ÛfÛp0,1，2，3= (pq) (pq) (pq) (pq)(5) 证明：a)(ab) (ac) Û (ab) (ac)a(bc) Ûa(bc) Û (ab) (ac)b)(ab) (ab)Û(ab) (ab)Û (ab) (ab)Ûa(bb)ÛatÛa(ab) (ba)Û (ab) (ba)Ûa(bb) ÛafÛac) 

47、; ab(ab)Û (aa)(ab)b Ûabb Ûfab(ab)Û (aa)(ab)bÛabbÛfd)  a(a(ab)Ûaa(ab)Ûtab(ab)Û(ab) (ab)Ût (6)解：aÛr(q(rp),则a*Û r(q(rp)aÛr(q(rp)Û(r(q(rp) Ûrq(rp)Û(rq) (rp)a*Ûr(q(rp)Û(r(q(rp) Ûrq(rp)Û(rq)

48、(rp)(7) 解：设a：a去出差。b：b去出差。c：c去出差。d：d去出差。若a去则c和d中要去一个。    a(cd)b和c不能都去。           (bc)c去则d要留下。           cd按题意应有：a(cd)，(bc)，cd必须同时成立。因为cd Û (cd) (dc)故(a(cd)(bc) (cd) Û (a(cd) (d

49、c) (bc) (cd)Û (a(cd) (dc) (bc) (cd)Û (a(cd) (dc) (bc) (bd) (cd) c)Û (abc) (abd) (acd) (ac) (bcd) (cdbd) (cdcd) (cdc) (dcbc) (dcbd) (dccd) (dcc)在上述的析取范式中，有些（画线的）不符合题意，舍弃，得(ac) (bcd) （cd）(dcb)故分派的方法为：bd ,或 da,或 ca。(8) 解：设p：a是第一。q：b是第二。r：c是第二。s：d是第四。e：a是第二。   由题意得 (pq

50、) (rs) (es) Û (pq) (pq) (rs) (rs) (es) (es) Û (pqrs) (pqrs) (pqrs) (pqrs)(es)(es)    因为  (pqrs)与(pqrs)不合题意，所以原式可化为     (pqrs) (pqrs)(es) (es)Û (pqrses) (pqrses) (pqrses)(pqrses)Û (pqrse) (pqrse)因r与e矛盾，故pqrse为真，即a不是第一，b是第二，c不是第二，d为第四，a不

51、是第二。于是得： a是第三     b是第二     c是第一     d是第四。习题1-8(1)证明：a)(pq)，qr，rÞp(1) r             p(2) qr          p (3) q  &

52、#160;        (1)(2)t,i (4) (pq)      p(5) pq        (4)t,e(6) p           (3)(5)t,ib)j(mn)，(hg)j，hgÞmn(1) (hg) j      &#

53、160; p(2) (hg)            p(3) j              (1)(2)t,i(4) j(mn)          p(5) mn           (3)

54、(4)t,ic)bc，(b«c)(hg) Þgh(1) bc          p  (2) b            (1)t,i (3) c            (1)t,i (4) bc   

55、    (2)t,i(5) cb       (3)t,i(6) cb         (4)t,e(7) bc         (5)t,e(8) b«c         (6)(7)t,e(9) (b«c) (hg) 

56、;   p (10) hg        (8)(9)t,id)pq，(qr)r，(ps) Þs(1) (qr) r           (2) qr             (1)t,i(3) r     &

57、#160;          (1)t,i(4) q                (2)(3)t,i(5) pq                  p(6) p  &#

58、160;             (4)(5)t,i(7) (ps)          p(8) ps              (7)t,e(9) s         

59、        (6)(8)t,i(2) 证明：a)ab，cbÞac(1) (ac)               p                     (2) a 

60、                      (1)t,i(3) c                       (1)t,i(4) ab   

61、0;               p(5) b                       (2)(4)t,i(6) cb          

62、0;        p(7) b                     (3)(6)t,i(8) bb                  矛盾。(5),(7)b)a(bc)，(c

63、d)e，f(de) Þa(bf)(1) (a(bf)             p(2) a                        (1)t,i(3) (bf)      &

64、#160;          (1)t,i(4) b                        (3)t,i(5) f             

65、        (3)t,(6) a(bc)                 p(7) bc                     (2)(6)t,i(8)

66、c                        (4)(7)t,i(9) f(de)             p (10) de          

67、        (5)(9)t,i(11) d                       (10)t,i(12) cd                

68、0;   (8)(11)t,i (13) (cd) e               p(14) e                       (12)(13)t,i(15) e    &#

69、160;                (10)t,i(16) ee                  矛盾。(14),(15)c)abcd，defÞaf(1) (af)         &

70、#160;        p(2) a                        (1)t,i(3) f                

71、      (1)t,i(4) ab                     (2)t,i(5) (ab) cd             p(6) cd      

72、60;              (4)(5)t,i(7) c                        (6)t,i(8) d         

73、               (6)t,i(9) de                     (8)t,i(10) def           &#

74、160;      p(11) f                       (9)(10)t,i(12) ff                 &

75、#160;矛盾。(3),(11)d)a(bc)，bd，(ef)d，b(ae) Þbe(1) (be)                  p(2) b                        (1

76、)t,i(3) e                      (1)t,i(4) bd                    p(5) d      

77、                  (2)(4)t,i(6) (ef) d            p (7) (ef)               (5)(6)t,i(8) e&#

78、160;                       (7)t,i(9) ee                   矛盾e)(ab)(cd)，(be)(df)，(ef)，acÞa(1) (a

79、b) (cd)          p(2) ab                    (1)t,i(3) (be) (df)           p(4) be     

80、;                (3)t,i(5) ae                     (2)(4)t,i(6) (ef)         

81、0;        p(7) ef                 (6)t,e(8) ef                   (7)t,e(9) af    

82、;               (5)(8)t,i(10) cd                    (1)t,i(11) df           

83、0;        (3)t,i(12) cf                    (10)(10)t,i(13) ac                   

84、  p(14) af                    (13)(12)t,i(15) fa                (14)t,e(16) aa        

85、;          (9)(15)t,i(17) aa                (16)t,e(18) a                     (17) t,

86、e(3) 证明：a)ab，cbÞac(1) a                     p(2) ab                 p(3) b       

87、;              (1)(2)t,i(4) cb                 p(5) c                 

88、  (3)(4)t,i(6) ac                cpb)a(bc)，(cd)e，f(de) Þa(bf)(1) a                p (2) a(bc)       

89、  p (3) bc             (1)(2)t,i(4) b                p (5) c               (3)(4)t,i(

90、6) (cd) e       p (7) c(de)       (6)t,e(8) de            (5)(7)t,i(9) de          (8)t,e(10) (de)     (9)t,e(11) f

91、(de)      p(12) f              (10)(11)t,i(13) bf               cp(14) a(bf)          cpc)abcd，

92、defÞaf(1) a                    p(2) ab                (1)t,i(3) abcd         

93、60; p(4) cd                (2)(3)t,i(5) d                   (4)t,i(6) de         

94、;       (5)t,i(7) def              p(8) f                   (6)(7)t,i(9) af      

95、;           cpd)a(bc)，bd，(ef)d，b(ae) Þbe(1) b                    p(附加前提)(2) bd           p(3) d 

96、;          (1)(2)t,i(4) (ef)d        p(5) (ef)          (3)(4)t,i(6) e                (5)t,i(7)

97、 be                 cp(4)证明：a) rq，rs，sq，pqÞp(1) rq                 p(2) rs          &

98、#160;        p(3) sq                 p(4) q                   (1)(2)(3)t,i(5) pq  

99、60;                p(6) p                   (4)(5)t,ib) sq，sr，r，p«qÞp证法一：(1) sr       

100、0;         p (2) r                   p(3) s                  (1)(2)t,i (4)

101、sq                p  (5) q               (3)(4)t,i (6) p«q             

102、60; p(7)(pq)(qp)    (6)t,e(8) pq            (7)t,i (9) p                 (5)(8)t,i 证法二：（反证法）(1) p       &

103、#160;         p（附加前提）(2) p«q                 p(3)（pq）（ qp） (2)t，e(4) pq                 (3)t,i(5) q