0112009高考全国理科数学试卷及答案

1、2009 年普通高等学校招生考试全国年普通高等学校招生考试全国理科数学理科数学一、选择题（一、选择题（5 5 分分*12=60*12=60 分）分）(1)设集合 a=4，5，7，9 ，b=3，4，7，8，9 ，全集 u=ab，则集合（ab）中的元素共有（ u） （a）3 个 （b）4 个 （c）5 个 （d）6 个（2）已知=2+i,则复数 z=（ ） （a）-1+3i (b)1-3i (c)3+i (d)3-i1iz(3) 不等式1 的解集为（ ）11xx（a） x (b) （c） (d) 011xx x 01xx 10 xx 0 x x(4)设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2

2、 +1 相切，则该双曲线的离心率等于（ ） 22221xyab（a） （b）2 （c） （d）356(5) 甲组有 5 名同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（ ）（a）150 种 （b）180 种 （c）300 种 (d)345 种（6）设、是单位向量，且0，则的最小值为（ ）abcab acbc（a）（b） （c） (d)222112（7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异111abcabc1aabcbc面直线与所成的角的余弦值为（ ）ab1cc（a）（b）

3、 （c） (d) 34547434（8）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ）cos 2yx343，0（a） （b） （c） (d) 6432 (9) 已知直线 y=x+1 与曲线相切，则 的值为（ ） (a)1 (b)2 (c) -1 (d)-2yln()xa（10）已知二面角 -l- 为 600 ，动点 p、q 分别在面 、 内，p 到 的距离为，q 到 的距3离为，则 p、q 两点之间距离的最小值为（ ）2 3(a) (b)2 (c) (d)422 32009 年普通高等学校招生考试全国年普通高等学校招生考试全国理科数学理科数学2第 18 题图（11）函数的定义域为 r，若与

4、都是奇函数，则（ ）( )f x(1)f x(1)f x(a) 是偶函数 (b) 是奇函数 (c) (d) 是奇函数( )f x( )f x( )(2)f xf x(3)f x（12）已知椭圆 c: 的又焦点为 f，右准线为 l，点,线段 af 交 c 与点 b。若2212xyal,则= （ ） (a) (b)2 (c) (d)33fafb af 23二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 (13) 的展开式中，的系数与的系数之和等于 .10()xy73x y37x y(14)设等差数列的前 n 项和为.若=72,则= . nans

5、9s249aaa(15)直三棱柱-各顶点都在同一球面上.若abc111abc12,abacaa=，则此球的表面积等于 .bac120(16)若,则函数的最大值为 .42x3tan2 tanyxx三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分 10 分） 在abc 中，内角 a、b、c 的对边长分别为 a、b、c ，已知，且，求 b.222acbsincos3cossinacac18 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 sabcd 中，底面 abcd 为矩形，sd底面abc

6、d，ad=，dc=sd=2.点 m 在侧棱 sc 上，abm=60 .20()证明：m 是侧棱 sc 的中点；（）求二面角 samb 的大小。(19)(本小题满分 12 分) 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立。已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求 的分布列及数学期望。 （20） （本小题满分 12 分）在数列中，.nannnnanaa21)11 (, 111设，求数列的通项公式；

7、 nnabnnb2009 年普通高等学校招生考试全国年普通高等学校招生考试全国理科数学理科数学3求数列的前项和. nanns21 （本小题满分 12 分）如图，已知抛物线与圆相交于四个点。2:e yx222:(4)mxyr(r0）abcd、（i）求的取值范围： r(ii)当四边形的面积最大时，求对角线abcd的交点的坐标。abcd、p22 （本小题满分 12 分） 设函数有两个极值点，且32( )33f xxbxcx21,xx2 , 1 ,0 , 121xx（）求 b、c 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）和区域；()证明：11022f (x )-2009 年

8、普通高等学校招生考试全国年普通高等学校招生考试全国理科数学答案解析理科数学答案解析 高.考.资.一、选择题一、选择题(1)设集合 a=4，5，7，9 ，b=3，4，7，8，9 ，全集 u=ab，则集合中的元素共有()uabi（a）（a）3 个 （b）4 个 （c）5 个 （d）6 个 解：，故选故选 a a。也可用摩根律：。也可用摩根律：3,4,5,7,8,9ab 4,7,9()3,5,8uabcab()()()uuucabc ac b（2）已知=2+i,则复数 z=（b ） 1iz（a）-1+3i (b)1-3i (c)3+i (d)3-i解：解： 故选故选 b b。 (1) (2)1 3

9、,1 3ziiizi (3) 不等式1 的解集为（ d ）11xx（a） x (b) 011xx x 01xx （c） (d) 10 xx 0 x x解：验 x=-1 即可。 (4)设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于( c )22221xyab（a） （b）2 （c） （d） 356解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又00(,)p xy00|2x xyx0002yxx2001yx解得: . 2201,2,1 ( )5bbxeaa (5) 甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学

10、，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( d )（a）150 种 （b）180 种 （c）300 种 (d)345 种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法; 112536225ccc (2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有 345 种选法.选 d211562120ccc2009 年普通高等学校招生考试全国年普通高等学校招生考试全国理科数学答案解析理科数学答案解析5（6）设、是单位向量，且0，则的最小值为 ( d )abcab acbc（a） （b） （c） (d)222112解: 是单位向量 , ,a b c 2()acbca bab cc 故选 d.| | |

11、12cos,121 |abcab c （7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面111abcabc1a上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值abcbcab1cc为（ d ）（a） （b） （c） (d) 34547434解：设的中点为 d，连结d，ad，易知即为异面直线与所成的角,由三角余bc1a1a ab ab1cc弦定理，易知.故选 d 113cocs4oscosad ada addaba a ab（8）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（c） （a） cos 2yx343，0|6（b） （c） (d) 432解: 函数的图像关于点中心对称 cos 2yx343，0由

12、此易得.故选 c423k 42()3kkz min|3 (9) 已知直线 y=x+1 与曲线相切，则 的值为( b ) yln()xa(a)1 (b)2 (c) -1 (d)-2解:设切点，则,又00(,)p xy0000ln1,()yxayx001|1x xyxa.故答案选 b 00010,12xayxa （10）已知二面角 -l- 为 ，动点 p、q 分别在面 、 内，p 到 的距离为，q 到 的距60o3离为，则 p、q 两点之间距离的最小值为（ c ）2 3bcbca111ad2009 年普通高等学校招生考试全国年普通高等学校招生考试全国理科数学答案解析理科数学答案解析6(a) (b)

13、2 (c) (d)4 2 3解:如图分别作 ,qaa aclc pbb于于于，连pdld 于,60 ,cq bdacqpbd 则，2 3,3aqbp2acpd又222122 3pqaqapap当且仅当，即重合时取最小值。故答案选 c。 0ap ap点与点（11）函数的定义域为 r，若与都是奇函数，则( d ) ( )f x(1)f x(1)f x(a) 是偶函数 (b) 是奇函数 (c) (d) 是奇函数( )f x( )f x( )(2)f xf x(3)f x解: 与都是奇函数，(1)f x(1)f x(1)(1),(1)(1)fxf xfxf x 函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函

14、数.( )f x(1,0)( 1,0)( )f x21 ( 1)4t ，即是奇函数。故选 d(14)(14)fxf x (3)(3)fxf x (3)f x12.已知椭圆的右焦点为,右准线为 ，点，线段交于点，若,22:12xcyflalafcb3fafb 则=|af (a). (b). 2 (c). (d). 3 23解:过点 b 作于 m,并设右准线 与 x 轴的交点为 n，易知 fn=1.由题意,故.bmll3fafb 2|3bm 又由椭圆的第二定义,得.故选 a 2 22|233bf |2af第第 iiii 卷卷二、填空题：二、填空题： 13. 的展开式中，的系数与的系数之和等于 。1

15、0 xy73x y37x y解: 373101010()2240ccc 14. 设等差数列的前项和为，若,则= 。 nanns972s 249aaa解: 是等差数列,由,得 na972s 599,sa58a 2009 年普通高等学校招生考试全国年普通高等学校招生考试全国理科数学答案解析理科数学答案解析7. 2492945645()()324aaaaaaaaaa15. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球111abcabc12abacaa120bac的表面积等于 。 解:在中,可得,由正弦定理,可得外接圆半径 r=2,设abc2abac120bac2 3bc abc此圆圆心为，球心为，在

16、中，易得球半径，故此球的表面积为oort obo5r . 2420r16. 若，则函数的最大值为 。42x3tan2 tanyxx解:令, tan,xt142xt 4432224222tan2222tan2 tan81111111tan1()244xtyxxxtttt 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分 10 分）在中，内角 a、b、c 的对边长分别为、，已知，且abcabc222acb 求 b sincos3cossin,acac分析分析: :此题事实上

17、比较简单此题事实上比较简单, ,但考生反应不知从何入手但考生反应不知从何入手. .对已知条件对已知条件(1)(1)左侧是二次的右侧左侧是二次的右侧222acb是一次的是一次的, ,学生总感觉用余弦定理不好处理学生总感觉用余弦定理不好处理, ,而对已知条件而对已知条件(2)(2) 过多的关注两过多的关注两sincos3cossin,acac角和与差的正弦公式角和与差的正弦公式, ,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差, ,导致找不到突破口而失分导致找不到突破口而失分. .解法一：在解法一：在中中则由正弦定理及余弦定理有则由正弦定理及余弦定理有: :

18、abcsincos3cossin,acac化简并整理得：化简并整理得：. .又由已知又由已知2222223,22abcbcaacabbc2222()acb222acb. .解得解得. . 24bb40(bb或舍）解法二解法二: :由余弦定理得由余弦定理得: : . .又又, ,。2222cosacbbca222acb0b 所以所以2 cos2bca又又，sincos3cossinacacsincoscossin4cossinacacac，即，即sin()4cossinacacsin4cossinbac2009 年普通高等学校招生考试全国年普通高等学校招生考试全国理科数学答案解析理科数学答案解析

19、8由正弦定理得由正弦定理得，故，故sinsinbbcc4 cosbca由由，解得解得。4b 评析评析: :从从 0808 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查. .在备考中应注意总结、提高自己对问题在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力. .另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。不必强化训练。18 （本小题满分 12 分）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面， sabcdabcdsd abcd2ad

20、，点 m 在侧棱上，=602dcsdscabm（i）证明：m 在侧棱的中点sc（ii）求二面角的大小。samb（i）解法一：作交于 n，作交于 e，mnsdcdneabab连 me、nb，则面，,mn abcdmeab2nead设，则,mnxncebx在中，。rt meb60mbe3mex在中由rt mne222menemn2232xx解得，从而 m 为侧棱的中点 m. 1x 12mnsdsc解法二:过作的平行线.mcd解法三:利用向量处理. 详细可见 09 年高考参考答案. （ii）分析一分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法

21、求作二面角。过作交于,作交于,作mmjcdsdjshajajh交于,则,面,面面,hkamamkjmcdjm sadsadmba面即为所求二面角的补角.sh ambskh分析二分析二：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作abmb交于点，则点为 am 的中点，取 sa 的中点 g，连bfamamffgf，易证，则即为所求二面角.gfamgfb分析三分析三：利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线 am 垂直的两个向量的夹角即可。另外：利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等，这些方法也能奏效。2009 年普通高等学校招生考试全国年普通高等学校招生考试全国理科数学答案解析理科数学答案解析9总

22、之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。19 （本小题满分 12 分） 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6，乙获胜的概率为 0.4，各局比赛结果相互独立，已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局。 （i）求甲获得这次比赛胜利的概率； （ii）设表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。分析分析：本题较常规，比 08 年的概率统计题要容易。需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜

23、的，主要原因在于没读懂题。另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。20 （本小题满分 12 分）在数列中，na11111,(1)2nnnnaaan （i）设，求数列的通项公式nnabn nb （ii）求数列的前项和nanns分析分析：（i）由已知有1112nnnaann112nnnbb 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: () nb1122nnb*nn（ii）由（i）知,122nnnan=ns11(2)2nkkkk111(2 )2nnkkkkk而,又是一个典型的错位相减法模型，1(2 )(1)nkkn n112nkkk易得 =1112422nknkknns(1)n n1242nn评析评析

24、：09 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前 n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。21（本小题满分 12 分）2009 年普通高等学校招生考试全国年普通高等学校招生考试全国理科数学答案解析理科数学答案解析10 如图，已知抛物线与圆相交于、四个点。2:e yx222:(4)(0)mxyrrabcd （i）求得取值范围；r （ii）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标abcdacbdp分析：分析：

25、（i）这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立，消2:e yx222:(4)(0)mxyrr去，整理得 （）2y227160 xxr抛物线与圆相交于、四个点的充要条件是：2:e yx222:(4)(0)mxyrrabcd方程（）有两个不相等的正根即可.易得.考生利用数形结合及函数和方程的思想来15(,4)2r处理也可以（ii）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点 设四个交点的坐标分别为、。11( ,)a xx11( ,)b xx22(,)c xx22(,)d xx则由（i）根据韦达定理有，212127,16xxx xr15(,4)2r则2112211212 |() |()2sxxxxxxxx 222212121212()4(2)(72 16)(415)sxxx xxxx xrr令，则 下面求的最大值。216rt22(72 ) (72 )stt2s方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。221(72 ) (72 )(72 )(72 )(144 )2sttttt 331 7272144128()()2323ttt 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足