微积分基本公式课件

1、微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式微积分基本公式oxxx x引例引例上上可可积积。，且且在在设设,)(batf0 badttf表表示示一一曲曲)(边边梯梯形形的的面面积积。，则则取取),(bax xadttf)(化化。变变化化时时，面面积积也也随随之之变变当当x区区间间在在,)(badttfxa 是是积积分分上上限限，因因为为x故故称称为为积积分分上上限限函函数数。的的函函数数。上上定定义义了了一一个个 xab积积。上上方方部部分分曲曲边边梯梯形形的的面面表表示示区区间间,xa微积分基本公式定义定义 xadttfx )()( 相应地可以定义积分下限函数：相应地可以定义积分下限函数： b

2、xdttf。)(注：注： aadttfa；易易见见0 )()( badttfb。（)() ，则则称称上上可可积积，在在设设函函数数,)(baxbaxf 上上的的积积分分上上限限函函数数。为为定定义义在在,ba微积分基本公式定理定理1上上有有界界的的可可积积函函数数，则则是是若若,)(baxf xabadttfx上上连连续续。在在,)()( 证：证：,)(,baxxxmtfmmm ，以以及及使使设设有有)()()(xxxx 则则 xxaxadttfdttf)()( xxxdttf)(，于于是是xmxxm )( ，0 00 xmxmxxlimlim处处连连续续。在在即即xxxx)(,)(lim 0

3、 0 微积分基本公式定理定理2上上连连续续，则则在在区区间间若若函函数数,)(batf).()(,)()(xfxbadttfxxa上可导，且在证：证：。设设,baxxx 之之间间，与与在在由由积积分分中中值值定定理理得得xxx , xxxxfxdttfxxx )()()(11，)( f的的连连续续性性知知及及时时，当当)(xfxx 0。)()(lim)(limxffxxxx 0使使上上连连续续，在在因因为为,)(baxf )(x 微积分基本公式注：注：证明了原函数存在定理) 1 (的一个原函数就是)()()(xfdttfxxa)()2(公式分可以利用原函数求定积分之间的联系，沟通了定积分和不定

4、积ln 此定理又叫系，间的内在联揭示了微分与定积分之)3(.微积分基本定理微积分基本公式例例.1324xxtdtdxd计算解：解：)(11)(11128312432xxxxtdtdxdxx。81221213xxxx 例例。求求xdttxx 020 coslim解：解： 用洛必达法则用洛必达法则。原极限原极限1120 xxcoslim微积分基本公式练习练习.lim 21cos02xdtextx求解：解： 用洛必达法则用洛必达法则.21e原极限微积分基本公式证：证：, 1)(2)(0 dttfxxfx, 0)(2)( xfxf, 1)( xf,)(010 f则则 10)(1)1(dttff 10)

5、(1dttf, 0 所所以以0)( xf只只有有一一个个解解， 令令即原方程在即原方程在 1 , 0上只有一个解。上只有一个解。上上有有解解，在在,)(100 xf.1 , 01)(20上上只只有有一一个个解解在在 dttfxx上连续，在且,)(baxf微积分基本公式 xtdtexfyxyyarctan)()(02 与与已已知知两两曲曲线线,)(00 f解解：由由已已知知条条件件得得，；切切线线方方程程xy nfnfnnfnn20222)()(lim)(lim 。202 )(f例例,)()(arctan110022 xxxef。并并求求极极限限)(limnnfn2 切切线线方方程程，处处的的切

6、切线线相相同同，写写出出此此在在点点),( 00微积分基本公式定理定理3（newton-leibniz）上上连连续续，在在区区间间设设,)(baxf的的一一个个原原函函数数，则则是是)()(xfxf baafbfdxxf)()()(。baxf)( )(a微积分基本公式2、求定积分问题转化为求原函数的问题，从而给、求定积分问题转化为求原函数的问题，从而给定理定理3说明：说明：1、；的的原原函函数数求求)()()(xfxf 1；增量增量计算计算baxf)()( 2(a)称为牛顿称为牛顿莱布尼兹公式，简称为莱布尼兹公式，简称为nl公式。公式。注意：注意：出了计算定积分的方法：出了计算定积分的方法：意

7、一个原函数在区间意一个原函数在区间,ba上的增量；上的增量；。得得出出 baafbfdxxf)()()()( 3上连续在,)(baxf微积分基本公式例例1 102。计计算算dxx解：解：，的的一一个个原原函函数数是是3231 xx。3131 103102 xdxx例例2 2 31211。计计算算dxx解：解： 31arctan x原积分原积分12743 )(例例3 exdx1。计计算算ln解：解： ，cxxxxdxlnln exxx1 ln 原原积积分分。1 微积分基本公式例例4。轴轴所所围围成成的的图图形形的的面面积积上上与与在在求求xxy,sin 0 解：解： 由定积分几何意义知，所求面积

8、为由定积分几何意义知，所求面积为 0 xdxssin 0cosx例例5 )(xf设设，10 xx。21 3 xx 20。求求dxxf)(解：解： 201021dxxfdxxfdxxf)()()(dxxxdx 21103)(21210221321xxx 。2 。2 微积分基本公式例例7。计计算算dxx 021cos解：解：dxxcos 02原原积积分分 2022)coscos(xdxxdx。 22112 )(微积分基本公式例例8 8 计算计算.sinsin053 dxxx解解xxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x。54 微积分基本公式利用定积分求极限利用定积分求极限例例。求求)(limnnnnn 12111。nninnnnni11112111 1 )(，则则，记记ninxii 1ini