高一数学平面向量期末练习题及答案

1、向量基底的选择李太新1. 以共点向量为基底例1. 在abc内求一点p，使的值最小。解：如图1：设，以为一组基底，有：故所以，当时，的值最小，此时，即p点为abc的重心，因此，当p为abc重心时，的值最小。2. 以任一点为起点，相关顶点为终点的向量作基底例2. 在四边形abcd中，p、q分别为对角线ac、bd的中点，e、g、f、h分别为边ad、ab、bc、cd的中点，求证：ef、gh、pq的中点重合。证明：以平面上任一点o为始点，设，以为基底，有：设ef、gh、pq的中点分别为，则故重合，即ef、gh、pq的中点重合。3. 以共点的单位向量为基底例3. 如图3，在abc内任取一点o，boc、ao

2、c、aob的面积分别为，证明：。证明：设，以单位向量为基底，并设boc，aoc，aob，则有：所以，同理：所以，在上取一点d，使，作deob交co延长线于e，则deo180°doe180°，ode180°在doe中，由正弦定理，得：又所以故因为即从而练习1. abc中，abac，d是ab中点，o是abc的外心，e是acd的重心。求证：oecd2. 已知四边形abcd，求证：acbd当且仅当。3. 四边形abcd的对角互补，ab、dc交于e，ad、bc交于f，eg平分aed交ad于g，fh平分afb交ab于h，求证：egfh。提示：1. 可选择作为基底。2. 在ab

3、cd所在平面内任取点o，以为基底。3. 以的单位向量为基底。选定向量基底，解决常见立体几何问题利津二中 陈富君 魏静我们知道，空间向量的坐标运算成为解决立体几何的垂直与平行的证明、角与距离的求解等问题的一个十分有效的工具，用空间向量的方法处理立体几何问题,常常可以收到化繁为简,化难为易,也降低了同学们学习立体几何的思维难度.但是空间直角坐标坐标系的应用有着很大的局限性，取而代之，若以有着特殊关系的三个向量作为基底，通过向量运算将使更多的立体几何问题得到很好的解决.这类问题常以特殊四面体（或空间四边形），平行六面体，特殊三棱柱等为载体. 一、证明三点共线abdcefgh例1 如图，在空间四边形a

4、bcd中，e、f分别是ab、ad的中点，g、h分别在bc、cd上，且bg : gcdh: hc1: 2.设eg和hf交于点p，求证p、a、c三点共线.解 设，则 ， cc1badb1a1d1mn 且a为pa、ac公共点，故p、a、c三点共线二、证明直线平行平面向量平行平面abc的充要条件是例2 直四棱柱abcda1b1c1d1中，m、n分别是ab1与bc1上的点，且，求证mn平面abcd.解 设，则平面abcd，而，故mn平面abcd.三、证明直线垂直直线（或直线垂直平面）例3 如图，在四面体abcd中， m是ab的中点，n是cd的中点，求证：mn是异面直线ab，cd的公垂线的充要条件是：ac

5、bd，bcad.证明 设nmabcd必要性 若mn是异面直线ab，cd的公垂线，则，同样的可得 ， ，因此，acbd，同理bcad.充分性 由acbd，得 由bcad，得 得 故mnam，同理mncn，即 mn是异面直线ab，cd的公垂线.四、求异面直线的夹角例4 在正四面体abcd中，m、p分别为棱ad、cd的中点，n、q分别是面bcd、面abc的中心，求mn与pq的夹角.解 设正四面体的棱长为2，o为bc中点，则onmpqabcd， ，即|mn|pq|1，因此，mn与pq的夹角为空间向量的基底的应用恰恰是教学中的薄弱环节,如果不注意及时补上这一课,久而久之,应用向量的思维会钝化,甚至会缘木

6、求鱼.平面向量一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。1、下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ）a b c d 2、若abcd是正方形，e是cd的中点，且，则= ( ) a b 3、若向量与不共线，且，则向量与的夹角为 （ ）a b c d04、设，是互相垂直的单位向量，向量，,则实数m为 （ ） a-2 b2 不存在5、在四边形abcd中，则四边形abcd的形状是 （ ）a长方形 b平行四边形 菱形 梯形6、下列说法正确的个数为 （ ）（1）； （2）； （3） （4）； （5）设为同一平面内三个向量，且为非零向量，不共线，则与垂直。 a2 b. 3 c.

7、 4 d. 57、在边长为1的等边三角形abc中，设，则 的值为 （ a b 0 38、向量=（-1，1），且与+2方向相同，则的范围是 （ ） a（1，+） b（-1，1） （-1，+） （-，1）9、在oab中，=（2cos，2sin），=（5cos，5sin），若=-5，则soab= （ ） a b 10、若非零向量、满足，则 （ ）a. b. c. d. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。11、若向量，则与平行的单位向量为_ ，与垂直的单位向量为_。12、已知，则在上的投影等于_ 。13、已知三点， 为线段的三等分点，则_14设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个

8、向量，它的模.若，则 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分。15（本小题满分12分）设向量=（3，1），=（-1，2），向量，又+=，求。16（本小题满分12分）已知向量（）若点能构成三角形，求满足的条件；（）若为等腰直角三角形，且为直角，求的值17、（本小题满分14分）已知a(2,0)，b(0,2)，c(cos,sin)，(0<<)。（1）若（o为坐标原点），求与的夹角；（2）若，求tan的值。18、（本小题满分14分）如图，o，a，b三点不共线，设，。（1）试用表示向量；（2）设线段ab，oe，cd的中点分别为l，m， n，试证明l，m，n三点共线。19、（本小题满分14分

9、）在平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知向量，又点(1)若且，求向量；(2)若向量与向量共线，当时，且取最大值为4时，求20、（本小题满分14分）已知向量，且，求：（1）及；（2）若的最小值为，求实数的值。平面向量测试题参考答案一、选择题：（每小题5分） dbaad bbcda二、填空题：（每小题5分） 11、 12、 13、 14、 2 三、解答题：本大题共6小题，共80分。15解： 设=（x,y），2y x =0，又，=（x+1，y-2），3( y-2) (x+1)=0，即：3y x-7=0，由、解得，x=14，y=7，=（14，7），则=-=（11，6）。16、解：（） 若点能构成三角形，则这三点不共线， ，满足的条件为（），若为直角，则， ， 又，再由，解得或17、解：，又，即，又，与的夹角为，由，可得，又由，0，由、得，从而18、解：(1)b，e，c三点共线，=x+(1-x)=2 x+(1-x)，同理，a，e，d三点共线，可得，=y+3(1-y)，比较，得，解得x=， y=,=。（