第十一章+稳恒电流

1、11 11.1 .1 电流及其连续性方程电流及其连续性方程11.1.1 11.1.1 电流电流 1. 电流与载流子电流与载流子 电荷的定向移动形成电荷的定向移动形成电流电流。 形成电流的带电粒子统称为形成电流的带电粒子统称为“载流子载流子”。 金属导体中的载流子是金属导体中的载流子是自由电子自由电子。 金属导体中的自由电子在电场力的作用下作定向运动所形成的电流称为金属导体中的自由电子在电场力的作用下作定向运动所形成的电流称为“传导电流传导电流”。 实验表明，实验表明，负电荷运动引起的电流与等量正电荷沿相反方向运动引起的电流等效负电荷运动引起的电流与等量正电荷沿相反方向运动引起的电流等效。 正电

2、荷运动的方向规定为正电荷运动的方向规定为电流的方向电流的方向。负电荷的运动都等效地看作是正电荷的反向运动。负电荷的运动都等效地看作是正电荷的反向运动。11 11.1 .1 电流及其连续性方程电流及其连续性方程 2. 电流【强度】（标量）电流【强度】（标量） 单位时间内通过导体截面的电荷量称为单位时间内通过导体截面的电荷量称为流过该截面流过该截面的电流强度的电流强度。 符号：符号：I 单位：安培（单位：安培（A） 定义式：定义式：SIqtqtqItddlim0 3. 电电流密度（矢量）流密度（矢量） 导体内某点的电流密度导体内某点的电流密度： 方向：方向：与该点正电荷的运动方向一致（即与该点电场

3、的方向一致）；与该点正电荷的运动方向一致（即与该点电场的方向一致）； 大小：等于大小：等于单位时间单位时间内通过该点附近垂直于电荷运动方向的内通过该点附近垂直于电荷运动方向的单位面积单位面积上的电量；上的电量； 符号：符号： 单位：安培单位：安培米米-2（Am-2） 定义式：定义式：11 11.1 .1 电流及其连续性方程电流及其连续性方程J)cosdd(dddSSStqJ11 11.1 .1 电流及其连续性方程电流及其连续性方程vJdSdSvdtp 设某点设某点 p 处载流子（假设带正电）的运动速度为处载流子（假设带正电）的运动速度为 ，该点附，该点附近载流子的电荷体密度为近载流子的电荷体密

4、度为 ，在，在 p 附近取面元附近取面元 ，其法线方向，其法线方向与速度与速度 之间的夹角为之间的夹角为 ，则，则 dt 时间内流过时间内流过 的电量为：的电量为：vSdSdvStvqddd根据电流密度的定义，根据电流密度的定义，p 点电流密度的大小为：点电流密度的大小为：vStStvStqJddddddd考虑到电流密度的方向和正载流子运动方向一致，有：考虑到电流密度的方向和正载流子运动方向一致，有：vJ如果载流子带负电（例在金属导体中），设如果载流子带负电（例在金属导体中），设 n 是电子数体密度，即单位体积内的自由电子是电子数体密度，即单位体积内的自由电子数，则某点电流密度常写成下面的形式

5、：数，则某点电流密度常写成下面的形式：vnevJ11 11.1 .1 电流及其连续性方程电流及其连续性方程 3. 电流密度和电流强度的关系（类比电场强度与电通量）电流密度和电流强度的关系（类比电场强度与电通量） 上各点的电流密度上各点的电流密度 与流过与流过 的电流强度的电流强度 dI 间的关系为：间的关系为：SdJSdcosdddddddSISIStqJSJSJIdcosdd通过任意曲面通过任意曲面S的电流强度的电流强度I与面上各点的电流密度与面上各点的电流密度 之间的关系式是：之间的关系式是：JSSJId即：通过某一曲面的电流强度就是通过该曲面的即：通过某一曲面的电流强度就是通过该曲面的电

6、流密度通量电流密度通量。11 11.1 .1 电流及其连续性方程电流及其连续性方程11.1.2 11.1.2 电流的连续性方程电流的连续性方程 根据电荷守恒守恒定律，单位时间内从面内流出的电荷应等于面内电荷根据电荷守恒守恒定律，单位时间内从面内流出的电荷应等于面内电荷 qint 的减少率。的减少率。tqSJSdddint 通过某闭合曲面的电流强度（净流出封闭曲面的电流，即通过某闭合曲面的电流强度（净流出封闭曲面的电流，即单位时间内从面内流出的电荷单位时间内从面内流出的电荷）：）：SSJId 因此有：通过任意一闭合曲面的电流密度通量等于面内电荷的减少率。因此有：通过任意一闭合曲面的电流密度通量等

7、于面内电荷的减少率。11 11.1 .1 电流及其连续性方程电流及其连续性方程11.1.3 11.1.3 稳恒电流稳恒电流 稳恒电流：空间各点的电流密度不随时间变化的电流。稳恒电流：空间各点的电流密度不随时间变化的电流。 稳恒电场：维持稳恒电流的不随时间变化的电场。为了在导体内建立一个稳恒电场：维持稳恒电流的不随时间变化的电场。为了在导体内建立一个“稳恒电场，稳恒电场，必须要求激发该电场的所有电荷分布均不随时间发生变化，即在任意闭合面所包围的体积必须要求激发该电场的所有电荷分布均不随时间发生变化，即在任意闭合面所包围的体积内，有下式成立：内，有下式成立：0ddinttq 根据电流的续性方程，上

8、式可等效为根据电流的续性方程，上式可等效为0dddinttqSJS（稳恒电流的连续性方程稳恒电流的连续性方程）11 11.1 .1 电流及其连续性方程电流及其连续性方程 稳恒电流的稳恒电流的闭合性闭合性：稳恒电流场中的电流密度线是既无起点又无终点的闭合曲线。稳：稳恒电流场中的电流密度线是既无起点又无终点的闭合曲线。稳恒电流的闭合性决定了流有稳恒电流的电路必须是闭合的。恒电流的闭合性决定了流有稳恒电流的电路必须是闭合的。 稳恒电场与静电场的共同点：两者的场强本身及产生场强的电荷分布都不随时间发生稳恒电场与静电场的共同点：两者的场强本身及产生场强的电荷分布都不随时间发生变化。变化。 稳恒电场与静电

9、场的区别：激发静电场的电荷是静止不动的，而产生稳恒电场的电荷稳恒电场与静电场的区别：激发静电场的电荷是静止不动的，而产生稳恒电场的电荷分布（至少有一部分）是处在动态平衡状态下。分布（至少有一部分）是处在动态平衡状态下。 稳恒电路稳恒电路（直流电路）：流有稳恒电流的电路。如果一根导线中流有稳恒电流，则通（直流电路）：流有稳恒电流的电路。如果一根导线中流有稳恒电流，则通过导线各个截面的电流强度都相等。因此，我们有时将流过导线中某个横截面的电流强度过导线各个截面的电流强度都相等。因此，我们有时将流过导线中某个横截面的电流强度简单地说成是简单地说成是“导线中的电流强度导线中的电流强度”。11 11.

10、.2 2 欧姆定律和焦耳定律欧姆定律和焦耳定律11.2.1 11.2.1 欧姆定律欧姆定律 线状金属导体两端沿电流方向的电势差（或电压）与其电流成正比，即：线状金属导体两端沿电流方向的电势差（或电压）与其电流成正比，即：bVaVIEIRVVUbaab 导体的电阻（导体的电阻（ R ）：单位为欧姆（）：单位为欧姆（ ）；）； 电阻的倒数叫电导（电阻的倒数叫电导（ G ）：单位为西门子（）：单位为西门子（ S 或或 -1）IUR UIRG111 11. .2 2 欧姆定律和焦耳定律欧姆定律和焦耳定律11.2.2 11.2.2 电阻定律电阻定律 对于由一定材料制成的长为对于由一定材料制成的长为 l

11、、横截面积（即垂直于电流方向的横截面积）为、横截面积（即垂直于电流方向的横截面积）为 S 的柱的柱形导体，其电阻为：形导体，其电阻为：SlR 电阻率（电阻率（ ）：单位为）：单位为 m； 电阻率的导数称为电导率（电阻率的导数称为电导率（ ）：单位为）：单位为 Sm-1或或 -1m-1。lRSSGlRSl111 11. .2 2 欧姆定律和焦耳定律欧姆定律和焦耳定律 电阻率不但与材料的种类有关，而且还和温度有关。一般的金属在温度不太低时，电电阻率不但与材料的种类有关，而且还和温度有关。一般的金属在温度不太低时，电阻率与温度有线性关系：阻率与温度有线性关系：)1 (0tt 电阻温度系数：电阻温度系

12、数： 超导：对于有些金属和化合物，当其温度降到某一特定值时，电阻率突然降为零，这超导：对于有些金属和化合物，当其温度降到某一特定值时，电阻率突然降为零，这种现象叫超导。种现象叫超导。11 11. .2 2 欧姆定律和焦耳定律欧姆定律和焦耳定律电阻的串联与并联电阻的串联与并联 对于截面不均匀的导体，只要电阻率对于截面不均匀的导体，只要电阻率 在每个截面上的各点都相同（对于不同截面在每个截面上的各点都相同（对于不同截面可以不同），沿轴向的总电阻可通过积分的方法求出（原因是问题中的所有微电阻可以不同），沿轴向的总电阻可通过积分的方法求出（原因是问题中的所有微电阻 dR串串联），即联），即：dlSdd

13、llRRS 在某些问题中，当在某些问题中，当 N 个电阻并联时，总电阻为个电阻并联时，总电阻为:111NiiRR11 11. .2 2 欧姆定律和焦耳定律欧姆定律和焦耳定律11.2.3 11.2.3 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式RlERVVIRVVIbabaddddJEdIIbdSdlaSlRSlRdddSJIdd SESESllERlESJdd1ddddddEJEJ欧姆定律的积分形式欧姆定律的积分形式：baabSlERRUSJId1d11 11. .2 2 欧姆定律和焦耳定律欧姆定律和焦耳定律11.2.4 11.2.4 电流的功和功率、焦耳楞次定律电流的功和功率、焦耳楞次定律 设在设

14、在 t 时间内，时间内，a 面处的电荷运动到了面处的电荷运动到了 b 面处，那么面处，那么 b 面处的电荷将运动到面处的电荷将运动到 b 面处，面处，即位于即位于 ab 之间的电荷移到了之间的电荷移到了 bb 之间，或者说每个电荷移到了距离之间，或者说每个电荷移到了距离 l ，在移动电荷的过程，在移动电荷的过程中，设中，设 ab 内的粒子数为内的粒子数为 N ，每个粒子的电量为，每个粒子的电量为 e，电场力作的功（，电场力作的功（电流的功电流的功）为：）为：电场力在单位时间内所作的功（电场力在单位时间内所作的功（电流的功率电流的功率）为）为llabbIbabaUtIVVqElqeEleqNAA

15、)()(0babaUItUtItAP11 11. .2 2 欧姆定律和焦耳定律欧姆定律和焦耳定律 焦耳楞次定律：焦耳楞次定律：当一段导体中通有电流时，导体上将放出热量，在当一段导体中通有电流时，导体上将放出热量，在 t 时间内，导体时间内，导体上放出的热量为：上放出的热量为：tRIQ2 （1）对于）对于一段电阻电路一段电阻电路，在稳恒电流情况下，导体在，在稳恒电流情况下，导体在 t 时间内放出的热量等于这段时间内放出的热量等于这段时间内电流作的功：时间内电流作的功： （2）对于）对于一段非纯电阻电路一段非纯电阻电路（如电路中有电动机）有：（如电路中有电动机）有：其中其中 是电场力在是电场力在

16、t 时间内作的功，时间内作的功， 是总电阻是总电阻 R 上放出的热量，上放出的热量，A 是电动机在时间内对外所作的功，一般没有计算式。是电动机在时间内对外所作的功，一般没有计算式。AtIUtRIQab2AQAabtUIAtRIQ211 11. .3 3 电源和电动势电源和电动势 闭合电路和一段含闭合电路和一段含源电路的欧姆定律源电路的欧姆定律11.3.1 11.3.1 电源及其电动势电源及其电动势Eqefkfab电源的基本结构电源的基本结构 电源内部存在从低电势指向高电势的电源内部存在从低电势指向高电势的静电力静电力，它的，它的作用使得正电荷逆着静电力从低电势流向高电势。作用使得正电荷逆着静电

17、力从低电势流向高电势。 电源不接外电路的状态称为电源不接外电路的状态称为“开路开路”状态。状态。 电源开路时，两端存在一个固定的电势差，通常将电源开路时，两端存在一个固定的电势差，通常将电势高的一端称为电源的电势高的一端称为电源的正极正极，电势低的一端称为电源，电势低的一端称为电源的的负极负极。11 11. .3 3 电源和电动势电源和电动势 闭合电路和一段含闭合电路和一段含源电路的欧姆定律源电路的欧姆定律REqefkfab电源的工作过程电源的工作过程 将将电源接入外电路处于闭路状态时，电源正极电源接入外电路处于闭路状态时，电源正极上的正电荷在静电力的作用下定向移动的负极，形上的正电荷在静电力

18、的作用下定向移动的负极，形成电流。成电流。 在在外电路中外电路中，电流从高电势流到低电势，正电，电流从高电势流到低电势，正电荷由电源正极流向电源负极；荷由电源正极流向电源负极； 在在电源内部电源内部，负极上，负极上的正电荷在静电力的作用下定向移动到正极。的正电荷在静电力的作用下定向移动到正极。 在电源内部，由于起主导作用的是非静电力，在电源内部，由于起主导作用的是非静电力，因此电流从低电势（电源负极）流到高电势（电源因此电流从低电势（电源负极）流到高电势（电源正极）。正极）。11 11. .3 3 电源和电动势电源和电动势 闭合电路和一段含闭合电路和一段含源电路的欧姆定律源电路的欧姆定律Eqe

19、fkfabkE 非静电场强：非静电场强： 电源的电动势（单位：伏特电源的电动势（单位：伏特 V ）：）：电源内部的非静电力电源内部的非静电力将单位正电荷从负极移到正极过程中所作的功将单位正电荷从负极移到正极过程中所作的功：由于在电源外非静电场强为由于在电源外非静电场强为0，所以有，所以有：也即也即把单位正电荷绕闭合回路一周时，把单位正电荷绕闭合回路一周时，电源非静电力做的功电源非静电力做的功。ldEkqfEkkldEldEkk非静电场强与电源的电动势非静电场强与电源的电动势11 11. .3 3 电源和电动势电源和电动势 闭合电路和一段含闭合电路和一段含源电路的欧姆定律源电路的欧姆定律 电动势

20、的方向电动势的方向：电动势本身是一个正的标量，不是矢量。但在电工学中，常把：电动势本身是一个正的标量，不是矢量。但在电工学中，常把“电电源内由源内由负极到正极负极到正极的方向（即非静电场强的方向）的方向（即非静电场强的方向）”称为称为“电动势的方向电动势的方向” 。 实际电源与理想电源：实际电源内部一般是导体，具有一定的内电阻，用实际电源与理想电源：实际电源内部一般是导体，具有一定的内电阻，用 r 表示。表示。若若 r = 0（如超导材料），则称为理想电源。任何一个实际电源可等效为一个理想电源与一（如超导材料），则称为理想电源。任何一个实际电源可等效为一个理想电源与一个内电阻的串联。个内电阻的

21、串联。 理想电源的电动势等于电源正、负极电势之差，即理想电源的电动势等于电源正、负极电势之差，即几几 点点 说说 明明, rabrabl dEl dEl dEVVkk)(11 11. .3 3 电源和电动势电源和电动势 闭合电路和一段含闭合电路和一段含源电路的欧姆定律源电路的欧姆定律11.3.2 11.3.2 闭合电路的欧姆定律闭合电路的欧姆定律利用以下三组公式，可处理直流电路中的各种问题：利用以下三组公式，可处理直流电路中的各种问题：（1）一段纯电阻电路的欧姆定律：）一段纯电阻电路的欧姆定律：（2）理想电源两极的电势差：）理想电源两极的电势差：（3）稳恒电场的环路定理：）稳恒电场的环路定理：

22、,abbaVVIRVVIR ,VVVV 00bcaabxE dlE dlE dlE dl11 11. .3 3 电源和电动势电源和电动势 闭合电路和一段含闭合电路和一段含源电路的欧姆定律源电路的欧姆定律 1. 单个电源的情况单个电源的情况bcRarI0()()()0abbccaE dlVVVVVV,abbcVVIRVVIrcaVVVV )/(0rRIIrIR11 11. .3 3 电源和电动势电源和电动势 闭合电路和一段含闭合电路和一段含源电路的欧姆定律源电路的欧姆定律b1c1rRd2re2aI21设 2. 两个电源的情况两个电源的情况0)()()()()(aeeddccbbaVVVVVVVV

23、VV)/()(021122211RrrIIrIRIr若将的正、负极互换，则有若将的正、负极互换，则有：)/()(2112rrRI 3. 多个电源串接的情形多个电源串接的情形)(/ )(iiiiRI11 11. .3 3 电源和电动势电源和电动势 闭合电路和一段含闭合电路和一段含源电路的欧姆定律源电路的欧姆定律11.3.3 11.3.3 一段含源电路的欧姆定律一段含源电路的欧姆定律cb3rh3g2rf2e1rd11Ra2R43I2I1I顺序方向()()()()()()()bababaccddeeffgghhbaUVVE dlVVVVVVVVVVVVVV1111 122 232 3123111 12 22 3()()I RI rI rI rI RI rI rI r)()(iiiiiabRIU11 11. .3 3 电源和电动势电源和电动势 闭合电路和一段含闭合电路和一段含源电路的欧姆定律源电路的欧姆定律11.3.4 11.3.4 基尔霍夫方程组基尔霍夫方程组 1. 节点电流方程节点电流方程（基尔霍夫第一定律基尔霍夫第一定律）。对于任一节点，流向节点的电流之和等于流）。对于任一节点，流向节点的电流之和等于流出节点的电流之和，即出节