2020-2021学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术-几何平均不等式优化练习新人教A版选修4经典实用

1、3 三个正数的算术-几何平均不等式课时作业 a组基础巩固1设x，y，z>0且xyz6，则lg xlg ylg z的取值范围是()a(，lg 6b(，3lg 2clg 6，) d3lg 2，)解析：lg xlg ylg zlg(xyz)，而xyz323，lg xlg ylg zlg 233lg 2，当且仅当xyz2时，取等号答案：b2函数yx2·(15x)(0x)的最大值为()a. b.c. d.解析：0x，15x0，yx2·(15x)x·x·(15x)3.当且仅当x15x，即x时取“”，故选a.答案：a3已知圆柱的轴截面周长为6，体积为v，则下列不

2、等式正确的是()av bvcv dv解析：如图，设圆柱半径为r，高为h，则4r2h6，即2rh3.vs·hr2·h·r·r·h3，当且仅当rrh1时取等号答案：b4设a，b，cr，且abc1，若m··，则必有()a0m< b.m<1c1m<8 dm8解析：m·8，当且仅当abc时等号成立答案：d5已知x为正数，下列各题求得的最值正确的是()ayx22x36，ymin6by2x33，ymin3cy2x4，ymin4dyx(1x)(12x)3，ymax解析：a，b，d在使用不等式abc3(a，b，cr

3、)和abc()3(a，b，cr)都不能保证等号成立，最值取不到c中，x>0，y2x2(x)224，当且仅当x，即x1时取等号答案：c6若x>0，则函数y4x2的最小值是_解析：x>0，y4x24x23 3.当且仅当4x2(x>0)，即x时，取“”，当x时，y4x2(x>0)的最小值为3.答案：37若a>2，b>3，则ab的最小值为_解析：a>2，b>3，a2>0，b3>0，ab(a2)(b3)53 5358(当且仅当a3，b4时等号成立)答案：88设底面为等边三角形的直棱柱的体积为v，那么其表面积最小时，底面边长为_解析：设底面

4、边长为x，高为h，则x2·hv，所以h，又s表2·x23xhx23x·x2×33×，当且仅当x2，即x时，s表最小答案：9已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x2y3.证明：因为x>0，y>0，xy>0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33，所以2x2y3.10如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器的容积最大值解析：设正六棱柱容器底面边长为x(x>0)，高为h，由图可有2hx，h(1x)，vs底

5、3;h6×x2·hx2··(1x)2××××(1x)9×3.当且仅当1x，即x时，等号成立所以当底面边长为时，正六棱柱容器的容积最大，为.b组能力提升1已知a，b，cr，x，y，z ，则()axyz byxzcyzx dzyx解析：a，b，cr，xy，又x2，z2，a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，三式相加得：a2b2c2abbcca.3a23b23c2(abc)2，z2x2，zx，即yxz.答案：b2若实数x，y满足xy>0，且x2y2，则xyx2的最小值是()a1 b2c3 d4解

6、析：xyx2xyxyx23 3 33.答案：c3设x，则函数y4sin2x·cos x的最大值为_解析：y216sin2x·sin2x·cos2x8(sin2x·sin2x·2cos2x)8()38×，y2，当且仅当sin2x2cos2x，即tan x时，等号成立ymax.答案：4设正数a，b，c满足abc1，则的最小值为_解析：a，b，c均为正数，且abc1，(3a2)(3b2)(3c2)9.()·(3a2)(3b2)(3c2)3··39.当且仅当abc时等号成立即1.故的最小值为1.答案：15设a，b，c为正实数，求证：abc2.证明：因为a，b，c为正实数，由算术几何平均不等式可得3 ，即(当且仅当abc时，等号成立)所以abcabc.而abc2 2(当且仅当a2b2c23时，等号成立)，所以abc2(当且仅当abc时，等号成立)6已知某轮船速度为每小时10千米，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和为最小解析：设船速为v千米/小时，燃料费为a元/小时，则依题意有ak·v3，且有30k·103，k.av3.设每千米的航