初等数学研究习题五答案

1、习题五习 题 五1.指出下列各不等式的定义域，并判别各自属于哪类不等式（绝对不等式、条件不等式或矛盾不等式）； 0 ；2 判别实数域中下列各命题是否正确，正确的给予证明，不正确的举出反例。（1）若，则（2）若，则ab；(3) 若；（4）若；且，则；（5）若，nn，则；（6）若1，则（）（）（）（）.3. 设r，比较与的大小.4. 下面命题的证明错在哪里？并给出正确的证法. 命题：证明. 证：假设命题成立.将两边平方，得 . 将两边平方和，得， 即 将两边平方，得 . 未式显然成立，又各步皆可逆，所以原命题成立.5. 证明下列不等式： （）； （）. 6. 设，求证： . 8. 设。，.求证：

2、9 证明以为通项的数列是一个单调递增数列.10. 设，为不全等的正数，求证 11. 设，,且，求证： 12. 设 ，求证：. 13. 设是大于的自然数，求证： 14. 设，且，求证.15. 设，求证.16. 求证.17. 设，求证.18. 证明下列不等式： ; .19 设，均为正数，且，求证： ； 设，均为正数，切，求证： .20. 设，为互不相等的自然数，求证对任意自然数，都有以下不等式成立： .21. 求证： ，；22. 求证：函数在区间，上是凹函数.23. 下列各对不等式是否同解？为什么？ 与； 与； 与； 与； 与；与. 24. 下列各对不等式（组）是否同解？为什么？ 和； 和； 和；

3、 和25. 解下列不等式： ； ； ； ； ； ； ； ； . 26. 求函数的定义域.27. 解下列不等式： ； ； ； .28. 解下列不等式 ； ； ； .29. 当取何值时多项式函数取最少值？并求出这个最小值.30. 求函数的极值.31. 设，且，求的最大值及 的最少值.32. 矩形abcd的相邻两边之长分别为和，从定点a和c出发，分别在相邻两边上截取相等的线段ae=af=cg=ch=（如图）.试问取何值时平行四边形efgh的面积最大？最大值是多少？ 第32题图33. 有一边长为的正方形白铁片，在其四角上截去四个边长为的全等正方形，然后将四边翻折，做成一个无盖长方体形状的铁盒。试问去何

4、值时铁盒具有最大体积？最大体积是多少？5、证明下列不等式。（1）证明： （2）证明： 6、设，求证：证明：当n=1时，即n=1时不等式成立。 假设n=k时不等式成立，即则当n=k+1时，有 即当n=k+1时，不等式也成立。由、知，对任意自然数n不等式成立。7、设求证：（1）证明：假设成立，则有即：也即：但是成立的，并且上面每一步都可逆，因而不等式得证。（2）8、设求证：（1）（2）证明：（1）利用柯西不等式。（2）不妨设则故有+，有： =39、证明以为通项的数列是一个单调递增数列。证明：由二项式定理，有其中于是， 将上面等式中的n换成n+1，就得到的展开式：的展开式有n+1项，的展开式有n+2

5、项。它们每一项都是正数，因为 所以的第k+1项小于的第k+1项，即此外，比还多了一个正数项（即展开式的最后一项），故有：以为通项的数列是一个单调递增数列。10、设为不全相等的整数，求证：证明：利用均值不等式，有即11、设且求证： 证明：当n=2时， 当n=2时，不等式成立。假设当n=k时，不等式成立，即：则当n=k+1时，有： 不妨设a<b则即故当n=k+1时不等式也成立。由知，对任意自然数n，不等式成立。12、设求证：证明：当n=1时，即n=1时，不等式成立。 假设n=k时，不等式成立，即 则，当n=k+1时，有： 即当n=k+1时，不等式也成立。由知，对于任意自然数n，不等式成立。1

6、3、设n是大于1的自然数，求证： 证明：当n=2时，有即当n=2时，不等式成立。假设n=k时，不等式成立，即则当n=k+1时，有：即当n=k+1时，不等式也成立。由知，对于大于1的自然数，不等式成立。15、设求证：，（莫斯科第15届（1952年）数学竞赛题）证明：由已知，得最后一式成立，故原不等式得证。16、求证：证明：设，则有： 令则有： 是实数。 即17、设n>2,求证：证明： 即即18、证明下列不等式：（1）（2）证明：（1）由不等式得：得：令k=1,2,n 代入上式，得： . .(1)+(2)+.+(n):即：（2）由 即 令 k=2,3.n 代入上式，得：.(1)+(2)+.+

7、(n-1) 得：即:19. （1）设a,b均为正数，且a+b+c=1，求证：.(2) 设 .证明：（1） 法一：在柯西不等式中，令法二：利用琴森不等式，先证是凸函数.设对于且，现证：而要证：需证：即：也即：即：且：故是成立的，并且上面每一步都可逆，成立.即 成立.在是凸函数.设且，利用琴森不等式，有：（2） 法一：由均值不等式： 得：即 法二：在是凸函数，利用琴森不等式，有：20. 设为互不相等的自然数，求证对任意自然数n,都有以下不等式成立：证明：由柯西不等式：又对于任意自然数n，必有：（1） 除以（2），得：21. 求证： 证明：由三角不等式，有：（1）+（2）得：22. 求证：函数在区间

8、上是凹函数，证明：设且，要证：在上是凹函数，只需证明： 即证：.即证：由，可知：将（1）（2）两边相乘得：即证命题成立.23. 下列各队不等式是否同解？为什么？（1）与；（2）与x+1>0;(3) 与x-1>0;(4) 与（x-3）>x+8;(5) 与x-2<0;(6) 与x-2<0;答：（1）不是同解不等式。因为前者定义域为，后者定义域为r.（2） 不同解.（3） 同解不等式.（4） 同解不等式，因为解集都是空集.（5） 不同解.因为x+5恒取正值，故不能两边同乘以x+5.（6） 同解不等式，因为24. 下列各对不等式（组）是否同解？为什么？（1） 与；（2）

9、和；（3） 和；（4）和 ；解：（1） 同解不等式，因为反切正函数在r上取正值，且是一一映射.（2） 不同解，当时，无意义。（3） 不同解，例如适合右式，但不适合左式.（4）同解不等式，如果右式成立，左式显然成立；如果左式成立，则可用反证法证明右式也成立.25. 解下列不等式.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） ；（7） ；( 8) ;(9) ;(10) ;解：（1）当即时，解集为空集.当即时，有，即，解得：当，即时，有，即，解得：（2）定义域为原不等式与下列不等式同解：（i）（ii）不等式（i）的解集为：不等式（ii）的解集为空集；（3）由，有：两边平方，有：（4）原不等式和下列

10、两不等式组同解：（i）则不等式组的解是（ii）所以不等式组（ii）的解集是因此，原不等式的解集是（5）两边平方，有：所以不等式的解为：（6） 原不等式可化为： 所以原不等式的解集为：（7） 原不等式和下面两个不等式组同解：（i）所以不等式组（i）的解集为：（ii）所以不等式组（ii）的解集为：所以原不等式的解集为：（8） 原不等式可化为：所以原不等式的解集为：(9) 令，则，原不等式化为：当时，有：，即：且；当；或所以原不等式的解集为：（10）原不等式可化为：即：所以原不等式的解集：26. 求函数的定义域.解：为使函数有意义，只需且必须：所以解集为：27. 接下列不等式（1）（2）（3）( 4

11、 ) 解：（1）又成立所以原不等式的解集为：（2）令，则由解得：由解得：(3) 由原不等式：或 由（1）得：或 由（2）得：或所以原不等式的解集为：（4） 令，则原不等式化为：故原不等式的解集为：28. 解下列不等式（1）( 2 ) ( 3 ) (4) 解:(1) 原不等式可化为：解（1）得：解（2）得：故原不等式的解集为：（2）原不等式可化为：（i）或(ii)由(i)有：由（ii）有：所以原不等式的解集为：(3) 原不等式化为：所以原不等式的解集为：(4) 原不等式化为：或（ii）解（i）有：解（ii）有：所以原不等式的解集为：29. 当x取何值时多项式函数取最小值？并求出这个最小值。解：令，则：当即时，此时由,有30. 求函数的极值.解：令,则,以及于是，当,即时，当即时，31. 设求abc的最大值及的最小值.解：由,有：时，abc取最大值由,得：当且仅当时，等号成立，而故可得：32. 矩形abcd的相邻两边之长分别为a和b ，从顶点a和