7.3.5已知三角函数值求角2019(秋)数学必修第三册人教B版(新教材)改题型

1、735 已知三角函数值求角课标要求素养要求1. 掌握已知三角函数值求角的步骤和方法.2. 了解符号 arcs in x、arccos x、arcta nx 的含义，并能用这些符号表示非特殊角.通过知值求角提升数学运算 及数学抽象素养.课前预习知识Illi li ill |：| III 1教材知识探究ts®引入大海中航行需要正确地计算航行的方向，需要掌握包括三角函数在内的广泛的数 学知识.问题 已知sin x23，你能求出满足条件的角x吗？提示 x= n+ 2kn或 x=2k n k Z.匕新期梳理1. arcsin x的含义 在定义中要注意 arcsin x、arccos x及arc

2、tan x各角所对应的区间任意给定一个 y - 1, 1，当sin x二y，且x匚乞-衣时通常记作 x =arcsin_ y. 2.arccosx 的含义在区间0，冗内，满足cos x=y(y - 1,1)的x只有一个，这个x记作arccos y.即 x= arccos_ y.3.在区间(2,n内，满足tan x= y(y R)的x只有一个，这个x记作arctan y， 即 x= arctan y.教材拓展补遗微判断1. arcs in=arccos.g)提示 arcs in12. arccos q1 n3 n2 = 6，arccosy = 、=arcsin2.(x)12 nn提示 arcco

3、s q =三,arcsinq = 3.n提示/ arctan( 1) = 4,narcs in(1)= .微训练1.若cos x= 0,则角x为（)A. k n, k ZnB . kn+ 2，k ZnC. 2k n+ 2， k ZnD . 2kn 2，k Z答案 Bg3的角a的集合为（2 .在0， 2 n 内满足 sin a=n 2 nn 5 nA. 3,耳B. 6,石4 n 5 n7 n 11 nC. §, §D . 6，6答案 C3. arctan(1)= arcsin( 1). (x )3.已知 tan x=3, nVxv2 n 贝U x 等于.4 n 答案4n微思考

4、已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么?提示不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范 围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个琛皇且砌 爲注胃:忻mu 111IIKImu mu11:111题型一已知正弦值求角n 1例 1已知 sin x 3 = 4,求 x.当没有给出具体的角的范围时，要注意加上一个2k n k乙n1解 设 x 3 = t，则有 sin t= 4.nn1口1t 2，2 时，t= arcsin 4，又 sin t= 4,1所以t是第三、四象限角，且t1 = arcsin 4是第四象限角.1 = sin arcsin又 s

5、in n arcs in14，且 n arcsin 1是第二象限角,1所以 t2= n arcsin 4 .由正弦函数周期性可知t = 2kn+ ti 或 t= 2k n+ t2(k Z)时,sin x=14.1所以 t = 2kn+ arcsin 4 (k Z),亠 1或 t= 2k n+ n arcsin 4 (k Z).n因此x的集合为x|x= 2k n+ 3+ arcsin亠4n1或 x= 2k n+ "3 arcs in 4 , k Z .规律方法 方程y= sin x= a, |a|< 1的解集可写为x|x= 2kn+ arcsin a,或(2k+ 1) arcsi

6、n a, k Z.也可化简为x|x= kn+ ( 1)karcsin a, k Z.【训练11 已知sin 乂二于.冗 冗(1) 当x 2，2时，求x的取值集合；当x 0, 2n时，求x的取值集合；当x R时，求x的取值集合.解 ：y= sin x在£扌上是增函数，且知sin3=誓.满足条件的角只有xn=3. x的取值集合为n.(2) v sin x=T>0, x为第一或第二象限角且 sin sin n 3 =今.在0, 2n上符合条件的角为x= 3或x= 3n 2 nx的取值集合为3,.当x R时，x的取值集合为n2 nx|x= 2k n 3或x= 2k n -3, k Z

7、.题型二已知余弦值求角1【例2】已知cos x= 3.当x 0, n时,求x; 要注意所给角的范围.当x 0, 2n时，求x;当x R时，求x的取值集合.1解(1)v cos x= 3，且 x 0 , n ,1 1 -x= arccos 3 = n arcco.十1(2) v x 0, 2n且 cos x= §<0.x为第二象限角或第三象限角. x= n arccos 1或 x= n arccos 3.1当x R时，x与n arccos 3终边相同或者与 n+1 arccos 3终边相同.1 x= 2k + n arccos §(k Z)或 x= 2k n+ n+ a

8、rccos 3(k Z).1 x 的取值集合是 x|x=( 2k+ 1) n± arcco k Z .规律方法方程cos x= a, |a|< 1的解集可写成x|x= 2k n± arccos k Z.【训练2】nA.61 n若cos 2k=2，其中2<x< n则x的值为(5 n2 nBgCP5 nD.53解析n2<x< n, n <2<2 n,1cos 2x= 2>0,3n2<2x<2 n,5 n2x = "3.答案 B题型三已知正切值求角n nI例3】已知tan尸一 2,且口 2， ?，求a;(2)已

9、知口 tan 尸一 2, 且 a 0, 2 n 求 a先根据已知条件判断角的范围然后再在对应的范围内求角(3) 已知 tan a= 2, a R，求 an n解(1)由正切函数在开区间 一2, 2上是增函数可知，符合条件tan尸一2的角只有一个，故 a arctan( 2).ttan a= 2<0, a是第二或第四象限角.n 3 n又t a 0, 2 n,由正切函数在区间§,冗，三，2 n上是增函数，知符合tan a =2的角有两个，nt arctan( 2) ?, 0 . 尸 n+ arctan( 2)或 a2 n+ arctan( 2).(3)a R，则 a kn+ arc

10、tan( 2)(k Z).规律方法 方程 tan x= a, a R 的解集为x|x= kn+ arctan a, k Z.【训练3】 已知tan x= 1,求x,并写出在区间2n, 0内满足条件的x. 解 因为tan x= 1，所以满足条件的x的解集为nx|x= kn+ arctan( 1), k Z = x|x= kn 4, k Z,在 x= kn扌中，令 k= 0或1,得 x= 4或 x= 5nC, n 5 n 即在2 n 0内正切值为一1的角x为一4与一才.全匡症升核心素养一、素养落地1 通过本节课的学习提升数学运算及数学抽象素养.2.理解符号 arcs in x、arccosx、ar

11、cta nx 的含义.每个符号都要从以下三个方面去理解，以arcsin x为例来说明.(1)arcsin x表示一个角；n n这个角的范围是一2, 2 ；(3)这个角的正弦值是x,所以|x|w 1.例如：arcsin 2, arcsin . 3都是无意义的.3.已知三角函数值求角的大致步骤(1) 由三角函数值的符号确定角的象限.(2) 求出0 , 2 n上的角.根据终边相同的角写出所有的角.、素养训练41 已知a是三角形的内角,nA. 6一 5仃nC.g 或 6sin尸三3,则角 a等于(nB. 32 n卜nd.§ 或 3则x等于()答案 D卄12.若 sin x= 4, xA .

12、1B. n- arcsi n 14A. arcs inC. n+ arcsin 11D.arcsin 4答案 B卄13.若 cos x= 3, x1答案arccos 3n2,0，贝U x=V34. arcs in( 1)+ arcta n §课后作业答案n一、选择题基础达标i 下列叙述错误的是()A. arctan y表示一个 一扌，扌 内的角B. 若 x= arcs in y, |y|w 1,贝 U sin x=yxC. 若 tan 2= y,贝U x= 2arctanyD. arcsin y、arccosy 中的 y 1, 1xx解析 若 tan 2 = y,贝U2= k n+

13、arctan y, x= 2k n+ 2arctan y, k Z.答案 C12 .若a是三角形内角，且sin a= q,则a等于()A. 30°B. 30°或 150°C. 60°D . 120°或 60°1 1 解析 T a是三角形内角且 sin 30 =2 sin(180 30 ) = sin 30 = °150°. a= 30 或答案 B3.已知 cos x=7nA.32 , n<<2n,贝U x 等于(4 n11 nBEC肓解析 符合条件cos X0 = 2的锐角X0= 6,nn 羽而 cos

14、 n+ 6 = cos 6=_ 2，且兀< x< 2 n n 7 n x= n+ 6=6.答案 A4.C.直线x+ 2y+ 1 = 0的倾斜角为（）12,5Tarcta narcsi n1B. arcta n 22；5D. arccos 5解析A,B, C均表示负锐角，只有D选项中arccos | . 5表示钝角.故选D.答案 D5.若 tan x=3, 0<x<2 n,则角x等于（）n卜2 nA.3或 §4 n. 5 nCE或亍2 心.4 n或三2 心.5 nDE或§解析/ tanx= 3<0, x为第二或第四象限角.符合条件tan xo =

15、 3的锐角X0 =n3.而 tan n 3 = tan 3= ：；3,nn .tan 2 n 3 = 一 tan 3 = 一 3,. n 2 n、n 5n x= n 3= 3或 x= 2 n 3=答案 D、填空题26. arcs in sin3 n =.解析arcs in sin| n = arcsin =扌3答案7直线2x+ y 1二0的倾斜角是（用反正切表示）.解析/ 2x+ y 1 = 0, y= 2x+ 1.设直线y= 2x+ 1的倾斜角为9,则tan A 2, 9为钝角,9n2,I arctan( 2) n2, 9= n+ arcta n( 2).答案n+ arcta n( 2)18

16、.已知sin a= 3,若解析n2< a< n,1满足sin a= 3的锐角为a= arcs in13.I an2,n 且 sin( na)= sin1a = 3,-a=n- a =narcsin 寺答案n- arcs in *、解答题arcs府-arccos -19.求值arctan ( , 3)解 arcs in n=3, arccos arctan(- . 3)= 扌,原式=2n=3,n 2 n3 3 =1.n310.求下列各式中的x.n2；1 n(1) sin x= 4, 2< x< 二;2(2) sin x= 5,1(3) cos x= 3,n2< XV

17、 n;n -2< x< 0；n2,-n) = 5.2- n-x=arcsin5. x= n arcs in25.1 n(4)ta n x= 5, 2< x< 0.51解(1)x= arcsin 4.n(2) v 2<x< n, 0< n x<n-sin x= 5, sin(n2,13,x= arccos(4)x= arcta n13.15.n(3) v 2<xv0, Ov x<又 cos( x)= cos x= 3 x= arccos能力提升11使得等式2cos号=1成立的x的集合是（）nA. xX= 4k n+ 3,k ZnB. x

18、X= 4k n+ 6,k ZC. x|x= 4k n± nk ZnD. x|x= 2k n+ 6,x 1cos 2= 2k Z解析1 x1>0,2为第一象限角或第四象限角x n n与3或一3终边相同.2kn ±, k Z , x= 4k n ±n k 乙答案 C1 一 V312 .已知sin( x) cos(十x)=?, x是第二象限的角.求:(1) sin x、cos x 的值；(2) x的取值集合.解 已知 sin( x) cos(卄 x)1 3=sin x+ cos x=2,且x为第二象限的角.(1)因为 sin x+ cos x=1 3,所以式两边平方得sin xcos x=才.由式、解得sin x12, cos x1念/sin x=2, cos x= "2，且x为第二象限角，5 n5 n x= 2k n+石，k Z, x 的取值集合为x|x=2k n+石,k Z.创新猜想13.侈选题）以下各式中正确的是（narcs in 1 = qB.arccos( 1)= nC.arcta n 0= 0