2021研究生入学考试考研数学试卷解析(一)

1、2021研究生入7考试考研数7试卷(数学)2021研究生入学考试考研数学试卷及解析(数学一)一、选择题：110小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸扌旨定位置上. e” 一 1 n丫工01. /«= X ，在 “0 处1 ,x = 0(A) 连续且取得极大值(C)可导且导数为零(B) 连续且取得极小值(D)可导且导数不为零2. 设函数f(x,y)可微 且/(x+l,") = x(x+l)2, f(x9x2) = 2x2nx,则 #(!,!) =(A) dx + dy (B) dx-dy (C) dy

2、(D) -dy3. 设函数/(x) = 4在x = 0处的3次泰勒多项式为ax + bx2+cx则 1 +十77(A) a = .b = 0,c =(B) q = 1" = 0，c = 66(C) a = _l,b = _l，c = _?(D) a = -,b = -,c = 6 64. 设函数/(x)在区间0,1上连续，则/(x)dx =(c)啤他5二次型/(心左,兀)=(禹+禺)'+(禺+兀3)'-(不一西的正惯性指数和负惯性指数依(A) 2.0(B)1.1(C) 2.1(D) 1.2V、2<36.已知可=0©2 =2,他=1记孙J丿<2&g

3、t;次为%卩2 = 口2 -k伙、03 =-1点 -1护2、若2021研究生入7考试考研数7试卷(数学)久爲,03两两正交，则厶仏依次为-討(c) r 2(D)4o、(AAB(A) rata；=2心)(B) rV"ABA、'Ao)(C) r=2心)(D) /-BAA A)力丿7.设A. B为阶实矩阵，下列不成立的是= 2r(A)= 2r(A)8. 设力，为随机事件.且0v P(B)v,下列为假命题的是(A) 若P(AB) = P(A)MP(AB)= P(A)(B) 若 P(AB)> P(A),mij P(A |> P(J)(C) 若 P(AB)> P(41B

4、)，则 PAB)> P(J)(D) 若| AjB)>PAM5),则P(A)> P(B)9. 设(心仆(兀必)，(圮比)为来自总体/("，舛亓厲;。)的简单随机样本 令 2,心纠，学2",则(A)&是0的无偏差估计，Do(C)0卜牛3是&的无偏差估计.D=尤卫二型也0不是&的无偏差估计.D(D)3不是。的无偏差估计.£)仏/ +巧二2灯込10 设%p%2,.l6是来自总体2(“，4简单随机样本，考虑假设检验问题：Hu：“S10,/£:“>l(VD(x)表示标准正太分布函数，若该检验问题的拒绝域为7X 竺 =

5、>11,M中X二为尤，则“ =115,该检验犯第二类错误的概率为16 r=|(A) 1-0(0.5)(B) 1-0(1)(C) 1-O)(l .5)(D) 1-0(2)二、填空题：1116小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位 置上.卄 dx0 x2 + 2x + 212.设函数y = y(x)由参数方程*x = 2ef +t + 亠,(/2y. 尸4(一1)+确疋则而I/=013.14.15.求极限切1+阳ex-l1sinx欧拉方程xy+xyAy = 0满足条件y(l) = 1,(1) = 2的解为y =设工为空间区域(x,z)|x2+4/ <4,0<z<

6、;2表面的外侧.则曲面积分 jj x2dydz + y2dzdx + zdxdy = 设人=仏、为3阶矩阵.血为代数余子式.若力的每行元素之和均为2.且|J| = 3.贝lj £ + 给 + 力3| =16. 甲、乙两个盒子中有2个红球和2个白球.选取甲盒中任意一球，观察颜色后放入乙 盒.再从乙盒中任取一球.令分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球的个数，则光与Y的相关系数为 三、解答题：1722小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.请将答案写在答题纸指定位置上. 17. (本题满分10分)18. (本题满分12分)设A(x)=严+Jw = 1,2,.),求级数Yun(

7、x)的收敛域及和函数. 呛?+1)気19. (本题满分12分)+ 2 v" _ _ = 6已知曲线G JJ °C求C上的点到兀6坐标面距离的最大值.4x + 2y + z = 3020. (本题满分12分)设DuW是有界单连通区域，1(0) = Jj(4-x2-/yixdy取得最大值的积分区域记为D(1) 求/(QJ的值.仏宀“ + 尹)t/x+(4>07 -xdy(2) 计算I °)、 其中是卩的正向边界% :(a 1 -r21设矩阵力二1 a -1 、T j J(1) 求正交矩阵P，使ptap为对角矩阵(2) 求正定矩阵C.®C2=(«

8、;4-3)£-J,E为3阶单位矩阵.22.在区间(0,2)上随机取一点，将该区间分成两段，较短一段的长度记为X,较长一段的长Y度记为丫令Z =.AX(1)求*的概率密度；(2)求Z的概率密度;(3)求E(y).2021研究生入7考试考研数7试卷（数学）2021考研数:学试卷答案速查（数学一）一、选择题(1) (D)(2)(C)(3) (A)(4)(B)(B)(A)(7)(C)(8) (D)(9)(C)(10) (B)二、填空题(H)-4(12)Z3( y = x2(14) 4rc(15)32(1三、解答题1+Jo er dtjsinx-ex + 原式=lim.ytO(17)（2分）(

9、$ -l)sinxlimxtOsinx-ev + l (er -l)sinx+ lim.r-M)sinxf e1 dtJo(er-l)sinxX + o(x )+1 1 + x + X" + =limxtO（4分） erdt+ Iim (7 分)心0x=limxtO1=2-一x2 +o(x2)、+ hme" (9 分)x->0（10 分）(18)g)十+n(n +1)( =12 )设vjx) = e-. (x) = .则说I+恥)收敛区间为（o,+8）. y-一 收敛区间为（-1,1）（3分）x = 0 时，88Xm«w=E1-级数发散 w=ln-x = l

10、 时，8J，级数收敛 id «（w+i）所以级数的收敛域为（01（4分）g8I°-宓10 S©) =工匕="=lim - = -(X > 0) (6 分)tr tt i l-e” l-e-nx-x-x呛7 + 1)S2(x)二乞叫(x)二, n=l/i=lS；(x)-S；(0) =丄击= -ln|l-x|.因为 S；(0) = 0,所以 S；= -ln|l-x|(xl)1 fS2(x)-S2(0) = £-ln|l-/|dr =(l-x)ln|l-x| + x,因为S2(0) = 0.所以S2(x) = (1 - x)In|1 -x| +

11、 x(x 1) (9 分) 因此xHl 时.S(x) = S1(x)+52(x) = - +(1 -x)ln卩一x| + xl-e-X、-1当x=l 时，和函数连续，所以S(l) = lim -7 + (l-x)ln|l-x| + x =-r + 1nii_e'丿 1ee-x +(l-x)l n卩一 x + x. 0 <x< 1所以.S(x) = P_e V(12 分)-1(19)根据题意，目标函数为f(x,y9z) = z2,约束条件是r+2y-z-6 = 0以及 4x+2y+二一30 = ( (2 分)设 F(x,y, z,入 /) = z2 4- A(x2 + 2y2

12、 - z - 6)+(4x+2y+z - 30)F； = 2Ax + 4p = ()F； = 4Ay + 2p = 0<= 2z-2 + /7 = 0(6 分)F； = x2+2y2-z-6 = 0F；t=4x + 2y + z-30 = 0解得(x,y,二)=(4,1,12)或者(x j, z) = (一& -2,66) (10 分)/(4,1,12) = 122. /(-8,-2,66) = 662因此距离的最大值为66 (12分)(20)62021研究生入7考试考研数7试卷（数学）(1)根据题意,易知耳=疋+尸冬4Jj4-x2 -y2dxdy = j (4一r2)rdrd&

13、#176; = 8兀(4 分) D4r+4”卜/2+刃& +（4舛2制® 卜严押+”心+佝/“制 a鑫x2+4y2?x2+4y2由格林公式可知，X "2 +"&+（伽2 -Rd），°（初）护（3）如厂0n2x2 + 4y2% +/ix2 + 4y2+ y) dr + (4yex2 + 4y2 +x + 4ydP(x.y) _ Sxyex +4 (x2 +4y2 -l) + x2 -4y2 _ dQ(x,y) dy(x2+4y2)2dx补充曲线/（:x2+4y2=?（顺时针方向）宀2+y)dx +(4jbW x) '4_ x) dy

14、其中2为°。和厶围成的封闭区域.（8分）*卜宀词豊;宀朋诲（宀*（十怏根据格林公式Ag（xb f4-r* + y）dx + 4yex +4r -xjdv = -jj-2dxdy = -2兀兀其中是厶围成的封闭区域.（x/+4/ +y）dx +（4y/® 一“所以J -，打? 二兀（12分）LX +4厂(2)因为 P AP = 可知 A = PPf,4 0 0、r2 0 0、r2 0 0、C2 =(a + 3)E-A = P(a + 3)E-Pr = P0 4 ()PT = P0 2 0PTP0 2 0W o b、0 0 1 丿、o o 1,(21)(1) |qe_/|= _

15、i1一1 1A,ci 1 =(久一a + 1)(久一a 2)1久一 a1 1 -1>3T(a-)E-A0 0 0.解得4 =10,0 0 0 丿小丿丄令 口£一/| = 0,解得&二入一 1，人=。+ 2（2 分）n o r(a + 2)E- A ->0 1 1.解得為二-i,0 o o;丿(4分)（-1将&，。2进行施密特正交化可得卩=1I。丿(6分)(2丿将（几02必）单位化可得人11疋0必=、 丿1 一76丄“ 2_苗<<可得正交矩阵P二丄乔丄V62761 一72丄>/2O使 P AP = A =17-100a-< ° °0、（）（8 分）a + 2丿因为C为正定矩阵，所以112 0 0r p- <=cfv2o2 0 0zr Lx丄>/3丄V3丄731_>/6丄>/62 _>/6、 丿 -37芍 1_>/61_ f