大学物理角动量2ppt课件

1、12Lrmvdo质点的角动量vmrprLL=rpsin =mvrsin =mvd 在惯性参考系中选一固定的参考点在惯性参考系中选一固定的参考点o,质点对质点对o的位矢为的位矢为 ,动量为动量为 ,则质点对则质点对o点点的角动量的角动量(也称动量矩也称动量矩)为为rp3FrdtLd)( vmrprLdtLddtLdMLrmvdoFrMpdtrddtpdr上次内容回顾4)()(iiiiiprdtdfFri有：对任意质点m1mimnFnfinF1Fifnif1ifi1f1nfn1i=1,2,.n 对对n个式子求和有个式子求和有iiiiiiiprdtdfFr)()(上次内容回顾LdtdM5 解解 小球

2、对小球对o点的角动量守恒点的角动量守恒0rFom 例题例题2，如图所示，一细绳穿过光滑水平桌面上的小孔，如图所示，一细绳穿过光滑水平桌面上的小孔o，绳的一端系有一质量为，绳的一端系有一质量为m的的小球并放在桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角速度小球并放在桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角速度 0绕孔绕孔o作半径作半径r的的匀速圆周运动匀速圆周运动,现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止，求这一过程时止，求这一过程中拉力的功。中拉力的功。r2v0202020) r(m23) r(m21) r2(m21A2rmvrrm

3、06RMmGmo 221 解解 火箭只受引力火箭只受引力(保守力保守力)作用，机械能守恒：作用，机械能守恒：RMmGm3212 例题例题3 质量为质量为m的火箭的火箭A，以水平速度，以水平速度 o沿地球表面发射出去，如图所示。火箭沿地球表面发射出去，如图所示。火箭A的运动轨道与地轴的运动轨道与地轴oo 相交于距相交于距o为为3R的的C点。不考虑地球的自转和空气阻力，求：点。不考虑地球的自转和空气阻力，求： =？(设地球的质量为设地球的质量为M、半径为、半径为R) Co AMRo3Rmd0v7RMmGmo 221 对对o点的角动量守恒：点的角动量守恒： m oR =)43(322GMRRsino

4、o 解解得得RMmGm3212 m 3Rsin Co oAMRo3Rmd8是多少？端重物上升的速度上爬时当人相对绳以匀速人从静止向上爬设系一与人等重的重物另一端了绳的一端的人抓住质量为一轻绳绕过一轻定滑轮例VBuBAm, 4Vu解：体系对解：体系对O点角动量守恒点角动量守恒O绳地人绳人地VVVBx已知滑轮半径为已知滑轮半径为R9VuV则人对地的速度为物体对地的速度为 ,RrvmmVRRVum)( 0Vu2体系对体系对O点角动量守恒点角动量守恒O10 刚体的定轴转动11 刚体的角动量刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。设刚体以角速度刚体上各个质点的角动量之和。设刚体以角速度绕固定轴绕固定轴

5、z转动转动,质量为质量为mi的质点对的质点对o点的角动量为点的角动量为 Li=miviri=mi ri2整个刚体的角动量就是整个刚体的角动量就是 L=( mi ri2) I= mi ri2,称为称为刚体对刚体对z轴的转动惯量。轴的转动惯量。mivirioL ZIL 刚体定轴转动的角动量轴方向zIL,12 I= mi ri2 即：刚体的转动惯量等于刚体中各质点的质量乘以它们各自到转轴距离的平即：刚体的转动惯量等于刚体中各质点的质量乘以它们各自到转轴距离的平方的总和。方的总和。dmrI2r为刚体上的质元为刚体上的质元dm到转轴的距离。到转轴的距离。质量连续分布刚体质量连续分布刚体和转轴有关和转轴有

6、关,和物体的质量和质量分布有关和物体的质量和质量分布有关转动惯量的计算13lllcrommm IO=ml2+ml2=2ml2 例题例题1 质量离散分布刚体：质量离散分布刚体： I= mi ri2 (1)正三角形的各顶点处有一质点正三角形的各顶点处有一质点m，用质量不计的细杆连接，用质量不计的细杆连接,如图。系统对通过如图。系统对通过质心质心C且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为)33(lr 23mrIc2iiirmI由公式：通过通过o点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为为,2ml14dmxILLC222Cxxdxdm 例例2质量

7、为质量为m、长度为、长度为L的细直棒，的细直棒，求转动惯量求转动惯量(1)通过质心通过质心C且垂直于棒的轴，且垂直于棒的轴，(2)通过棒一端与棒垂直的轴。通过棒一端与棒垂直的轴。 解解 建立如图所示的坐标，将细棒分为若干微元建立如图所示的坐标，将细棒分为若干微元dm=(m/l)dx ,对棒积分得对棒积分得AdmLxILLA22222121mLdxLmxLL222dxLmLxLL2222231mLdmrI2o152mRI 2mR21I 均质圆盘均质圆盘(m,R)绕中心轴转动时，绕中心轴转动时， 均质细圆环均质细圆环(m,R)绕中心轴转动时，其转动惯量为绕中心轴转动时，其转动惯量为 质量为质量为m

8、，长为，长为L，半径为，半径为R的均匀圆柱对通过的均匀圆柱对通过中心轴的转动惯量中心轴的转动惯量2mR21I 几个常见物体的转动惯量16 刚体对任一转轴的转动惯量刚体对任一转轴的转动惯量I等于刚体通过质心的平行轴的转动惯量等于刚体通过质心的平行轴的转动惯量Ic加上刚体的加上刚体的总质量总质量M乘以两平行轴间距离乘以两平行轴间距离d的平方，即的平方，即 I=Ic+Md2 平行轴定理),(),(zyxzyxmzoci，中的坐标为在两坐标系刚体是任意质元标系。轴，建立如图所示两坐是任意转点是刚体的质心，y, yxxzzCodimiiiiiizzdyyxx17y, yxxzzCo 2222iiiiiy

9、xzoyxczm轴的距离为距轴的距离为距则：质元)(22iiiicyxmIcz轴的转动惯量刚体对dyyxxiiii iiiiyxmIzo22轴的转动惯量对im 平行轴定理的推导18y, yxxzzCo)(22iiiicyxmIcz轴的转动惯量刚体对2mdIIc iiiiyxmIzo22轴的转动惯量对iiiidyxmI22iiiiiddyyxm2222 平行轴定理的推导dyyxxiiii19dmxILLC222xdxCxdm 质量为质量为m、长度为、长度为L的细直棒，的细直棒，求转动惯量求转动惯量(1)通过质心通过质心C且垂直于棒的轴，且垂直于棒的轴，(2)通通过棒一端与棒垂直的轴。过棒一端与棒

10、垂直的轴。AdmLxILLA22222121mL231mL222)2(12131LmmLmL 平行轴定理示例20刚体定轴转动定理dtLdMIL IdtdIM对定轴转动的刚体，对定轴转动的刚体，对定轴转动来说对定轴转动来说,刚体的角加速度与它所受到的力矩正比刚体的角加速度与它所受到的力矩正比,与转动惯量成反比与转动惯量成反比这就是刚体定轴转动定理这就是刚体定轴转动定理 IM21学中的地位一样位与牛顿定律在质点力体力学中的地刚体定轴转动定理在刚该定理在刚体力学中的地位 IM22dFrFMsinFozFd IM力矩问题合外力矩在合外力矩在Z轴的分量轴的分量与转轴垂直的平面内的力才对与转轴垂直的平面内

11、的力才对这个力矩有贡献这个力矩有贡献23)(1221IMdttt体上的冲量矩：为在时间内作用在刚21ttMdt可写成积分形式dtdIM24 刚体的进动非定轴转动问题dtLdMIL IdtdIMmgO25例题例题1 以以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在10s内该轮的转速均匀地由内该轮的转速均匀地由零增大到零增大到100rev/min。此时撤去该力矩，转轮经。此时撤去该力矩，转轮经100s而停止。试推算此转轮对该轴而停止。试推算此转轮对该轴的转动惯量的转动惯量,及摩擦力距。及摩擦力距。2IMrm.N8 . 1Mkgm3 .17Ir222t 20-Mr=

12、I 1， 1= /t1 26对对m: mg-T=ma对柱：对柱： TR=I ， 解得解得 =2mg/(2m+M)R, T=Mmg/(2m+M)。RMmTmg 例题例题2 质量为质量为M、半径为、半径为R的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的物体，如图所示。求柱体的角的物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。加速度及绳中的张力。221MRI 解： a=R 27 mg-T2= ma a=R 1=r 2 , T1R= m1R21

13、2121 T2r-T1r = m2r2 2T1T1T2mgm1m2mRr12例题例题3 质量质量m1半径为半径为R的匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，一轻绳缠绕于盘上，另一的匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，一轻绳缠绕于盘上，另一端通过质量为端通过质量为m2半径半径r的具有水平光滑轴的圆盘形定滑轮后挂有质量为的具有水平光滑轴的圆盘形定滑轮后挂有质量为m的物体，的物体，如图所示。求当物体如图所示。求当物体m由静止开始下落了由静止开始下落了h时，求时，求:物体物体m的速度及的速度及 绳中的张力。绳中的张力。 解解 : v2=2ah，x28 例题例题4 一根质量为一根质量为m、长为、长为l的均匀细棒的均匀细棒A

14、B，可绕一水平光滑轴，可绕一水平光滑轴o在竖直平面内在竖直平面内转动，转动，o轴离轴离A端的距离为端的距离为 l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕。今使棒从静止开始由水平位置绕o轴转动，求棒转轴转动，求棒转过角过角 时的角加速度和角速度。时的角加速度和角速度。 ABoCmgcos6lmgMo22291)6(121mllmmlIocos23lgIMoodtd 解解 dtdddddcos23lg29所以dlgdcos2300完成积分得lgsin3讨论讨论: (1)当当 =0时，时， =3g/2l， =0 ； (2)当当 =90时，时， =0， =(3g/l)1/2。 dtddtdddddcos23

15、lgABoCmg30 例题例题5 一质量为一质量为m、半径为、半径为R的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以 o的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为，求圆盘经转几圈将停下来？求圆盘经转几圈将停下来？ rdro计算出来摩计算出来摩擦力矩是关键擦力矩是关键rdrRmgrMR202mgR3231rdrRmgrMR202rdro221mRI RgIM34于是得于是得 又由又由 2- o2=2，所以停下来前转过的圈数为，所以停下来前转过的圈数为gRNoo163

16、2222mgR3232 定轴转动的角动量守恒定律定轴转动的角动量守恒定律dtdLM 若物体所受的合外力矩为零若物体所受的合外力矩为零(即即0)时，则时，则 I =常量常量 这表明：当合外力矩为零时这表明：当合外力矩为零时,物体的角动量将保持不变，这就是定轴转动的角动量物体的角动量将保持不变，这就是定轴转动的角动量守恒定律守恒定律 ILdtLdMdt)I (d 说明：在惯性系下成立说明：在惯性系下成立33恒定角速度刚体，则定轴转动的物体如果是是刚体定轴转动的物体如果不增大减小则减小增大则若III I =常量常量34iiiiiinnIIIII常矢量恒系统总角动量守轴的力矩矢量和为零，力对该转，只要

17、系统所受到的外量为，系统对转轴的总角动量分别为：质点对同一转轴的角动系统，系统个如果是几个物体组成的.,2211系统定轴转动的角动量守恒系统定轴转动的角动量守恒dtLdM35量保持不变。则物体对这个轴的角动心的轴的力矩为零，到的合外力对通过其质），只要物体所受下（既有平动又有转动体运动的情况可以证明：在物体有整转轴存在运动的情况36 系统角动量守恒的条件是：系统角动量守恒的条件是： 系统动量守恒的条件是：系统动量守恒的条件是：常矢量iiiI时当外 0M常矢量iiivm时当外0F系统的机械能守恒的条件是系统的机械能守恒的条件是:时当非保内外0AA常数kpEE三大守恒定律的守恒条件三大守恒定律的守

18、恒条件37 解解 .ommvv 例题例题5 粗糙的水平桌面上，有一长为粗糙的水平桌面上，有一长为2L、质量为、质量为m的匀质细杆，可绕通过其中点且垂直的匀质细杆，可绕通过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴于杆的竖直光滑固定轴o自由转动，杆与桌面间的摩擦系数为自由转动，杆与桌面间的摩擦系数为，起初杆静止。桌面上有起初杆静止。桌面上有两个质量均为两个质量均为m的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同的速率的小球，各自在垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同的速率v相相向运动，并与杆的两端同时发生完全非弹性碰撞向运动，并与杆的两端同时发生完全非弹性碰撞(设碰撞时间极短设碰撞时间极短),

19、 如图如图,求求: (1)两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？ (2)杆经多少时间停止转动？杆经多少时间停止转动？(不不计两小球重力造成的摩擦力矩）计两小球重力造成的摩擦力矩）38Lv762231)2(121mLLmI)2(22mLImvL .ommvv (2)xgdxLmML220LgIM23由= o+t：gvt742Lmg碰撞过程中有角动量守恒碰撞过程中有角动量守恒dm.oxdxfr39 解解 oR/2 例题例题6 匀质园盘匀质园盘(m、R)与一人与一人(m/10,视为质点视为质点)一起以角速度一起以角速度 o绕通过其盘心的竖直绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动