线性代数习题答案(6)

1、习题六1.检验以卜集合对r所指的线性运算是否构成实数域匕的线性空间.(1) 2阶反对称(上三角丿矩阵，对丁矩阵的加法和数量乘法:平而上全体向彊，对J：通常的加法和如卜定义的数就乘法：k a = a：(3) 2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数最乘法；(4) 与向量(1, 1, 0)不平行的全体3维数组向flt,对于数组向量的加法与数量乘法.【解】(1)是由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的1-8条性质，因此只需考虑 反对称(上三角)矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.卜面仅对反对称矩阵验证:设4, B均为2阶反对称矩阵，R为任一实数，则(A+B)' =Ar +B =-A-B

2、=-A+B),(L4)r -kAr)r-kA),所以2阶反对称矩阵的全体对J：矩阵加法和数帚乘法构成一个线性空间.(2) 否I人1为伙+/丿a = a.iik-a+l-a = a+a = 2a,所以这种数就乘法不满足线性 空间定义中的第7条性质.(3) 否因为零矩阵不可逆(又因为加法和数吊乘法都不对闭).(4) 否.因为加法不封闭.例如,向鼠(1, 0, 0), (0, 1, 0)都不平行于(1, 1, 0), 但是它们之和(1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0)不属J：这个集合.2设是线性空间V的一个子空间，试证：卄与V的维数相等，则U= V.【证明】设U的维数为

3、7,且,还是的一个基，因UuV,且V的维数也是加，自然e，还,，如也是V的一个基,故I3. 设冬，,毎是"维线性空间匕的线性无关向量组,证明V”中存在向最*,%使垢，爲，,0,，如，,益成为匕的一个基(对刃-/用数学归纳法)【证明】对差川“作数学归纳法.当n-r=0时，结论显然成立.假定对时，结论成立，现在考虑”7+1的情形.因为向竜纽务，冬,©还不是V的一个基，它又是线性无关的，所以在V中必存在一个向量a屮不能由“,冬,©线性表出,把 g 添加进去所得向量组必定还是线性无关的，此时1 )=(/?-r)-1 =(K 1)-1 =k由归纳法假设，耳,冬,0,0比可以

4、扩充为整个空间的一个基.根据归纳法原理,结论普遍成立.4. 在R°中求向駁0=（0,0,0,1丿在基筍=（1丄01砖=（2丄3丿，殆=（】丄0,0）,岛=（0丄一 1, 一1）下的坐标.【解】设向彊a在基占卜的坐标为（兀/屮兀），则兀£ + 兀 E + x3£3 + x4r4 = a即为1210 01111X,0030-1屯0110-1/4_1解之得(兀，x2, x3,x4 r i ,。,一 i ,o).5. 在R中，取两个基心=(1, 2, 1),冬=(2, 3, 3), a3 =(3, 7, 1)：Q =(3 1, 4),亿=(5, 2f 1)» 0

5、3=(1】，6)试求0心4到00”03的过渡矩阵与坐标变换公式.【解】取R'中一个基（通常称之为标准某）£ P1,0,0丿，S2 =(0,1,0),1 2 3(a,a,“)=2 3 71 3 13 51(A，仅，0J =(环占2，砂 1214 1 -6. 1 2 3-1 3 512 3 712 1,1 3 1_4 1 -6所以fti«ara:,a3到某久0亿的过渡矩阵为_123卩351 _卜27-71-41-A =237121=920913141-64128«坐标变换公式为X；9X,-27 -71 -41X292094128其中（再丹兀3）与（X；,X；,

6、X；）为同向量分别在基妬，冬心与久仅,几卜的坐标.6. 在R1中取两个基< =(1,0,0,0), (0 丄 0,0),= (0,0,1,0),“(0,0,0,1).J = (2,1,-1,1),o, = (03,1,0),5 = (5,3,2,1),J - (6,6,1,3).4#（1）求由前一个基到后一个基的过渡矩阵：（2丿求向帚（耳,兀，“3，”4）在后一个基卜的坐标；（3丿求在两个基I、有相同坐标的向最 2 0 5 6_13 3 6【解】（1） （©，8,8，乙）=（殆5，巧,冷4）人人=1 12 110 13这里A就是由皋気心百心到某“心心心的过渡矩阵. 设a=（xn

7、x2,xj,x4）,由丁（殆勺疋”弓H冬，磅）4巴所以a =x2=(a】/)" X,>兀因此向量a在基“心心心 卜的坐标为k、k、=(as磅心)& _k4_129-27- 33A'1X、,A-1 =112-9-23YJ27900-18兀-7一 3926 设向吊H在这两个某卜有和同的坐标（你人人,人）,那么也就是k + 5人 + 6/ = 0&+ 2kz + 3k $ + 6A4 = 0-/ + k】+ k、+ k、= 0kt + k3 + 2k=0解得(k-k-kyk) = (cgc)，其中c为任一非零实数.7. 证明3阶对称矩阵的全体S构成线性空间，且

8、S的维数为6.【证明】首先，S是非空的(voes)，并且PAEWSRWR,有A+B)' =A ' +B =A+BkA' =kA ' =kA.这农明s対J：矩阵的加法和数吊乘法是対闭的JL次，这两种矩阵运算满足线性空间定义中的18条性质故S是线性空间. 不难验证，卜列6个対称矩阵.8.说明xOy V面上变换了的儿何意义执中(1*-100 1=丁把平面上任一点变到它关轴对称的点.1 y )丁把平面上任一点变到它在y轴的投影点. y1 0 0_0 1 o'_o o r=0 0 0，£12 =1 0 0'E“ =0 0 0 ,0 0 00 0

9、0 1 0 00 0 o'0 0 O'0 0 o-E、=0 1 0，E“ =0 0 10 0 0 ,0 0 00 1 00 0 1构成S的-个皋，故S的维数为6.010_yX丁把平而上任一点变到它关J;Mx=y対称的点0-1丁把伽上任一点变到它绕原点按顺时针方向旋转9。后所对应的点.9. 设V是川阶对称矩阵的全体构成的线性空间维数为"("I ,给宦"阶方阵P,变换2 T(A)=P' AP V4G V 称为合同变换，试证介同变换了是V中的线性变换.【证明】因为VAevjte/?,有7A+B)=P(A+B严P AP+P BP=1A),TkAP&

10、#39; (kA)P-kP, AP)kTA).所以T是线性空间V的一个线性变换.10. 函数集合V3= a =a2JC+alx+a0)ev I az.心从丘只对函数的加法与数乘构成3维线性空间，在其屮取一个基 a J =<re a2 = 2xe a 3 = 3e 求微分运算D在这个基卜的矩阵.【解】D(a0 = x2el + 2* = 4 + 8，2D(a.)= 2xe' + 2e' = a, +-a3,D(a3) = 3ex = ay因此。在基久逐“卜的矩阵为0123T(aiyaa5) = (al.a1a5)7#1】.2阶对称矩阵的全体V3 = M対矩阵的加法与数乘构成

11、3维线性空间，在匕中取一个基1 0"p r,4 =,A,=0 01 07 j0A =#(1)在VS中定义合同变换#7唱;卜;:卜認求在基A，a2,a3卜的矩阵及丁的秩与零度.(2)在匕中定义线性变换 1 1A1 r1 1 i iT(A) =,VAeVn求厂在基卜的矩阵及丁的像空间与T的核.【解】=a，T(AZ) =RA3)=10 11101=4 + A、+ A,.1 1 #由此知，卜的矩阵为M =显然M的秩为3,故这线性变换T的秩为3,零度为0.r(A:)=RA) =2Aj + 24 + 24”U)=A + 4 + Ay00#八 A】,A” A s r A】,A-A 3 网,其中M =就是T在基ArA2,A3卜的矩阵显然有#T(A?)=2T(A1),T(AJ = T(A1),所以T V 3 尸以 TA J 尸 L