工程高等代数5第五章线性方程组习题解答

1、习 题 五a 组 1填空题（1）当方程的个数等于未知数的个数时，有惟一解的充分必要条件是 解 因为是有惟一解的充要条件故由可得（2）线性方程组有解的充分必要条件是 解 对方程组的增广矩阵施行初等行变换所以方程组有解的充要条件是，即（3）设阶方阵的各行元素之和均为零，且，则线性方程组的通解为 解 令显然满足方程组，又因为，所以，即方程组的基础解系中有一个向量，通解为，k为任意常数（4）设为阶方阵，且的代数余子式（其中，；），则的通解 解 因为，又，所以，并且有所以是方程组的解，又因为，可知方程组的通解为，其中c为任意常数（5）设，其中，则非齐次线性方程组的解是 解（6）设方程有无穷多个解，则 解

2、2单项选择题（1）齐次线性方程组解的情况是 (a) 无解； (b) 仅有零解；(c) 必有非零解； (d) 可能有非零解，也可能没有非零解答 （c） （2） 设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩，且为此方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是 (a) ； (b) ；(c) ； (d) 答（a） （3）要使，都是线性方程组的解，只要为 (a) ； (b) ；(c) ； (d) 答（a） （4）已知是的两个不同的解，是相应的齐次方程组的基础解系，为任意常数，则的通解是 (a) ； (b) ；(c) ； (d) 答（b） （5）设阶矩阵的伴随矩阵 若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次

3、线性方程组的基础解系是 (a) 不存在； (b) 仅含一个非零解向量；(c) 含有两个线性无关的解向量； (d) 含有三个线性无关的解向量答（b） （6）设有齐次线性方程组和，其中，均为矩阵，现有4个命题： 若的解均是的解，则； 若，则的解均是的解； 若与同解，则； 若，则与同解以上命题正确的是 （a） ，； （b），； （c），； （d），答（b） （7）设是矩阵，是矩阵，则线性方程组 （a）当时仅有零解； （b）当时必有非零解；（c）当时仅有零解； （d）当时必有非零解答（d） （8）设是阶矩阵，是维列向量 若秩秩，则线性方程组 （a）必有无穷多解； （b）必有惟一解；（c）仅有零解； （

4、d）必有非零解答（d） 3求下列齐次线性方程组的一个基础解系(1) 解 对系数矩阵施行初等行变换，有与原方程组同解的方程组为或写为，其中为任意常数所以，基础解系为(2) 解，与原方程组同解的方程组为或写为其中，可取任意常数，故所以，基础解系为 (3) 解，方程组组只有零解 (4) 解，与原方程组同解的方程组为或写为故所以基础解系为4求解下列非齐次线性方程组(1) 解 对增广矩阵施行初等行变换，所以无解(2) 解，所以原方程组有解与原方程组同解的方程组为故(3) 解，原方程组有解与原方程组同解的方程组为所以原方程组的通解为(4) 解，原方程组有解与原方程组同解的方程组为故通解为5问取何值时，非齐

5、次线性方程组(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷个解？解 系数行列式当且时，方程组有惟一解当时，对增广矩阵施行初等行变换，则，故原方程组有解且有无穷多解当时，对增广矩阵施行初等行变换,所以方程组无解6非齐次线性方程组当取何值时有解？并求出它的全部解解 对增广矩阵施行初等行变换，得，当且时，方程组无解当时，有，方程组有解，且与原方程组同解的方程组为故原方程组的解为当时，有与原方程组同解的方程组为故方程组的解为7设问为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解解 系数行列式当且时，方程组有惟一解当时，有，方程组有无穷多解，此时通解为当时，有，故方程组无解8问为何值时

6、，非齐次线性方程组(1) 有惟一解，求出惟一解；(2) 无解；(3) 有无穷多解，并写出通解解 方程组的增广矩阵当时，方程组有惟一解此时所以，当时，有，所以，当且时，方程组无解而当且时，有，方程组有解，且与原方程组同解的方程组为或写为故原方程组的通解为，其中为任意实数9设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，已知是它的三个解向量，且，求该方程组的通解解 ，所以，令，则为基础解系，故方程组的通解为，其中可取任意常数10 设都是阶方阵，且证明证明 设，则有可见每个都是的解向量因，可知的解空间的维数是，所以向量组的秩小于等于，从而，于是11已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解（1）证明方程组的系数

7、矩阵的秩；（2）求的值及方程组的通解解 （1） 设是方程组的3个线性无关的解，其中则有，即是对应齐次线性方程组的解，且线性无关（否则，易推出线性相关，矛盾）所以，即又矩阵中有一个2阶子式，所以因此（2） 因为又，则 对原方程组的增广矩阵施行初等行变换，故原方程组与下面的方程组同解选为自由变量，则故所求通解为，为任意常数12已知三阶矩阵的第一行是，不全为零，矩阵（为常数），且，求线性方程组的通解解 由于，故，又由不全为零，可知当时，于是；当时，于是或 对于，由可得和由于线性无关，故为的一个基础解系，于是的通解为，其中为任意常数 对于，分别就和进行讨论如果，则的基础解系由一个向量构成 又因为，所以

8、的通解为，其中为任意常数如果，则的基础解系由两个向量构成 又因为的第行是，且不全为零，所以等价于 不妨设，是的两个线性无关的解，故的通解为 ，其中为任意常数13确定常数,使向量组可由向量组，线性表示，但向量组不能由向量组线性表示解 对矩阵作初等行变换，有= ，当时，显然不能由线性表示，因此；当时，显然均不能由线性表示，因此而当且时，秩，此时向量组可由向量组线性表示又，由题设向量组不能由向量组线性表示，必有或，即或综上所述，满足题设条件的只能是14已知齐次线性方程组（） （）同解，求的值解 方程组（）的未知量个数大于方程个数，故方程组（）有无穷多解因为方程组（）与（）同解，所以方程组（）的系数矩

9、阵的秩小于3对方程组（）的系数矩阵施以初等行变换，从而此时，方程组（）的系数矩阵可化为，故是方程组（）的一个基础解系将代入方程组（）可得 或 当时，对方程组（）的系数矩阵施以初等行变换，有，显然此时方程组（）与（）同解当时，对方程组（）的系数矩阵施以初等行变换，有，显然此时方程组（）与（）的解不相同综上所述，当时，方程组（）与（）同解15设有齐次线性方程组试问取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解解 对方程组的系数矩阵作初等行变换，有当时，故方程组有非零解，其同解方程组为由此得基础解系为 于是方程组的通解为 其中为任意常数当时，对矩阵作初等行变换，有可知时，故方程组也有非零解，其同解方程组为

10、由此得基础解系为，于是方程组的通解为，其中为任意常数16设, , , , 试讨论当为何值时, (1) 不能由线性表示；(2) 可由惟一地线性表示, 并求出表示式；(3) 可由线性表示, 但表示式不惟一, 并求出表示式 解 设有数使得记对矩阵施以初等行变换, 有（1） 当时, 有可知故方程组无解, 不能由线性表示（2） 当, 且时, 有, 方程组有惟一解：, , 此时可由惟一地线性表示, 其表示式为（3） 当时, 对矩阵施以初等行变换, 有，方程组有无穷多解，其全部解为, , ， 其中为任意常数可由线性表示, 但表示式不惟一，其表示式为17设线性方程组已知是该方程组的一个解，试求（1） 方程组的

11、全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；（2） 该方程组满足的全部解解 将代入方程组，得对方程组的增广矩阵施以初等行变换, 得，（1）当时，有，故方程组有无穷多解，且为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 ，故方程组的全部解为 (为任意常数)当时，有，故方程组有无穷多解，且为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为 ，故方程组的全部解为(为任意常数)（2） 当时，由于，即，解得，故方程组的解为 当时，由于，即，解得，故方程组的全部解为其中为任意常数18已知平面上三条不同直线的方程分别为试证这三条直线交于一点的充分必要条件为解 必要性设三条直线交于一点，则线性方程组有惟

12、一解，故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，于是由于 =,但根据题设，故充分性由，则从必要性的证明可知，故秩由于=，故秩于是，秩秩因此方程组有惟一解，即三直线交于一点*19求方程组的最小二乘解解 方程组的系数矩阵和常数项矩阵为，记，则方程组的正规方程为，解之得，因此，方程组的最小二乘解为*20当外加电压(单位:)分别为5，8，10，12时，测得电源中对应的电流(单位:)分别为4，6，8，9，试根据公式确定电源内阻与电源的端电势解 根据公式，把测得的数据代入方程，得该方程组的系数矩阵和常数项矩阵为，记，则方程组的正规方程为，解之得，即。b 组 1 设是阶方阵，是阶单位矩阵，证明（1）若，则；（2）若，

13、则证明(1) 因为，所以另一方面，两式综合即得结论(2) 因为，所以另一方面，两式综合即得结论2 设是阶方阵，是的伴随矩阵，证明证明若，则由知，即若，则，于是有因此，但，至少有一个阶子式非零，中至少有一元素非零，于是，故若，则的所有阶子式均为零，从而，故3设阶方阵的秩，证明存在常数k，使得证明 已知，所以，即的基础解系有一个线性无关的解向量又因为，故矩阵的列向量组的秩不大于1，则有其中k1，k2，kn，为任意常数假设，则 其中4已知线性方程组的一个基础解系为，写出方程组的通解，并说明理由解 设，又令，因为是的基础解系，所以，线性无关，且有，即又设，则有，得 ，即令，因为，所以线性无关，且都是的

14、解又因为，可知是的基础解系5齐次线性方程组的系数矩阵为设是中划去第i列所得到的阶子式证明(1)是方程组的一个解；(2)若，则方程组的所有解是的倍数证明（1）设阶方阵，则，按第一行展开，有即，所以，是方程组的解（2）当，则有，故方程组的通解为其中k为任意常数6 设是非齐次线性方程组的一个解，是对应的齐次方程组的一个基础解系证明(1) 线性无关；(2) 线性无关证明（1）设有一组数，使,则有反证法，假设，则有由于是的解，所以也是的解，矛盾，故成立于是有又由于线性无关，所以又得，从而可知线性无关（2）令，得由(1)知，线性无关，容易求得，即线性无关7设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是它的个线性无

15、关的解，证明它的任一解可表示为其中证明 令，则是的个解下证它们线性无关设，则有由线性无关知，所以，线性无关，是的一个基础解系于是，的任一解可表示为令，则，且8已知齐次线性方程组其中 试讨论和满足何种关系时，（1）方程组仅有零解；（2）方程组有非零解 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系解 方程组的系数行列式=（1）当且时，秩，方程组仅有零解（2）当 时，原方程组的同解方程组为 由可知，不全为零 不妨设，得原方程组的一个基础解系为，当时，有，原方程组的系数矩阵可化为（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第行同乘以倍），（将第行倍到第2行的倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）由此得原方程

16、组的同解方程组为，原方程组的一个基础解系为9设有向量组（）：，；（）：， 试问：当为何值时，向量组（）与（）等价？当为何值时，向量组（）与（）不等价？解 作初等行变换，有=（1）当时，有行列式，秩，故线性方程组均有惟一解 所以，可由向量组（）线性表示同样，行列式，秩，故可由向量组（）线性表示 因此向量组（）与（）等价（2）当时，有由于秩秩，线性方程组无解，故向量不能由线性表示 因此，向量组（）与（）不等价10已知4阶方阵均为4维列向量，其中线性无关，如果，求线性方程组的通解解 令，则由得，将代入整理得由线性无关，得解得，其中为任意常数11设齐次线性方程组其中试讨论为何值时，方程组仅有零解、有无

17、穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解解 系数行列式（1）当且时，方程组仅有零解（2）当时，对系数矩阵作行初等变换，有原方程组的同解方程组为其基础解系为方程组的全部解是（为任意常数）（3）当时，对系数矩阵作行初等变换，有原方程组的同解方程组为其基础解系为方程组的全部解是（为任意常数）12设四元齐次线性方程组(i)为又已知另一四元齐次线性方程组()的一个基础解系为（1） 求方程组（i）的一个基础解系；（2） 当为何值时，方程组（i）与（ii）有非零公共解？在有非零公共解时，求出全部非零公共解解（1）对方程组（i）的系数矩阵作行初等变换，有得方程组（i）的同解方程组由此可得方程组（i）的一个基础解系为（2）由条件，方程组（ii）的全部解为（，为任意常数） 将此式代入方程组（i）得 要使方程组（i）与（ii）有非零公共解，只需有非零解，所以，当时，方程组（i）与（ii）有非零公共解当时，方程组有非零解，且，为不全为零的任意常数此时，由可得方程组（i）与（ii）的全部非零公共解为（，为不全为零的任意常数）13已知为线性方程组的一个基础解系，若，讨论实数满足什么关系时，也为