2021届高考数学二轮复习第一部分方法篇素养形成文理第3讲平面向量和复数文理学案含解析新人教版

1、第3讲平面向量和复数(文理)jie ti ce lue ming fang xiang解题策略·明方向考情分析1高考中主要考查平面向量基本定理、向量的运算及平面向量共线的坐标表示2主要考查复数的基本概念、复数的四则运算，及复数的几何意义真题分布(理科)年份卷别题号考查角度分值2020卷1复数的运算法则和复数的模的求解5卷13、15向量垂直的充分必要条件；复数模长的求解、复数及其运算的几何意义10卷2、6复数的除法运算；平面向量数量积的计算以及向量模的计算、平面向量夹角余弦值的计算102019卷2、7复数模的运算、平面向量的数量积与夹角10卷2、3共轭复数的几何意义、数量积定义及性质1

2、0卷2、13复数乘除法、向量夹角102018卷1、6复数的运算和模、平面向量线性运算10卷1、4复数四则运算、平面向量数量积10卷2、13复数的四则运算、向量平行与坐标表示10(文科)年份卷别题号考查角度分值2020卷2、14复数的模的计算；向量垂直的坐标表示10卷2、5复数的乘方运算；平面向量数量积的定义和运算性质10卷2、6复数的除法运算，共轭复数的概念；平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解102019卷1、8复数的乘法运算，复数模的计算；向量的数量积及各个向量的模，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，求出夹角10卷2、3数的运算及共轭复数；平面向量模长的计算10卷2、13复数的商

3、的运算；复数的商的运算，102018卷1、7复数模的计算；平面向量基本定理10卷1、4复数的乘法运算；向量模的性质以及向量乘法10卷2、13复数的四则运算；向量的坐标运算，以及两向量共线10kao dian fen lei xi zhong dian考点分类·析重点考点一平面向量的线性运算1平面向量的线性运算(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解2向量共线的四个结论(1)若a与b不共线且ab，则0

4、(2)直线的向量式参数方程：a，p，b三点共线(1t)t(o为平面内任一点，tr)(3)(，为实数)，若a，b，c三点共线，则1(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y1，当且仅当x2y20时，ab.3平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底考向1平面向量的线性运算1(2020·吉林省重点高中第二次月考)如图，若a，b，c，b是线段ac靠近点c的一个四等分点，则下列等式成立的是(c)acbabcbaccb

5、adcba【解析】c()ba.故选c2(2020·吉安一模)如图所示，矩形abcd的对角线相交于点o，e为ao的中点，若(，r)，则等于(a)abc1d1【解析】由平面向量基本定理，化简()，所以，即.故选a考向2平行与垂直求参数3(2020·兰州二诊)已知向量a(1，m)，向量b(1，)，若ab，则m(b)abcd【解析】由题得1×m×(1)0，m.故选b4(2020·淮南二模)已知向量a(m,1)，b(3,3)若(ab)b，则实数m_5_.【解析】因为(ab)b，故(ab)·b0，即3m3180，故m5平面向量线性运算的两个技巧(

6、1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b0时，ab存在唯一实数，使得ab)来判断考点二平面向量的数量积1平面向量数量积的性质及其坐标表示已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角cos cos ab的充要条件a·b0x1x2y1y20|a·b|与|a|b|的关系|a·b|a|b|x1x2y1

7、y2|2平面向量数量积的运算律(1)a·bb·a(交换律)(2)a·b(a·b)a·(b)(结合律)(3)(ab)·ca·cb·c(分配律)考向1数量积的运算1(2020·吉林省重点高中第二次月考)已知在矩形abcd中，ab4，ad2，若e，f分别为ab，bc的中点，则·(b)a8b10c12d14【解析】据题意，得·()·()····02×1×cos 02×4×cos 0010故选b2(2020

8、·江苏省八校联考)直角abc中，点d为斜边bc中点，ab6，ac6，则·_14_.【解析】以a为坐标原点建立平面直角坐标系即可，建系后可得a(0,0)，b(0,6)，c(6,0)，d(3,3)，e(1，)，所以(1，)，(1,5)，则·11514考向2利用向量求夹角与模3(2020·安徽省十四校联盟段考)已知向量a与b方向相反，a(1，)，|b|2，则|ab|(b)a2b4c8d16【解析】a(1，)，|a|2，又向量a与b方向相反，且|b|2，ab，|ab|2|b|.故选b4(2020·山东省德州市期末)已知向量a，b满足|a|1，|b|2，

9、(ab)·(a3b)13，则a与b的夹角为(c)abcd【解析】(ab)·(a3b)a22a·b3b213，即2a·b1113，得a·b1，则cos ，0，.故选c考向3利用向量求范围5(2020·安徽省皖江联盟联考)若平面向量a，b，c满足|a|3，|b|2，|c|1，且(ab)·ca·b1，则|ab|的最大值为(d)a31b31c21d21【解析】由(ab)·ca·b1得：a·b1(ab)·c|ab|c|ab|，(a·b1)2|ab|2a2b22a·b

10、132a·b，(a·b)212，2a·b2，|ab|，当a·b2时，|ab|取得最大值，|ab|max21，故选d6(2020·四川省成都外国语学校月考)向量a，b满足|a|2，|b|1，且|a2b|(2,2，则a，b的夹角的取值范围是_.【解析】因为|a2b|(2,2，所以(a2b)2(4,12，即a24b24a·b448cos (4,12，所以cos ，故.考向4平面向量数量积的应用7(2020·河北石家庄9月段考)设等边三角形abc的边长为1，平面内一点m满足，则向量与的夹角的余弦值为(d)abcd【解析】由题意知，等

11、边三角形abc的边长为1，平面内一点m满足，设bc的中点为o，连接oa，以点o为原点，分别以bc，oa所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示则a，b，c.所以，.所以.设向量与的夹角为，则cos.故向量与的夹角的余弦值为.故选d8(2020·四川省成都七中模拟)已知向量与的夹角为120°，且|3，|2，若，且则实数的值为_.【解析】，·()·()22(1)·0，即×94(1)×3×2×0，解得.1解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法(1)选择平面图形中模与夹角确定的向量作为一组基底，用该

12、基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决2求两向量夹角应注意两个向量夹角的范围是0，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线考点三复数1复数的运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dr)，则：(1)z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)z1·z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；(4

13、)i(cdi0)2复数的模|z|即复数对应的向量的模|，|z1z2|表示复数z1对应的点与复数z2对应的点之间的距离考向1复数的概念1(2020·四川省成都七中模拟)已知ar，i为虚数单位，若i为实数，则a的值为(a)a1b2c3d4【解析】ii(1a)i为实数，1a0，即a1故选a2(2020·西南名校联盟联考)若复数z满足i，则|z|(d)abcd【解析】方法一：由i，得|i|，|z|，方法二：由i，可得z12i，|z|，故选d考向2复数的四则运算3(2020·江西省上饶市一模)计算(d)a12ib12ic12id12i【解析】由复数的运算法则可得：12i.故

14、选d4(2020·江苏省扬州市调研)若(3i)z2i(i为虚数单位)，则复数z_i_.【解析】(3i)z2i，zi.考向3复数的几何意义5(2020·云南省昆明市月考)在复平面内，复数z1i的共轭复数对应的向量为(c)【解析】复数z1i的共轭复数为z1i，对应的点为(1，1)，复数z1i的共轭复数对应的向量为为图c，故选c6(2020·北京昌平区期末)在复平面内，复数i(i1)对应的点位于(c)a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【解析】i(i1)i2i1i，在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第三象限，故选c掌握复数代数形式运算的方法(1)复数的乘法：

15、复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”yi cuo qing ling mian shi wu易错清零·免失误1混淆向量共线与向量垂直的坐标表示典例1(2020·河南南阳中学月考)已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)，若为实数，(ab)c，则(c)a2b1cd【错解】因为向量a(1,2)，b(1,0)，所以ab(1,2)(，0)(

16、1，2)，因为(ab)c，且c(3,4)，所以3(1)4×20；解得，故选d【剖析】以上错误把向量共线的坐标表示利用成向量垂直的坐标表示，导致结果错误【正解】因为向量a(1,2)，b(1,0)，所以ab(1,2)(，0)(1，2)，因为(ab)c，且c(3,4)，所以4(1)3×2，解得，故选c2忽视两向量的夹角的范围典例2(2020·福田区校级模拟)设平面向量a(2,1)，b(，2)，若a与b的夹角为锐角，则的取值范围是(b)a(2，)b(，4)(4,1)c(1，)d(，1)【错解】a与b的夹角为锐角，a·b>0，22>0，解得<1，

17、故选d【剖析】上述解法的错误就是忽略了向量夹角的范围是0，而夹角为0时数量积也是大于0的，应该排除【正解】a与b的夹角为锐角，a·b>0且a，b不共线，解得<1且4，的取值范围是(，4)(4,1)故选b3错用复数运算法则典例3(2020·湖南雅礼中学第一次月考)若复数z的共轭复数满足：(1i)2i，则复数z等于(d)a1ib1ic1id1i【解析】方法一：因为(1i)2i，所以1i，因此，z1i，故选d方法二：由已知可得，所以z()1i.故选d【剖析】(1)该题易出现的问题有两个：一是不能正确利用复数的除法法则求出，导致不能根据共轭复数的概念得到正确的选项；二是记错共轭复数的运算法则，导致求错结果(2)共轭复数的求解，可以利用相应的运算法则直接求解，如，·，等，这样就不需要先求出复数，再求其共轭复数了4不能正确理解复数的几