二项式系数性质

1、嘉善中学嘉善中学liuhulix 复习回顾复习回顾:二项式定理及展开式二项式定理及展开式:)()(*110nnbcbacbacacbannnrrnrnnnnnn 二项式系数二项式系数rrnrnrbact1), 1 , 0(nrcrn 通通 项项(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)201c11c02c12c22c03c13c23c33c04c14c24c34c44c05c15c25c35c45c55c111211331146411510 1051(a+b)606c16c26c36c46c56c66c1615 20 1561二二 项项 式式 系系 数数 的的 性性 质质rnr

2、nrnccc11 这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表： 一一 一一 一一 一一 二二 一一 一一 三三 三三 一一 一一 四四 六六 四四 一一 一一 五五 十十 十十 五五 一一 一一 六六 十五十五 二十二十 十五十五 六六 一一 表中除表中除“1”以外的以外的每一个数都等于它肩上的两个每一个数都等于它肩上的两个数之和数之和杨辉三角杨辉三角:111211331146411510 10511615 20 1561 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等性质性质1 1：

3、对称性：对称性mnnmncc 性质性质2 2：增减性与最大：增减性与最大值值当当n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 取得最大值取得最大值 ；2nnc先增后减先增后减当当n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项 和和 相等，且同时取得相等，且同时取得最大值。最大值。 21 nnc21 nncnnnnncccc,210 当当n= 6时时,rncrf )(令：令：其图象是其图象是7个孤立点个孤立点rcrf6)(10nr，定义域 r61420o63 f ( r )ac课堂练习课堂练习:2、在(ab)10展开式中，二项式系数最大的项是( ).a 第6项 b 第7项 c 第6项和第7项 d 第5

4、项和第7项1、在(ab)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( ).a 第15项 b 第16项 c 第17项 d 第18项在(a2b)10展开式中，系数最大的项又是什么？111211331146411510 10511615 20 1561性质性质3 3：各二项式系数的和：各二项式系数的和 也就是说也就是说, (a+b)n的展开式中的展开式中的各个二项式系数的和为的各个二项式系数的和为2nnnrnnnnccccc.210？)()1 (*10nnxcxcxccxnnnrrnnnn 赋值法赋值法例例1 1 证明：证明：在(ab)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.已

5、知(2x+1)10=a0 x10+ a1x9+ a2x8+a9x+ a10,(1)求a0+ a1+ a2+ +a9+ a10的值(2)求a0+ a2+ a4+ + a10的值例 题 选 讲例 题 选 讲变式练习：131202 nnnnncccc103)13(2110 解：依题意解：依题意, n 为偶数，且为偶数，且,18,1012nn例例2 2 已知已知 展开式中只有第展开式中只有第1010项系数项系数最大，求第五项。最大，求第五项。 nxx431 4434184181451 xxctt例 题 选 讲例 题 选 讲.30604x 若将若将“只有第只有第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？

6、解解：（1） 中间项有两项：中间项有两项：（2）t3， t7 ， t12 ， t13 的系数分别为：的系数分别为：例例3 已知二项式已知二项式 ( a + b )15 （1）求二项展开式中的中间项；）求二项展开式中的中间项；（2）比较）比较t3， t7 ， t12 ， t13各项系数的大小，并说明理由。各项系数的大小，并说明理由。87878156435babac 12151115615215,cccc31512154151115cc,cc 615415315215cccc 又又61511151215215cccc 例 题 选 讲例 题 选 讲 98tt78787156435babac 作业作业:书p111习题10.4 8,9,10小结小结: : （2） 数