排列组合典型题大全含答案

1、排列组合典型题大全一可重复的排列求幕法： 重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一 类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的 元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这 类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个 底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们 争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、 （全国II文）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组， 则不同的报名方法共（A）10种

2、（B） 20 种（C）25 种（D）32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8 4名不同科目的实习教师被分配到 3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到 3个班级，每班至少一个人的不同的分法 有多少种？二相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果代B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把代B视为一人，且B固定在A的右边，贝U本题相当于4人的全排列，A = 24 种例2.7人站成一排，其中

3、甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有A5a2a； =480种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素 【例一起作排列200时四注意卷理元素内部也男生和 3.位女生共 6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（）A.360B.288C.216D.96I【解析】：间接法6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，

4、 c3a2a：a2=432种其中男生甲站两端的有a2c2a2a|a2=i44，符合条件的排法故共有288例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（C）种。A） 720B） 360C） 240D） 120三相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元 素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素 的空位和两端.【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为A种，再用甲乙去插6个空位有A种, 不同的排法种数是=3600种【例2】书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有

5、种 不同的插法（具体数字作答）【解析】：A；a8a9=504或分类【例3】高三（一）班学要安=排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个 曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是【解析】：不同排法的种数为A5A2 = 3600| Pi : |【例4】某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能 进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那 么安排这6项工程的不同排法种数是【解析】：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中，可得有 A = 20种不同排法。【例5】某市春节晚会原定10个节目，

6、导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有 关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为种.【解析】：A；a1°a1i=990【例6】.马路上有编号为1, 2, 3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能 关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？【解析】：把此问题当作一个排对模型，在 6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮法,所以满足条件的关灯方案有10种说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决【例7】3个人坐在一排8个椅子上，

7、若每个人左右两边都有空位，则坐法的种数 有多少种？【解析】：解法1、先将3个人（各带一把椅子）进行全排列有 A，O*O*O*O, 在四个空中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有 A4种，所以每个人左右两边都空位的排法有a4a3=24 种.解法2:先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个空，*O*O*O*O* 再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有 A4 =24种.【例8】停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放.要求空车位置连在 一起，不同的停车方法有多少种？【解析】：先排好8辆车有A8种方法，要求空车位置连在一起，则在每 2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空车位置插入有

8、 C9种方法，所以共有C；A；种方法.注：题中*表示元素，O表示空.例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续岀场，则节目的岀场顺序有多少种?5解：分两步进行第一步排 2个相声和3个独唱共有 A5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的 6个元素中间包5含首尾两个空位共有种 A：不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有 A：A：种或几个元素；再排其它的元素。2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿【例1】者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共

9、有()A.36种B.12种C.18种D.48 种【解析】：方法一：从后两项工作出发，采取位置分析法。a：a3=36方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法 C；C2A； =24 ;若小张、小赵都入选，则有选法A2A3 =12，共有选法36种，选A.【例2】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的 排法有多少种？【解析】：老师在中间三个位置上选一个有 A1种，4名同学在其余4个位置上有A4种方法；所以共有a3a4=72种。.【例3】有七名学生站成一排，某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种？【解析】法一：A5A数是()I IA、36 种 B、120 种 C、720 种

10、 D、1440 种(2) 把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为(A) A；A5。(B) AAAX (C) A? (D) AAAA3(3) 8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排， 某1个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】：(1)前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6个不同的元素排 成一排，共A6-720种，选C. (2)答案：C(3 )看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排 2个，有A种，某1个元 素排在后半段的四个位置中选一个有 A；种，其余5个元素任排5个位置上有A种, 故共有a1a2a5 =5760种排法.例7.8人排成前后两排，每

11、排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法 =3600 法二：a2a5 =3600法三：A； - As - A® - 3600j.f |五多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。【例1】(1) 6个不同的元素排成前后两排，每排 3个元素，那么不同的排法种解：8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.个特殊元素有 A2种,再排后4个位置上的特殊元素丙有a；种，其余的5人在5个位置上任意排列有A种,则共有a4a；a：种练习题：有两排座位，地前扌元素分成多排的排列问题2个座归结为一排考虑2人再分段研前排中间的 3个座位不能坐, 并且六.环排问题

12、线排策略例6.8人围桌而坐，共有多少种坐法？解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A：并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1 ）!种排法即7 !120练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈1201定序问题缩倍法（等几率法）： 在排列冋题中限制某几个兀素必须保持二般地,n个不同元素作圆形排列、，共有（n-1）!种排法.如果从n个不同元素中取出 m个元素作圆形排列共有A：【例1】将数字1, 2, 3, 4填入标号为1, 2, 3, 4的四个方格里，每格填一个数， 则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种【解析】：

13、先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 3 X 3 X 1=9种填法，选B.【例2】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座 位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（）A10种B20种C30种D60种答案：B【例3】：同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出 的贺年卡，二广，"则4张贺年卡不同的分配方式共有（）（A） 6 种（B） 9 种（C） 11 种（D） 23 种【解析】：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年

14、卡分别为a、b、c、do第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b,则乙的取法可分两类：（1）乙取a,则接下来丙、丁取法都是唯一的，（2）乙取c或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯 一的。根据加法原理和乘法原理，一共有 3 （1 29种分配方式。故选（B）【例4】：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有（）（A） 60种（B） 44种（C） 36种（D） 24种答案：B4*2+4*3*3六不同元素的分配问题（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法I【例1】有6本不同的书按下列分配方式分配， 问共有多少种不同的分配方式

15、？分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人 1本，一个人2本，一个人3本；（3）分成每组都是2本的三个组；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人 2本；（5）分给5人每人至少1本。C 2 C 2C 2q2q1 C1 q1 q1 q1【解析】:（1） c6c；c； （2） c6c52c（ 3） CC* （4） c；C：C；（5） CCCCCSa； A3A 4【例2】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分 配方案有种（用数字作答）【解析】：第一步将 4名大学生按，2, 1，1分成三组，其分法有C4 C2 C1 ；A第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有

16、A3所以满足条件得分配的方案有C4 C2 C1卞=36说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.【例3】5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派 方法共有（A） 150 种(B)18 0 种(C)200 种(D)280 种来源：网络转载311【解析】：人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式，若是1,2,2，则有 笃。A3二 60 种，戸C 1c 2C2若是1,1,3，则有 * 2汇A = 90种，所以共有150种，选A【例4】将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，贝U不同分组方法 的种数为（）A. 70答案：（A）B. 140C

17、. 280D. 840最多2名,2 7 0种 名，最多2【例5】将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习， 每班至少1名， 则不同的分配方案有（）（A）3 0 种（B）9 0种（ C18 0 种（D）【解析】：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则将5C1 C2名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有C5 C4 =15种方法，再将3组A分到3个班,共有15 A =90种不同的分配方案，选 B.【例6】某外商计划在四个候选城市投资 3个不同的项目，且在同一个城市投资的 项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有（）种 A. 16种B. 36种C. 42种D.60种【解析】：

18、按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构，二。4七昶 9淇=36 24=60 故选D;【例7】(1) 5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分 法种数为()A、480 种 B、240 种 C、120 种 D、96 种 答案：B.(2) 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有多少种?答案:Ci42C；C：3A 3【例8】有甲乙丙三项任务,甲需2人承担，乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是()I IA、1260 种 B、2025 种 C、2520 种 D、5040 种【解析】：先从10人中选

19、出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有 0207 =2520种，选I II Ic .【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？【解析】：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： 若甲乙都不参加，则有派遣方案 A4种； 若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A3方法，所以共有3a3 ； 若乙参加而甲不参加同理也有3A3种；若甲乙都参加，贝U先安排甲乙,有7种方法，然后再安排其余8

20、人到另两个城市有A种，共有7A82方法所以共有不同的派遣方法总数为a8 3a8 3A8 7A2 =4088 种或者：8*8*A82+1*9*A82【例10】四个不同球放入编号为1, 2, 3, 4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法 有多少种？【解析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C：种，再排：在四个盒中每次排3个有A3种，故共有C：a3=144种1、有6本不同的书（1）平均分成三份有多少种不同的分法？（2）平均分配给三个人有多少种不同的分法？（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本，有多少种不同的分法？（4）分配给三个人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？!

21、 , I I I（5）分成三份，两分各1本，一份4本，有多少种不同的分法？（6）分配给三个人，两个人各1本，另外一个人4本，有多少种不同的分法？2、30名同学分成3个小组，每组10人，共有多少种不同的分组方法？3、有15本不同的小说、送给5名学生，每人3本，共有多少种不同的分送方法？4、（三校联考）4名不同科目的实习教师被分配到 3个班级，每班至少一个人的 不同的分法有（）A. 144 种B. 72 种C. 36 种D. 24 种5、（重庆理）将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不 同的分配方案有6、（宁夏理）某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂

22、至少安排一个班，不同的安排方法共有 种.（用数字作答）7、（全国II） 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不 同的分派方法共有（）A. 150 种B. 180 种 C. 200 种 D. 280 种8（西宁模拟理）3名乒乓国手参加“希望工程”献爱心活动，他们准备赞助 7 名失学儿童，其中把他们分成1人，3人，3人三组后，再分给3名国手，则这样 的方案有 种。9、（包头模拟理）将4名曾参加过奥运会的运动员分配到三个城市进行奥运知识 宣传，每个城市至少分配一名运动员，则不同的分配方法有（）A. 36B. 48C. 72D. 2410、 （陕西理）安排3名支教老师去6所学校任教

23、，每校至多2人，则不同的分 配方案共有种（用数字作答）11、 （贵阳模拟理）3本不同的书分给6个人，每个人至多2本，则不同的分配方 案有_种。（用数字做答）七.相同元素的分配问题隔板法：【例1】:把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个 盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？【解析】：向1, 2, 3号三个盒子中分别放入0，1, 2个球后还余下17个球，然 后再把这17|个球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有 C162 = 120种。【例2】10个三 好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？【解析】：10个名额分到7个班级，

24、就是把10个名额看成10个相同的小球分成I I7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种 分配方案，故共有不同的分配方案为Cg -84种.【例3】：将4个相同的白球、5个相同的黑 球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？【解析】：1、先从4个盒子中选三个放置小球有C：种方法。2、注意到小球都是相同的，我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色 齐全，可以在4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、 4个5个空挡中分别插入两个板。各有 C；、C：、C；种方法。32223

25、、由分步计数原理可得C4 C3 C4 C5 =720种例10.有10个运动员名额，分给 7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C6种分法。纟将习题个相同的元素分成m份（n，m为正整数），每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个1. io个相同的球装，5个盒中l,每盒至少一有多少装法？ c94空隙中，所有分法数为cm；C92. x y z w =100求这个方程组的自然数解的组数 G,八多面手问题（

26、分类法-选定标准）【例1】：有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名是英、日语均精通，从中找出8人，使他们可以组成翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的 8人名单可以开出几张？十排数问题（注意数字“ 0”）【例1】（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210 种 B、300 种 C、464 种 D、600 种l_X X 二亠一亠22"【解析】?:按题意，个位数字只可能是0，1 ,2，3，4共5种情况，分别有A个， a4a3a33,a3a3a33,a1a3a3，a3

27、a33个，合并总计 300 个，选 b .（2）从1，2，3,，100这100个数中任取两个数，使其和能被 4整除的取法（不计顺序）有多少种？【解析】？：将I -1,2,3川,1001分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A = 4,8,12,川100;能被4除余1的数集B =1,5,9,11197，能被4除余 2的数集C=2,6,|H,98,能被4除余3的数集D =3,7,11川99，易见 这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中 各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法 都不符合要求；所以符合要求的取法共有 C： * C；5C；5 C25种.

28、例2.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数 .解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置 .先排末位共有c3然后排首位共有C：最后排其它位置共有 A由分步计数原理得C；C；A：=288卜一染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论；（2）根据相对区域是否同色分类讨论；（3）将空间问题平面化，转化成平面区域 涂色问题。【例11将一个四棱锥S-ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端 点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。（1）若恰用三种

29、颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点 S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C B与D分别同色，故有C；a2 = 60种方法。（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S，再从余下的 四种颜色中任选两种染 A与B,由于A、B颜色可以交换，故有A种染法；再从余 下的两种颜色中任选一种染 D或C,而D与C,而D与C中另一个只需染与其相 对顶点同色即可，故有c5a2c；c；=240种方法。（3）若恰用五种颜色染色，有A5 =120种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为 60+240+120=420种。【答案】420.规律小结涂色问题的常用方法有：（

30、1）可根据共用了多少种颜色分类讨论；（2） 根据相对区域是否同色分类讨论；（3）将 '! 空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。1、用5种不同的颜色给图中标、的各部分涂色，每部分只涂一种颜2、用红、黄、蓝、白色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种?五种颜色涂在女如图所的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的 涂色方法?3、把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇 形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成 4块扇形呢？ 4、（全国I）将1, 2, 3填入3 3的方格中，要求每行、每列

31、都没有重复数字,0Z1E丄3D. 48 种下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A. 6 种B. 12 种C. 24 种5、（全国I ）如图，一环形花坛分成 A, B, C, D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同 的种法总数为（）A. 96B. 84 C. 60D. 486、（全国）如图所示，一个地区分为 5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？十三.几何中的排列组合问题：【例1】已知直线x y （ a, b是非零常数）与圆a bx2 y2 =100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有条【解析】：？圆上的整点有：（6, _8） ,（_8,一6）,（ 一10,0）,（010）12 个i I严.岂066其中关于原点对称的有4条不满则条件切线有C；2=12，其中平行于坐标轴的有14条不满则条件66-4+12-14=60答案:60少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不