决策模型与层次分析法

1、运筹学运筹学1专题专题 决策模型、层次分析法决策模型、层次分析法内容提要：内容提要：不确定型决策模型不确定型决策模型风险决策模型风险决策模型决策树分析技术决策树分析技术多属性决策模型多属性决策模型层次分析法层次分析法建模就是决策建模就是决策运筹学运筹学2第一节第一节 决策分析概述决策分析概述决策决策 决策者为了实现预定的目标，根据一定的条件，决策者为了实现预定的目标，根据一定的条件，提出实现目标的各种行动方案，并针对每一方案提出实现目标的各种行动方案，并针对每一方案在实施过程中可能面临的客观状态，运用适当的在实施过程中可能面临的客观状态，运用适当的决策准则与方法，比较各方案的优劣，从中选出决策

2、准则与方法，比较各方案的优劣，从中选出最优或较满意的方案加以实施的完整过程。最优或较满意的方案加以实施的完整过程。运筹学运筹学3（一）决策模型要素（一）决策模型要素(1)决策者。他的任务是进行决策。决策者可以是个决策者。他的任务是进行决策。决策者可以是个人或某个组织。人或某个组织。(2)可供选择的方案（替代方案）、行动或策略。参可供选择的方案（替代方案）、行动或策略。参谋人员的任务是为决策者提供各种可行方案。包谋人员的任务是为决策者提供各种可行方案。包括了解研究对象的属性，确定目的和目标。括了解研究对象的属性，确定目的和目标。运筹学运筹学4(3)准则是衡量选择方案，包括目的、目标、属性、准则是

3、衡量选择方案，包括目的、目标、属性、正确性的标准，在决策时有单一准则和多准则。正确性的标准，在决策时有单一准则和多准则。属性是指研究对象的特性。它们是客观存在的，属性是指研究对象的特性。它们是客观存在的，是可以客观度量的，并由决策者主观选定的。如是可以客观度量的，并由决策者主观选定的。如选拔飞行员时，按身高、年龄、健康状况等数值选拔飞行员时，按身高、年龄、健康状况等数值来表明其属性。来表明其属性。目的是表明选择属性的方向。如要大好还是小好，目的是表明选择属性的方向。如要大好还是小好，反映了决策者的要求和愿望。反映了决策者的要求和愿望。目标是给出了参数值的目的。如目的是选择一种目标是给出了参数值

4、的目的。如目的是选择一种省油的汽车时省油的汽车时,那么以每公升能行驶那么以每公升能行驶60公里为目标。公里为目标。运筹学运筹学5(4)事件是指不为决策者所控制的客观存在的将发生事件是指不为决策者所控制的客观存在的将发生的状态。的状态。每一事件的发生将会产生某种结果，如获得收益或每一事件的发生将会产生某种结果，如获得收益或损失。损失。(5)决策者的价值观，如决策者对货币额或不同风险决策者的价值观，如决策者对货币额或不同风险程度的主观价值观念。程度的主观价值观念。运筹学运筹学6（二）（二）决策的分类决策的分类 根据对未来状态的把握程度不同，将决策问题分根据对未来状态的把握程度不同，将决策问题分为确

5、定型、风险型和不确定型三种决策。为确定型、风险型和不确定型三种决策。确定型的决策是指确定型的决策是指决策环境是完全确定的决策环境是完全确定的，作出，作出的选择结果也是确定的。的选择结果也是确定的。风险型决策是指决策的环境不是完全确定的，而风险型决策是指决策的环境不是完全确定的，而其发生的其发生的概率是已知的概率是已知的。不确定型决策是指决策者对将发生结果的概率一不确定型决策是指决策者对将发生结果的概率一无所知，只能凭决策者的无所知，只能凭决策者的主观倾向进行决策主观倾向进行决策。运筹学运筹学7第二节第二节 不确定型决策不确定型决策 所谓不确定型的决策是指决策者对环境情况一无所知。构所谓不确定型

6、的决策是指决策者对环境情况一无所知。构成不确定型决策的条件有四个：成不确定型决策的条件有四个：（1）存在决策人希望达到的目的（利益最大或损失最小）；）存在决策人希望达到的目的（利益最大或损失最小）；（2）存在着两个以上的行动方案，供决策者选择；）存在着两个以上的行动方案，供决策者选择；（3）存在着两个以上的自然状态；）存在着两个以上的自然状态；（4）可计算不同行动方案在不同自然状态下的相应益损值。）可计算不同行动方案在不同自然状态下的相应益损值。 对于不确定型决策来说，决策者是根据自己的对于不确定型决策来说，决策者是根据自己的主观倾向主观倾向进进行决策，由决策者的主观态度不同，可分为五种准则。

7、行决策，由决策者的主观态度不同，可分为五种准则。运筹学运筹学8问题及背景问题及背景 设某工厂是设某工厂是按批生产按批生产并并按批销售按批销售某种产品，每件某种产品，每件产品的成本为产品的成本为30元，批发价格为元，批发价格为35元。若每月生元。若每月生产的产品当月销售不完，则每件损失产的产品当月销售不完，则每件损失1元。工厂元。工厂每批生产每批生产10件，最大月生产能力是件，最大月生产能力是40件，决策者件，决策者可选择的生产方案为可选择的生产方案为0,10,20,30,40五种。假设决五种。假设决策者不清楚其产品的需求情况，试问决策者应如策者不清楚其产品的需求情况，试问决策者应如何决策？何决

8、策？运筹学运筹学9这个问题可描述为这个问题可描述为:决策者可供选择的方案有五种，决策者可供选择的方案有五种，它是策略集合它是策略集合,记作记作Si。经分析有五种销售情况：即销售量经分析有五种销售情况：即销售量0,10,20,30,40，但不知他们发生的概率，这是事件集合，记作但不知他们发生的概率，这是事件集合，记作Ej 。每个每个“策略策略事件事件”对都可以计算出相应的收益对都可以计算出相应的收益值或损失值。如当选择月产量为值或损失值。如当选择月产量为20件时，而销出件时，而销出量为量为10件。这时收益额为：件。这时收益额为： 10 (35-30)-1 (20-10)= 40（元）（元）运筹学

9、运筹学10可以计算出各可以计算出各“策略策略事件事件”对应的收益值或损失值。记作对应的收益值或损失值。记作aij。将这些数据汇总在矩阵中，见下表。将这些数据汇总在矩阵中，见下表（收益矩阵收益矩阵）。 EiSi事事 件件 010203040策策略略00000010-105050505020-204010010010030-30309015015040-402080140200运筹学运筹学11（一）悲观（一）悲观（max min）决策准则）决策准则l 悲观决策准则亦称保守决策准则。悲观决策准则亦称保守决策准则。l 当决策者面临着各事件的发生概率不知时，决策当决策者面临着各事件的发生概率不知时，决策

10、者总是抱悲观的态度，考虑在最坏的情况下来争者总是抱悲观的态度，考虑在最坏的情况下来争取最好的可能，在处理问题时就比较谨慎。取最好的可能，在处理问题时就比较谨慎。l 他分析各种最坏的可能结果，从中选择最好者，他分析各种最坏的可能结果，从中选择最好者，以它对应的策略为决策策略。以它对应的策略为决策策略。l 用符号表示即为：用符号表示即为：max min 决策准则。决策准则。运筹学运筹学12根据根据 max min 决策准则有：决策准则有： max（0，-10，-20，-30，-40）= 0它对应的策略为它对应的策略为S1，即为决策者应选的策略。，即为决策者应选的策略。在这里是在这里是“什么也不生产

11、什么也不生产”，这结论似乎荒谬，这结论似乎荒谬，但在实际中表示先看一看，以后再作决定。但在实际中表示先看一看，以后再作决定。运筹学运筹学13（二）乐观决策准则（二）乐观决策准则 持乐观（持乐观（max max）决策准则的决策者对待风）决策准则的决策者对待风险的态度与悲观者不同，当他面临情况不明的策险的态度与悲观者不同，当他面临情况不明的策略问题时，决不放弃任何一个可获得最好结果的略问题时，决不放弃任何一个可获得最好结果的机会，以争取好中之好的乐观态度来选择他的决机会，以争取好中之好的乐观态度来选择他的决策策略。策策略。 决策者在分析收益矩阵各策略的决策者在分析收益矩阵各策略的“策略策略事件事件

12、”对的结果中选出最大者，记在表的最右列。对的结果中选出最大者，记在表的最右列。 再从该列数值中选择最大者，以它对应的策略为再从该列数值中选择最大者，以它对应的策略为决策策略。决策策略。运筹学运筹学14根据根据max max决策准则有：决策准则有： max（0，50，100，150，200）= 200它对应的策略为它对应的策略为S5 。运筹学运筹学15（三）等可能性准则（三）等可能性准则等可能性（等可能性（Laplace）准则认为：当一人面临着）准则认为：当一人面临着某事件集合，在没有什么确切理由来说明这一事某事件集合，在没有什么确切理由来说明这一事件比那一事件有更多发生机会时，只能认为各事件比

13、那一事件有更多发生机会时，只能认为各事件发生的机会是件发生的机会是均等均等的。的。即每一事件发生的概率都是即每一事件发生的概率都是1/事件数。事件数。决策者计算各策略的收益期望值，然后在所有这决策者计算各策略的收益期望值，然后在所有这些期望值中选择最大者，以它对应的策略为决策些期望值中选择最大者，以它对应的策略为决策策略。策略。运筹学运筹学16在本例中：在本例中： maxE(Si) = max0，38，64，78，80 = 80它对应的策略它对应的策略S5 为决策策略。为决策策略。运筹学运筹学17（四）最小机会损失决策准则（四）最小机会损失决策准则最小机会损失决策准则亦称最小遗憾值决策准则。最

14、小机会损失决策准则亦称最小遗憾值决策准则。将收益矩阵中各元素变换为每一将收益矩阵中各元素变换为每一“策略策略事件事件”对的对的机会损失值。其含义是：当某一事件发生后，由于决策者机会损失值。其含义是：当某一事件发生后，由于决策者没有选用收益最大的策略，而形成损失值。若发生没有选用收益最大的策略，而形成损失值。若发生k 事件，事件，各策略的收益为各策略的收益为aik ，i = 1,2,5，其中最大者为：，其中最大者为： )(maxikilkaa为策略个数其中 nniaaaaaiklkikikiik:, 1)(max从所有最大机会损失值选取最小者，它对应策略从所有最大机会损失值选取最小者，它对应策略

15、为决策策略。为决策策略。运筹学运筹学18 EiSi事事 件件 010203040策策略略005010015020010100501001502020100501003030201005040403020100 min 200，150，100，50，40 =40, 它对应的策略它对应的策略S5 为决策策略。为决策策略。运筹学运筹学19（五）（五）折衷主义准则折衷主义准则当用当用min max决策准则或决策准则或max min决策准则来处理问题时，决策准则来处理问题时，有的决策者认为这样太极端了。于是提出把两种决策准则给有的决策者认为这样太极端了。于是提出把两种决策准则给予综合予综合,令令 为乐观

16、系数为乐观系数,且且0 1 ，用以下关系式表示：，用以下关系式表示： Hi = aimax + (1- ) aimin aimax、 aimin 分别表示第分别表示第i个策略可能得到的最大收益值个策略可能得到的最大收益值与最小收益值。设与最小收益值。设 = 1/3，将计算得到的，将计算得到的 Hi 值记在表的右值记在表的右端。然后选择：端。然后选择：)(max*iikHS 运筹学运筹学20 EiSi事事 件件 Hi = 1/3010203040策策略略000000010-10505050501020-20401001001002030-3030901501503040-402080140200

17、40策略策略S5 为决策策略。为决策策略。运筹学运筹学21决策规则决策规则的适用性？的适用性？运筹学运筹学22note 不确定性决策，不确定性决策，因人、因地、因时因人、因地、因时选择决策准则选择决策准则. 实际中当决策者面临不确定性决策问题时，首先实际中当决策者面临不确定性决策问题时，首先是是获取有关各事件发生的信息获取有关各事件发生的信息，使不确定性决策，使不确定性决策问题转化为问题转化为风险决策风险决策。运筹学运筹学23第三节第三节 风险决策风险决策风险决策是指决策者对客观情况不甚了解，但对风险决策是指决策者对客观情况不甚了解，但对将发生各事件的将发生各事件的概率是已知的概率是已知的。决

18、策者往往通过。决策者往往通过调查，根据过去的经验或主观估计等途径获得这调查，根据过去的经验或主观估计等途径获得这些概率。些概率。在风险决策中一般采用在风险决策中一般采用期望值期望值作为决策准则，有作为决策准则，有最大期望收益决策准则、最小机会损失决策准则最大期望收益决策准则、最小机会损失决策准则及决策树。及决策树。运筹学运筹学24（一）（一）最大期望收益决策准则最大期望收益决策准则p决策矩阵的各元素代表决策矩阵的各元素代表“策略策略事件事件”对的收对的收益值。各事件发生的概率为益值。各事件发生的概率为pj ，先计算各策略的先计算各策略的期望收益值期望收益值，然后从这些期望收益值中，然后从这些期

19、望收益值中选取最大选取最大者，它对应的策略为决策应选策略。者，它对应的策略为决策应选策略。p适用于一次决策多次重复进行生产的情况，它是适用于一次决策多次重复进行生产的情况，它是平均意义下的最大收益。平均意义下的最大收益。nipajjij, 1*maxkjjijiSpa运筹学运筹学25（二）（二）最小机会损失决策准则最小机会损失决策准则矩阵各元素代表矩阵各元素代表“策略策略事件事件”对的机会损失对的机会损失值，各事件发生概率为值，各事件发生概率为pj ，先计算各策略的，先计算各策略的期望期望损失值损失值：然后从这些期望损失值中选取最小者，它对应的然后从这些期望损失值中选取最小者，它对应的策略应是

20、决策者所选策略。策略应是决策者所选策略。nipajjij, 1*)(minkjjijiSpa运筹学运筹学26（三）决策树分析方法（三）决策树分析方法 决策树法是风险决策最常用的一种方法，它将决策问决策树法是风险决策最常用的一种方法，它将决策问题按从属关系分为几个等级，用题按从属关系分为几个等级，用决策树决策树形象地表示出形象地表示出来。通过决策树能统观整个决策的过程，从而能对决来。通过决策树能统观整个决策的过程，从而能对决策方案进行全面的计算、分析和比较。决策树一般由策方案进行全面的计算、分析和比较。决策树一般由三个部分组成：三个部分组成：u决策点决策点：在图中以方框表示，：在图中以方框表示，

21、决策者必须在决策点决策者必须在决策点处处进行最优方案的进行最优方案的选择选择。 从决策点引出方案分支；在各从决策点引出方案分支；在各方案分支上标明方案内容及其期望损益值，各个方案方案分支上标明方案内容及其期望损益值，各个方案之间的差别一目了然。之间的差别一目了然。 运筹学运筹学27状态点状态点：在图中以：在图中以圆圈圆圈表示，位于表示，位于方案分支的末端方案分支的末端。由状态点引出状态分支；在状态分支上标明状态由状态点引出状态分支；在状态分支上标明状态内容及其出现的概率；每一分支代表一个状态。内容及其出现的概率；每一分支代表一个状态。树梢树梢：在图中以三角表示，是状态分支的末梢，表：在图中以三

22、角表示，是状态分支的末梢，表示某方案在该状态下的示某方案在该状态下的损益值损益值。运筹学运筹学28l 决策树一般决策树一般从左至右逐步画出从左至右逐步画出，标出原始数据后，标出原始数据后，再从右至左计算出各结点的期望损益值，并标在再从右至左计算出各结点的期望损益值，并标在相应的结点上，进而对决策点上的各个方案进行相应的结点上，进而对决策点上的各个方案进行比较，依据比较，依据期望值决策准则期望值决策准则做出最终决策。做出最终决策。l 计算完从一个决策点引出的所有方案分枝所连接计算完从一个决策点引出的所有方案分枝所连接的的状态点的期望值状态点的期望值后，按目标要求删去不合要求后，按目标要求删去不合

23、要求的方案分枝，把保留下来的方案分枝所连接的状的方案分枝，把保留下来的方案分枝所连接的状态点上的数字移到决策点上方。态点上的数字移到决策点上方。l 用决策树法进行决策分析，可分为用决策树法进行决策分析，可分为单阶段决策和单阶段决策和多阶段决策多阶段决策两类。两类。运筹学运筹学29（1）单阶段决策）单阶段决策 所谓单阶段决策，指的是在决策过程中，决策者所谓单阶段决策，指的是在决策过程中，决策者只需进行一次方案选择。只需进行一次方案选择。一外商携风险资金来某城市，欲投资于电脑业，一外商携风险资金来某城市，欲投资于电脑业，目前有两种方案可供选择：一是直接将资金投入目前有两种方案可供选择：一是直接将资

24、金投入已有一定基础的中型企业；二是扶持刚起步的小已有一定基础的中型企业；二是扶持刚起步的小企业。两种方案在不同经济形势下的获利情况见企业。两种方案在不同经济形势下的获利情况见表。两个方案对应的投资额分别为表。两个方案对应的投资额分别为2000万元、万元、1500万元，试决策：该采取哪种投资方案万元，试决策：该采取哪种投资方案?运筹学运筹学30 绘出决策树。决策结点在左边，树枝向右伸开，因为有两绘出决策树。决策结点在左边，树枝向右伸开，因为有两个备选方案，方案枝有两条；可能的自然状态有三种，所以个备选方案，方案枝有两条；可能的自然状态有三种，所以每个状态结点后有三个状态分支。每个状态结点后有三个

25、状态分支。市场状态市场状态好好一般一般差差投资方案投资方案投资中型企业（投资中型企业（A1）500025001500扶持小型企业（扶持小型企业（A2）80000-2500运筹学运筹学3112方案A12000方案A21500 好0.5一般0.3 差0.2 好0.5一般0.3 差0.2500025001500800002500风险投资问题的决策树运筹学运筹学32计算各状态点的收益值。计算各状态点的收益值。状态点状态点1：50000.525000.315000.2=3550（万元）（万元）状态点状态点2：80000.500.3（-2500）0.2=3500（万元）（万元）计算各方案

26、的收益期望值。计算各方案的收益期望值。方案方案A1：3550-2000=1550（万元）（万元）方案方案A：3500-1500=2000（万元）（万元） 依据最大收益期望值准则，方案依据最大收益期望值准则，方案A收益期望值较大，为最收益期望值较大，为最优方案，也就是扶持小企业为最优决策方案。优方案，也就是扶持小企业为最优决策方案。运筹学运筹学33（2）多阶段决策多阶段决策很多实际决策问题，需要决策者进行多次决策，很多实际决策问题，需要决策者进行多次决策，这些决策按先后次序分为几个阶段，后阶段的决这些决策按先后次序分为几个阶段，后阶段的决策内容依赖于前阶段的决策结果及前一阶段决策策内容依赖于前阶

27、段的决策结果及前一阶段决策后所出现的状态。后所出现的状态。在做前一次决策时，也必须考虑到后一阶段的决在做前一次决策时，也必须考虑到后一阶段的决策情况，这类问题称之为多阶段决策问题。策情况，这类问题称之为多阶段决策问题。运筹学运筹学34u某一化工原料厂，由于某项工艺不甚好，产品成本高。在价某一化工原料厂，由于某项工艺不甚好，产品成本高。在价格中等水平时无利可图，在价格低落时要亏本，只有在价格格中等水平时无利可图，在价格低落时要亏本，只有在价格高时才赢利，且赢利也不多。高时才赢利，且赢利也不多。u现企业考虑进行现企业考虑进行技术革新技术革新，取得新工艺的，取得新工艺的途径有两种，一是途径有两种，一

28、是自行研究自行研究，成功的可能是，成功的可能是0.6，二是购买专利二是购买专利，估计购买谈，估计购买谈判成功的可能性是判成功的可能性是0.8。u不论是研究成功还是谈判成功，生产规模有两种考虑方案，不论是研究成功还是谈判成功，生产规模有两种考虑方案，一是产量不变，二是产量增加。若研究失败或者谈判失败，一是产量不变，二是产量增加。若研究失败或者谈判失败，则仍然采用原工艺进行生产，生产保持不变。则仍然采用原工艺进行生产，生产保持不变。u根据市场预测，今后五年内这两种根据市场预测，今后五年内这两种产品跌价产品跌价的可能性是的可能性是0.1，保持保持中等水平的可能性是中等水平的可能性是0.5，涨价涨价的

29、可能性是的可能性是0.4。现在企。现在企业需要考虑：是否购买专利，是否自行研究。业需要考虑：是否购买专利，是否自行研究。运筹学运筹学35 方案方案价格价格（概率）（概率）按原工艺按原工艺生产生产购买专利成功购买专利成功(0.8)自行研究成功自行研究成功(0.6)产量不变产量不变增加产量增加产量产量不变产量不变增加产增加产量量价格低落价格低落（0.1）-1000-2000-3000-2000-3000中等（中等（0.5）05005000-2500高涨（高涨（0.4）10001500250020006000运筹学运筹学36950820自行研究购买专利失败成功成功增加产量产量不变增加产量产量不变85

30、06009506501256371110984-100001000-20005001500-30005002500-200002000-3000-25006000-100001000300300850630失败820化工厂的决策树运筹学运筹学37各点益损期望值为各点益损期望值为：点4：点8：点9：点10：点11：点7：0.1 (-1000)+0.5 0+0.4 1000=3000.1 (-2000)+0.5 500+0.4 1500=6500.1 (-3000)+0.5 500+0.42500=9500.1 (-2000)+0.5 0+0.42000=6000.1 (-3000)+0.5 (

31、2500)+0.4 6000=850 0.1 (-1000)+0.5 0+0.4 1000=300运筹学运筹学38 在决策点在决策点5，去掉产量不变方案去掉产量不变方案(收益少）收益少），9点的期望值移到点的期望值移到5点，点，11点的期望值移到点的期望值移到6点。点。 点点2： 点点3： 由于点由于点2的期望值大于点的期望值大于点3，所以，企业应该购买专，所以，企业应该购买专利；在成功时增加产量；失败时按原来工艺生产。利；在成功时增加产量；失败时按原来工艺生产。0.2 300+0.8 950=8200.6 850+0.4 300=630运筹学运筹学39第四节第四节 多属性决策方法多属性决策方

32、法n 社会经济系统的决策问题，往往涉及多个不同属性。一社会经济系统的决策问题，往往涉及多个不同属性。一般来说，多属性综合评价有两个显著特点，般来说，多属性综合评价有两个显著特点，n 第一，第一，指标间不可公度性指标间不可公度性，即属性之间没有统一量纲，即属性之间没有统一量纲，难以用同一标准进行度量。难以用同一标准进行度量。n 第二，第二，某些指标之间存在一定的矛盾性某些指标之间存在一定的矛盾性，某一方案提高，某一方案提高了某个指标值，却可能降低另一指标值。了某个指标值，却可能降低另一指标值。n 因此，克服指标间不可公度的困难，协调指标间的矛盾因此，克服指标间不可公度的困难，协调指标间的矛盾性，

33、是多属性综合评价要解决的主要问题。性，是多属性综合评价要解决的主要问题。运筹学运筹学40（一）决策矩阵（一）决策矩阵 设有 个备选方案 个决策指标 决策矩阵 mianjfijx指标1指标2方案1x11x12方案2x21x22运筹学运筹学41（二）决策矩阵的标准化（二）决策矩阵的标准化 由于指标体系中由于指标体系中指标不同的量纲指标不同的量纲，例如，产值的单位为万，例如，产值的单位为万元，产量的单位为万吨，投资回收期的单位为年等，这给元，产量的单位为万吨，投资回收期的单位为年等，这给综合评价带来许多困难。综合评价带来许多困难。 将不同的量纲的指标通过适当的变换，转化为将不同的量纲的指标通过适当的

34、变换，转化为无量纲的标无量纲的标准化指标准化指标，称为，称为决策指标的标准化决策指标的标准化。 决策指标根据指标变化方向，大致可以分为决策指标根据指标变化方向，大致可以分为两类两类，即效益，即效益型（型（正向）指标正向）指标和成本型（和成本型（逆向）指标逆向）指标。效益型指标具有。效益型指标具有越大越优的性质，成本型指标具有越小越优的性质。越大越优的性质，成本型指标具有越小越优的性质。运筹学运筹学42（1 1）向量归一化法）向量归一化法 在决策矩阵 =（ ） 中，令 矩阵 称为向量归一标准化矩阵。 经过归一化处理 后，其指标值均满足 ，并且正、逆向指标的方向没有发生变化，即正向指标归一化变化后

35、，仍是正向指标，逆向指标归一化变换后，仍是逆向指标。Xijxnm21ijijmijixyxnjmi1 ,1Y01ijy运筹学运筹学43（2 2）线性比例变化法）线性比例变化法 在 中，对正向指标 ，取 ，则 = 对于逆向指标，取 = ， 称为线性比例标准化矩阵，经过线性比例变换后，标准化指标满足 ，并且正、逆向指标均化为正向指标，最优值为1，最劣值0。 nmijxXjfijmijxx1max0ijy*1,1ijjximjnxjxijmix1min0ijyijjxx01ijy运筹学运筹学44（3 3）极差变化法极差变化法 对正向指标 ，取 ， 对逆向指标 ，取 ， ，则 矩阵矩阵 称为极差变换标

36、准化矩阵称为极差变换标准化矩阵。经过极差变换之后，均有 ，并且正、逆向指标均化为正向指标。jfojijmijxxx,max1ijmix1minnjmi1 ,1jfijmijxx1minijmijxx1max0jjijjijxxxxy00njmi1 ,1 nmijyY10ijy0*0jjjijijxxxxy运筹学运筹学45（4 4）定性指标量化定性指标量化处理方法处理方法 在多属性决策指标体系中，有些指标是定性指标，只能作为定性描述，例如“可靠性”、“灵敏度”、“员工素质”等。对定性指标作量化处理，常用的方法是将这些指标依问题性质划分为若干级别，分别赋以不同的量值。一般可划分为5个级别，最优值1

37、0分，最劣值0分，其余级别赋以适当分值。 定性标度很低低一般高很高正向指标13579逆向指标97531运筹学运筹学46 某航空公司在国际市场上购买飞机，按6个决策指标对不同型号的飞机进行综合评价，这6个指标是：最大速度、最大范围、最大负载、价格 、可靠性、灵敏度。现在4种型号的飞机可供选择，具体指标值见表。 最大速度（马赫）最大范围（千米）最大负载（千克）费用（百万元）可靠性灵敏度12.01500200005.5一般很高22.52700180006.5低一般31.82000210004.5高高42.21800200005.0一般一般运筹学运筹学47决策矩阵 550 . 52000018002

38、. 2775 . 42100020008 . 1535 . 61800027005 . 2955 . 52000015000 . 264ijxX运筹学运筹学48向量归一化法。向量归一化法。标准化矩阵为 3727. 04811. 04603. 05056. 04392. 05139. 05217. 06736. 04143. 05308. 04882. 04204. 03127. 02887. 05983. 04550. 06591. 05839. 06708. 04811. 05063. 05056. 03662. 04671. 064ijyY运筹学运筹学49极差变换法。极差变换法。标准化矩阵

39、为050. 025. 067. 052. 057. 050. 000. 100. 100. 142. 00000000. 100. 100. 151. 050. 067. 0028. 064ijyY运筹学运筹学50线性比例变换法。线性比例变换法。标准化矩阵为56. 071. 090. 095. 067. 088. 078. 000. 100. 100. 174. 072. 056. 043. 069. 086. 000. 100. 100. 171. 082. 095. 056. 080. 064ijyY运筹学运筹学51（三）线性加权方法（三）线性加权方法n 线性加权法根据实际情况，确定各决策

40、指标的权重，再对决策矩阵进行标准化处理，求出各方案的指标综合值，以此作为各可行方案排序的依据。n 应该注意的是，线性加权法对决策矩阵的标准化线性加权法对决策矩阵的标准化处理，应当使所有的指标正向化。处理，应当使所有的指标正向化。 12(,)TnWw ww1nijijjuw y*111()maxmaxnijiji mi mju auw y 运筹学运筹学52(0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3)TW 46()ijXx设购机问题中，6个决策指标的权重向量为用线性比例变换法，将决策矩阵标准化，标准化矩阵为：4 60.800.560.950.820.711.001.001.000.860.6

41、90.430.56()0.720.741.001.001.000.780.880.670.950.900.710.56ijYy运筹学运筹学5312340.8350.7090.8530.738uuuu，*3314()m ax()iiuauuua *a3a3142aaaa计算各方案的综合指标值因此，最优方案是即=购机问题各方案的排序结果是。运筹学运筹学54（四）理想解方法（四）理想解方法n 理想解法又称为TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)法，这种方法通过构造多属性问题的理想解和负理想解，并以靠

42、近理想解和远离理想解两个基准作为评价各可行方案的依据。n 所谓所谓理想解理想解，是设想各指标属性都达到，是设想各指标属性都达到最满意的解最满意的解；所谓；所谓负理想解负理想解，也是设想指标属性都达到，也是设想指标属性都达到最不满意的解最不满意的解。 *112211221111max,max,min,miniiiii mi mi mi mxxxxxxxx 运筹学运筹学55 确定了理想解和负理想解，还需确定一种确定了理想解和负理想解，还需确定一种测度方法测度方法，表示各，表示各方案目标值方案目标值靠近理想解和远离理想解的程度靠近理想解和远离理想解的程度。 设方案 对应到理想解和负理想解的距离分别为

43、 相对贴进度 ia2*21()iijjjSxx221()iijjjSxx*iiiiSCSS运筹学运筹学56计算加权标准化矩阵，求得计算加权标准化矩阵，求得4 60.09340.03660.05060.05060.09620.20120.11680.06590.04550.05980.05770.1118()0.08410.04880.05310.04140.13470.15650.10280.04390.05060.04600.09620.1118ijVv*VV分别确定理想解和负理想解为，=0.1168=0.1168，0.06590.0659，0.05310.0531，0.04140.0414

44、，0.13470.1347，0.2012,0.2012, =0.0841 =0.0841，0.03660.0366，0.04550.0455，0.05980.0598，0.05770.0577，0.11180.1118。 运筹学运筹学57各方案到理想解和负理想解的距离分别是 =0.0545， =0.1197， =0.0580， =0.1009， =0.0983， =0.0439， =0.0920， =0.0458。各方案的相对贴近度为 =0.643， =0.268， =0.613， =0.312，用理想解法各方案的排序结果是 *1S*2S*3S*4S1S2S3S4S*1C*2C*3C*4C13

45、42aaaa运筹学运筹学58第五节第五节 层次分析方法层次分析方法定量定性结定量定性结合的方法合的方法运筹学运筹学59一、层次分析法的基本用法一、层次分析法的基本用法层次分析法（简称层次分析法（简称AHP）是）是20世纪世纪70年代由美国数年代由美国数学家学家T.L. Saaty提出的一种提出的一种定量定性相结合定量定性相结合的评的评价方法。价方法。该方法力求避开复杂的数学建模方法进行复杂问题该方法力求避开复杂的数学建模方法进行复杂问题的决策，其原理是的决策，其原理是将复杂的问题逐层分解将复杂的问题逐层分解为若干为若干元素，组成一个相互关联和具有隶属关系的层次元素，组成一个相互关联和具有隶属关

46、系的层次结构模型，对各元素进行判断，以获得各元素的结构模型，对各元素进行判断，以获得各元素的重要性。重要性。运用运用AHP，大体上可按下面四个步骤进行：，大体上可按下面四个步骤进行：运筹学运筹学60步骤步骤1：分析系统中各因素间的关系，建立系统的递阶：分析系统中各因素间的关系，建立系统的递阶层层次结构；次结构；步骤步骤2：对同一层次各元素关于上一层次中某一准则的重：对同一层次各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行要性进行两两比较两两比较，构造两两比较的，构造两两比较的判断矩阵判断矩阵；步骤步骤3：由判断矩阵计算被比较元素对该准则的相对权重，：由判断矩阵计算被比较元素对该准则的相对权重，并进行

47、判断矩阵并进行判断矩阵一致性检验一致性检验；步骤步骤4：计算各层次对于系统的：计算各层次对于系统的总排序权重总排序权重，并进行排序。，并进行排序。最后，得到最后，得到各方案各方案对于总目标的对于总目标的总排序总排序。运筹学运筹学61递阶层次结构的建立递阶层次结构的建立 应用应用AHP分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分，这些元素又按其属性及关系形成若干层次，上一层次的元组成部分，这些元素又按其属性及关系形成若

48、干层次，上一层次的元素作为准则对下一层次的有关元素起支配作用。这些层次可以分为三素作为准则对下一层次的有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类：类： 1）最高层（目标层最高层（目标层）：只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或）：只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果；理想结果； 2）中间层（准则层中间层（准则层）：包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可以）：包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则、子准则；由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则、子准则； 3）最底层（方案层最底层（方案层）：包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策）：包括了为实

49、现目标可供选择的各种措施、决策方案等。方案等。运筹学运筹学62 例：例： 购房决策问题。某顾客要购房决策问题。某顾客要购买一套新房购买一套新房，初步调查后，初步调查后确定确定三套候选房子三套候选房子A，B，C，问题是如何在这三套房里选择，问题是如何在这三套房里选择满意的房子。顾客从房地产公司获得了这三套房子的资料数满意的房子。顾客从房地产公司获得了这三套房子的资料数据，包括：住房的地理位置；住房的交通情况；住房附近的据，包括：住房的地理位置；住房的交通情况；住房附近的商业、卫生和教育情况；住房小区的绿化、清洁和安静的自商业、卫生和教育情况；住房小区的绿化、清洁和安静的自然环境；建筑结构；建筑材

50、料；房子布局；房子设备；房子然环境；建筑结构；建筑材料；房子布局；房子设备；房子面积；房子单价。这些方面实际上给出了评判满意程度的标面积；房子单价。这些方面实际上给出了评判满意程度的标准，为了简化问题，把上述方面简化成准，为了简化问题，把上述方面简化成4个标准：个标准：房子的地房子的地理位置与交通；房子的居住环境；房子结构、布局与设施；理位置与交通；房子的居住环境；房子结构、布局与设施；房子的单价，房子的单价，由此可得到购房决策的指标体系结构图由此可得到购房决策的指标体系结构图 。运筹学运筹学63满意房子决策问题地理位置及交通居住环境结构布局设施房子单价房子B房子A房子C准则层方案层目标层 运

51、筹学运筹学64构造两两比较的构造两两比较的判断矩阵判断矩阵 在建立递阶层次结构以后，上下层元素间的隶属关系在建立递阶层次结构以后，上下层元素间的隶属关系就被确定了。就被确定了。下一步是要确定各层次元素的权重下一步是要确定各层次元素的权重。对于大多数社会经济问题，特别是比较复杂的问题，对于大多数社会经济问题，特别是比较复杂的问题，元素的权重不容易直接获得。元素的权重不容易直接获得。需要通过适当的方法导出它们的权重，需要通过适当的方法导出它们的权重，AHP利用决策利用决策者对方案两两比较给出者对方案两两比较给出判断矩阵判断矩阵的方法的方法导出权重导出权重。运筹学运筹学65 记准则层元素记准则层元素

52、C所支配的下一层次的元素为所支配的下一层次的元素为U1，U2，Un。针对准。针对准则则C，决策者，决策者比较两个元素比较两个元素Ui和和Uj那一个更重要那一个更重要，重要程度如何，并，重要程度如何，并按表按表 定义的比例标度对重要性程度赋值，形成判断矩阵定义的比例标度对重要性程度赋值，形成判断矩阵 ，其中其中aij 就是元素就是元素Ui与与Uj相对于准则相对于准则C的重要性比例标度。的重要性比例标度。()ijn nAa比例标度比例标度含义含义1两个元素相比，具有相同的重要性两个元素相比，具有相同的重要性3两个元素相比，前者比后者稍（略）重要两个元素相比，前者比后者稍（略）重要5两个元素相比，前

53、者比后者明显（较）重要两个元素相比，前者比后者明显（较）重要7两个元素相比，前者比后者强烈（非常）重要两个元素相比，前者比后者强烈（非常）重要9两个元素相比，前者比后者极端（绝对）重要两个元素相比，前者比后者极端（绝对）重要2，4，6，8表示上述相邻判断的中间值表示上述相邻判断的中间值运筹学运筹学66判断矩阵 具有如下性质： 1） ；2） ； 3） 称为正互反判断矩阵。 根据判断矩阵的互反性，对于一个n个元素构成的判断矩阵只需给出其上（或下）三角的 个判断数据即可。A0ija 1j ii jaa1iia (1)2n n 运筹学运筹学67 基于“地理位置及交通”指标，通过分析在这方面，房子A比房

54、子B略好，房子A比房子C非常好，但不是绝对好，认为房子B比房子C较好，则可以得到如下的得到如下的判断矩阵判断矩阵（下三角（下三角判断矩阵的元素由互反性得到）判断矩阵的元素由互反性得到）： 1281/2161/81/61ABCAABC房子房子房子房子房子房子运筹学运筹学68权重向量和一致性指标权重向量和一致性指标 通过两两比较得到的判断矩阵A不一定满足判断矩阵的互反性条件，从复杂决策问题判断的本身来看，由于决策问题的复杂性，决策者判断的逻辑性可能不一致。对此，AHP采用一个数量标准来衡量A的不一致程度。 设 是n阶判断矩阵排序权重向量（可根据排序权重向量 来决定方案的优劣），当A为一致性判断矩阵时，有：12( , ,)Tnww www112122211212111111nnnnnnwwwwwwwwwwAwwwwwwww运筹学运筹学69w运筹学运筹学70 对于具有一致性的正互反判断矩阵来说，对于具有一致性的正互反判断矩阵来说，CI=0。由于客。由于客观事物的复杂性和人们认识的多样