名校联盟福建省长泰县第一中学高三数学二轮复习专题05思想方法转化与化归的思想方法

1、高考复习系列课件高考复习系列课件9595数学第二轮复习05思想方法转化与化归的思想方法95思想方法转化与化归的思想方法考题剖析考题剖析 规律总结规律总结 知识概要知识概要 030828转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法 1. 1. 解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难.通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的 目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.知识概要知识概要转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法 2. 化归与转化思想的实质是揭示联系，

2、实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程.化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现.知识概要知识概要转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法 3.转化有等价转化和非等价转化.等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价

3、性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等 价性，或对所得结论进行必要的验证. 4.化归与转化应遵循的基本原则： （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.知识概要知识概要转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法 （2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其变为有利于运用某种数学方法或使其方法符合人们的思维规律. （4）直观化原则：将比较抽象的

4、问题转化为比较直观的问题来解决. （5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.知识概要知识概要转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法 5.利用转化与化归的思想解决问题的模式可图示如下：知识概要知识概要转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法考考 题题 剖剖 析析1. （2008麻城一中模拟题）若(2x )4=a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值为（ ） a.0 b.1 c.1 d.2考题剖析考题剖析 解析 令f(x)=(2x )4 =a0a1xa2x2a3x3a4x4(a0a2a4)2(a1a3)2

5、=(a0a1a2a3a4)(a0a1a2a3a4)=f(1)f(1)=(2 )4(2 )4=1,所以选c.3333 点评 本题巧妙地将二项式项的系数问题转化为函数问题，关键是要看清(a0a2a4)2(a1a3)2的结构特点，可以分解因式，而分解因式后与前面式子联系起来看，就不难转化为一个函数问题了.转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法 2.（2007云南昆明市质检题）若 |xy3|=0，则点m(x,y)的轨迹是（ ） a. 圆 b. 椭圆 c. 双曲线 d.抛物线考题剖析考题剖析22) 1() 3(yx 解析由原式可以变形为 ，即可以看作是动点（x,y)到点（3,1）的距离与到定直线xy3

6、=0的距离的比为 ，故点m(x,y)的轨迹是双曲线.22|3|) 1()3(22yxyx2 点评 本题如果直接对原式进行变形，是有一定运算量的，效率也不高，但将式子转化为这种公式之后，它的几何意义就凸现出来了，解题时要有一定的转化能力与数形结合的能力.转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法 分析本题要求(x23x2)5展开式中x的系数，而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对x系数的计算用两种思路进行转化.3.在(x23x2)5的展开式中x的系数为（ ） a.160 b.240 c.360 d.800考题剖析考题剖析 解析思路1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，

7、则(x23x2)5展开式是一个关于x的10次多项式，(x23x2)5 =(x23x2) (x23x2) (x23x2) (x23x2) (x23x2)，它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x并在其余四个括号中均选择常数项2相乘得到，故为c (3x)c 24=5316x=240 x，所以应选b.1544转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法 思路2:利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算：x23x2=x2(3x2)=(x22)3x=(x23x)2=(x1)(x 2)=(1x)(2x)，这条思路下又有四种不同的化归与转化方法.如利用x23x2=x2(3x2)转化

8、，可以发现只有c (3x2)5中会有x项，即c (3x)24=240 x，故选b；如利用x23x2= (x22)3x进行转化，则只c (x22) 43x中含有x一次项，即c 3xc 24=240 x；如利用x23x2=(x23x)2进行转化，就只有c (x23x)24中会有x项，即240 x；考题剖析考题剖析554515154445转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法 如选择x23x2=(1x)(2x)进行转化，(x23x2)5=(1x)5(2x)5展开式中的一次项x只能由(1x)5中的一次项乘以(2x)5展开式中的常数项加上(2x)5展开式中的一次项乘以(1x)5展开式中的常数项后得到，

9、即为： 故选b. 考题剖析考题剖析 点评 化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知.转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法 4.某厂2006年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入n的大 小关系是（ ） a.mn b.m4xp3对一切0p4均成立，试求实数x的取值范围. 解析 x2px4xp3 (x1)px24x30令g(p)=(x1)px24x3，则要使它对0p4均有g(p)0，只要有x3或x1.0)

10、4(0)0(gg 点评在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的.但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解.本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行.转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法考题剖析考题剖析7.已知二次函数f（x）=ax22x2a1，其中x=2sin（0 ）. 若二次方程f（x）=0恰有两个不相等的实根x1和x2，求实数a的取值

11、范围.67 分析注意0 ，则12sin2，即1x2，问题转化为二次方程根的分布问题，根据图象得出等价的不等式组. 67 解析由以上分析，问题转化为二次方程ax22x2a1=0.在区间1,2上恰有两个不相等的实根，由y=f（x）的图象（如图所示），转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法考题剖析考题剖析得等价不等式组：解得实数a的取值范围为3， .考题剖析考题剖析23 点评 本题体现了函数与方程的转化、数与形的转化，直观明了.转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法0)32()2(0)3() 1(22210) 12(44aaafaaafaaa 8.如下图所示，图（a）为大小可变化的三棱锥pabc

12、. （1）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定展开图刚好是一个直 角梯形p1p2p3a，如图（b）所示.求证：侧棱pbac； （2）由（1）的条件和结论，若三棱锥中pa=ac，pb=2，求 侧面pac与底面abc所成角； （3）将此三棱锥沿三条侧棱剪开，假定其展开图刚好是一个 三角形p1p2p3，如图（c）所示.已知p1p3=p2p3，p1p2=2a，若三 棱锥相对棱pb与ac间的距离为d，求此三棱锥的体积.考题剖析考题剖析转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法考题剖析考题剖析 解析（1）在平面图中p1ap2b，p2bp2c.故三棱锥中，pbpa，pbpc，pb平面pac，pbac. （2）由（1

13、）在三棱锥中作pdac于d，连结bd.由三垂线定理得bdac，pdb是所求二面角的平面角，在展开图中，连bp3得bp3ac，作aecp3于e，得ae=p1p2=4.设pa=ac=x，则p1a=ac=p3a=x，由p2c=cp3，ce=ep3= = ，ep3= .故cp3=2 ，p2p3=4 ，224x3x222转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法由acdp3=cp3ae dp3= ，又bp3= =6，且bd= .在pdb中，cospdb= ，侧面pac与底面abc所成的角的大小为arccos .考题剖析考题剖析3823222ppbp 3105454转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法

14、（3）在平面图中，由剪法知，a、b、c分别是三角形三边的中点.由此得：ab=bc=ac=a.在三棱锥中，取ac中点d.连pd、bd acpd，acbd，故ac平面pdb，且d到pb的距离为异面直线pb与ac之间的距离d，spdb= ad，v= a2d.考题剖析考题剖析2161 点评立体几何中有关位置关系的论证实际上是位置关系的相互转化，有关空间角的计算总是转化为平面内的角来求解.转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法9.设函数f(x)的定义域为r，若对于任意实数m，总有f(mn)=f(m)f(n),且当x0时，0f(x)1. ()证明：f(0)=1且x0时，f(x)1； ()证明：f(x)在

15、r上单调递减； ()若f(x)m22am1对所有x0,),a1,1时恒成立，求实数m的取值范围. 解析（）在f(mn)=f(m)f(n)中取m0,n=0有f(m）=f(m)f(0). x0时，0f(x)1 f(m)0. f(0)=1 又设m=x0，n=x0，则0f(x)1,f(mn)=f(0)=f(x)f(x)，f(x)= 1即x0时，f(x)1.)(1xf 转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法考题剖析考题剖析 ()设x1x2，则x2x10,0f(x2x1)1,f(x1)0，f(x2)f(x1)=f(x2x1)x1f(x1)=f(x2x1)f(x1)f(x1)=f(x1)f(x2x1)10

16、.f(x)在r上单调递减. （）f(x)在r上递减，当x0,）时，f(x)f(0)=1，由若f(x)m22am1对所有x0,）,a1,1时恒成立，有：1m22am1，即m22am0恒成立，记g(a)=2mam2， 解得m2或m=0或m2.m的取值范围是（,202,)., 02) 1 (, 02) 1(22mmgmmg转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法考题剖析考题剖析 点评抽象函数中，恰当地对条件给出的恒等式进行赋值，是解题的常用方法. ()中通过将m，n赋值x和x，从而将f(x)用f(x)表达; ()中将f(x2)等价转化为f(x2x1)x1是常用方法； ()是“恒成立”问题，“恒成立”常可转化为最值问题，本题中只要考察f(x)的最大值，问题就明朗化了.转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法考题剖析考题剖析规规 律律 总总 结结 1.逐步树立转化与化归意识，遇到难题试着转换. 2.转化与化归应遵循五条原则： (1)熟悉化原则：将陌生的问题化为熟悉的问题来解决； (2)简单化原则：将复杂问题化为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的； (3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形的内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推理有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律； (4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较