偏微分方程数值解(试题)

1、精品资料欢迎下载偏微分方程数值解试题1、考虑一维的抛物型方程：u2ut Tt2, x 0, , 0xu( x, t) x 0u0 , u( x, t) xuu( x,0)( x)（ 1）导出时间离散是一阶向前Euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式；（ 2）讨论（ 1）中导出的格式的稳定性；（ 3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式，uun 1un 1t t tn2t空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？2、考虑 Poission 方程2u(x, y)1, ( x, y)uin AB and AD0,nu(x, y)0,in BC and CD其中 是图 1 中的梯形。

2、图1 梯形使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2，图 2从物理空间到计算区域的几何变换精品资料欢迎下载为了求解本问题，采用如下方法： 将 的一半投影到正方形区域? ，然后在 ? 上使用差分方法来离散该方程。在计算区域?上用N N 个网格点，空间步长为1 /N(。1 )（1）引入一个映射T 将原区域（带有坐标 x, y ）变换到单位正方形?（带有坐标, ）。同时导出在新区域上的方程和边界条件。（2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。3、对线性对流方程uau0aconstant >0，其一阶迎风有限体积法离散格式为txn 1n

3、at （ ?nn?u j?）u j= u jxuj 1（ 1）写出 a 0时的一阶迎风有限体积法的离散格式；（ 2）写出 a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。（3）使用uuu说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。t0x4、对一维Poission 方程uxxxex ,x(0,1)u(0)u(1)0将 01， 分成 (n1) 等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问：（ 1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？（ 2）该差分格式稳定吗？为什么？（ 3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？（ 4）取 ( n 1) 6 ，写出该差分格式的矩阵表示。5、叙述二重网格方

4、法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题2)+9sin(15) ）uxx25（sin(5x(0,1)x , xu(0)u(1)0给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h ： n7 ，粗网格2h ： n3 为例）。6、对一阶波动方程uu0txu( x,0)1 sin( x),x (0,1)2u(0, t )u(1,t )（1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式；精品资料欢迎下载（2）使用线方法，分析上述格式的稳定性。7、考虑散热片的设计问题。二维散热片如图3 所示，是由一个中心柱和4 个水平的子片构成；散热片从底部root 的均匀通量源通过大表面的子片散热到周

5、围的空气中。散热片可由一个 5 维参数向量来表示，(1,2, 5)，其中iki , i1,4 ，和5Bi ；可取给定设计集 D5 中的任意值。 ki是第 i 个子片热传导系数（k 01是中柱的热传导系数）； Bi 是 Biot数，反映在散热片表面的对流输运的热传导系数（大的Bi 意味好的热传导）。比如，假定我们选择散热片具有如下参数k10.4, k 20.6, k30.8,k41.2, Bi0.1 ，此时(0.4,0.6,0.8,1.2,0.1)。中心柱的宽度是1 ，高度是4 ；子片的厚度t 0.25 ，长度 L2.5 。我们将输出温度Troot 看作是(1, 2,5 ) 的函数，其中输出温度

6、Troot 是散热片底部定常态温度的均值，输出温度 Troot 越低，散热效果越好。在散热片内定常态温度分布 u( ) ，由椭圆型方程控制其中 u i 是 u 在i 的限制，i 是热传导系数为 k i ,i0, 4 的散热片的区域：0 是中心柱，i ,i 1, 4 对应 4 个子片。整个散热片区域记为，的边界记为。为确保在传导系数间断界面i0i, i 1, ,4 上温度和热通量的连续性，我们有int这里 ?iiNeumann 边界条件n 是的外法线。在散热片的底部引入来刻画热源；一个Robin 边界条件来刻画对流热损失，其中ii4iroot 。ext 是暴露在流体流动中的边界部分，0exti在

7、 底 部 的 平 均温 度 Tr o o t()l0 (u ( )， 其 中 l 0 (v)v 。 在 这 个 问 题 中 ， 我们 取rootl ( v)l0 ( v)。（1）证明 u()XH 1 () 满足弱形式精品资料欢迎下载其中（2）证明 u()X 是 J ( w) 在 X 中取得极小值的变量（3）考虑线性有限元空间找 uh ()X h ，使得此时运用通常的节点基，我们得矩阵方程其中n 是有限元空间的维数。请推导出单元矩阵 Ahk33 ，单元荷载向量 Fhk3 ，单元输出向量 Lhk3 ；并且描述从单元量获得总矩阵Ah , Fh, Lh 的程序。精品资料欢迎下载8、考虑 Poisson

8、 方程2u(x, y)1,( x, y)u(x, y)0其中 是单位正方形，定义空间和泛函XH 01()vH 1() v0a(u,v)uvdAl ( v)vdA若 uC 2 () ，且 u 是上述 Poisson 方程的解，（1）证明 u 为 J (w) 在空间 X 上的极小值点，其中J ( w)1l ( w)a( w, w)（2）证明 u 满足弱形式2a(u, v)l (v),vX（3）作图示均匀三角形剖分，步长h1，写出下列节点编号所对应的刚度矩阵和荷载向3量。(a)节点编号顺序为(b) 节点编号顺序为112 11222(,),(3,),(,),(,)333333312211122(,),

9、(,),(,),(,)(4) 假定基函数和节点有同样的编号，写出节点为( 2, 2) 的节点基函数。339、考虑一维的poisson 方程uxx(3xx2 )ex , x(0,1)u(0)u(1)0将 (0,1) 区间分成 n1等份，用中心差分离散二阶导数，完成下列各题：精品资料欢迎下载1）写出该问题的矩阵形式的离散格式：Auf；（?（2）记1，证明Aij 1 i , j n·非负性ij0 ,for1,i jn0N1fori1n·有界性ij,j 1810、交通流问题可用如下的非线性双曲型方程来刻划u0tx其中(x, t )是汽车密度（每公里汽车的辆数） ，是速度。假定速度u

10、是密度u u( x,t)的函数：uumax 1max其中 umax 是最大速度，0max 。 f ()uumax 1max用如下的 Roe 格式n 1nii其中tF n1F n1xi2i2F n11f ( i ) f ( i 1)1a1( i 1i )i222i2a1u (1ii 1 )imaxmax2求解下列绿灯亮了问题：此时初始条件为(0)L , x00,x0一些参数如下： max 1, L0.8,umax 1, x4 , t0.8 x 。400umax（ 1） 给出 t 2 时问题的解；（ 2） Roe 格式满足熵条件吗？为什么？11、考虑 1D 常微分方程两点边值问题精品资料欢迎下载uxxu1,xu(0)u(1)0其中(0,1) ，定义空间和泛函X H01( )v H 1( ) v0a(u,v)uvdAuvdAl ( v)vdA若 u C 2 () ，且 u 是上述 1D 常微分方程两点边值问题的解，（1）证明 u 为 J (w) 在空间 X 上的极小值点，其中J ( w)1l ( w)a( w, w)（2）证明 u 满足弱