三角函数恒等变换练习题及答案详解

1、学习必备欢迎下载两角和与差的正弦、余弦、正切1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用 ( 正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键知识点回顾1 两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos( ) cos cos sin sin (C)cos( ) cos_cos_ sin_sin_ (C )sin( ) sin_cos_ cos_sin_ (S)sin( ) sin_cos_ cos_sin_ (S)tan tan (T tan(

2、 ) 1 tan tan )tan tan (T tan( ) 1 tan tan 2 二倍角公式sin 2 2 sincos；cos 2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2；2tan tan 22.1 tan 3 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、 逆用和变形用等 如 T±可变形为tan ±tan tan(±)(1?tan_tan_)，tan tan tan tan 1.tan tan 1 tan tan 4 函数 f() acos bsin (a，b 为常数 )，可以化为 f()a2 b2sin( )或 f()

3、a2b2cos( )，其中 可由 a， b 的值唯一确定难点正本疑点清源 三角变换中的 “ 三变 ”(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑 ”(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“ 切化弦 ” 、“ 升幂与降幂 ” 等(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“ 常值代换 ” 、 “ 逆用变用公式 ” 、 “ 通分约分 ”、 “ 分解与组合 ”、 “ 配方与平方 ”等热身训练2， sin()1tan 1 已知 sin( )3，则的值为 _5tan 学习必备欢迎下载2 函数 f(x) 2sin

4、 x(sin x cos x)的单调增区间为_ 3 (2012江·苏 )设 为锐角，若 cos64，则 54 (2012江·西 )若sin cos 1() ，则 tan 2等于sin cos 23344A4B.4C 3D.35 (20111等于()辽·宁 )设 sin( ) ，则 sin 2437117A9B 9C.9D. 9典例分析题型一三角函数式的化简、求值问题例 1 (1) 化简：1 tan·1 tan ·tantan2；22(2)求值： 2sin50 °sin 10 (1° 3tan 10 )°·

5、2sin280°.A tanC3tanAC的值在 ABC 中，已知三个内角A， B， C 成等差数列，则tan 222tan2为 _题型二三角函数的给角求值与给值求角问题例 21， sin2，求 cos( )的值；(1) 已知 0<< <<，且 cos22293(2)已知 ， (0，)，且 tan( ) 1， tan 1，求 2 的值27学习必备欢迎下载1，cos( )13，且 0<已知 cos 14<<，求 .72题型三三角变换的简单应用例3已知f(x)11sin2x 2sinx·sinxtan x44(1)若 tan 2，求 f

6、()的值；(2)若 x 12，2 ，求 f(x)的取值范围学习必备欢迎下载已知函数 f(x)3sin 2x2x(x R) 2sin126(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求使函数 f(x)取得最大值时x 的集合利用三角变换研究三角函数的性质典例： (12 分 )(2011 ·北京 )已知函数 f( x) 4cos x·sin x 1.6(1)求 f(x)的最小正周期；(2)求 f(x)在区间,上的最大值和最小值64学习必备欢迎下载总结方法与技巧1 巧用公式变形：和差角公式变形：tan x±tan y tan(x±y) ·(1?tan x

7、tan y)；倍角公式变形：降幂公式21 cos 221 cos 2cos， sin；222,22配方变形： 1±sin sin±cos1 cos 2cos， 1cos 2sin.22222 利用辅助角公式求最值、单调区间、周期由y asin bcos a2 b2sin( )( 其中 tan b)有a22a b |y|.3 重视三角函数的 “ 三变 ” ：“ 三变 ” 是指 “ 变角、变名、变式 ” ；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、

8、函数名、所求 (或所证明 )问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形4 已知和角函数值， 求单角或和角的三角函数值的技巧： 把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化5 熟悉三角公式的整体结构，灵活变换本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征， 要体会公式间的联系， 掌握常见的公式变形， 倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形失误与防范1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的

9、灵活运用，要注意 “ 1” 的各种变通22在 (0， )范围内， sin( ) 2 所对应的角 不是唯一的3在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值学习必备欢迎下载过手训练(时间： 25 分钟，满分：43 分 )一、选择题 (每小题5 分，共15 分)1 (2012 山·东 )若 4,， sin 2 37，则 sin 等于()283473A. 5B.5C. 4D. 42， tan41，那么 tan2 已知 tan( ) 544等于()13B.133D.1A. 1822C.2263 当() x 时，函数 f(x) sin x 3cos x 的22A 最大值是1，最小值是11B 最大值是

10、1，最小值是2C最大值是2，最小值是2D 最大值是2，最小值是1二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分)4 已知锐角满足 cos 2 cos，则 sin 2 _.45 已知 cos 12， 4130,，则cos 2 _.4sin 46 设 x 0,，则函数y 2sin2 x 1的最小值为 _2sin 2x三、解答题7 (13 分 )(2012 广·东 )已知函数 f(x) 2cos x(其中 >0， xR )的最小正周期为 10.6(1)求 的值；(2)设 ， 0， f 5 56， f 5516，求 cos( )的值235617课后习题(时间： 35 分钟，满分：57 分

11、)一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分 )学习必备欢迎下载1 4，则 sin 2等于()1 (2012 江·西 )若 tan tan 1111A. 5B. 4C.3D.232 (2012 大·纲全国 )已知 为第二象限角， sin cos 3 ，则 cos 2等于()5555A 3B 9C. 9D. 33 已知 ， 都是锐角，若5， sin 10， 则 等于()sin 5103A. 4B. 4 3D 3C.和和44444 (2011 福·建 )若 0,，且 sin2 cos 21，则 tan 的值等于()2423A. 2B. 3C. 2D. 3二、填空题 (每小题 5 分，共 15 分)5 cos275° cos215° cos 75 cos° 15 的°值为 _3tan 12 °3 _.6. 4cos212° 2