直觉数学思维的重要形式

1、直觉:数学思维的重要形式摘 要数学直觉思维具有简约性、创造性、直接性、整体性、或然性、不可解释性等重要特征.数学直觉思维的发生的机制中最基本的因素:一是主体的头脑中必须建构有相应的数学直觉认识结构;二是要有反映该直觉认识结构一定特征的有限数学信息;三是要有适宜于促进结构被激活的环境条件.数学直觉思维的诱发主要包括扎实的数学知识基础,创造性思维,研究数学问题的本质,以及解体后的反思.关键词直觉 数学思维 心理机制 思维形式所谓直觉是指人脑对于数学对于感知中隐含的整体性、次序性、和谐性的某种迅速而直接的洞察和领悟.其基本形式是直觉的灵感与顿悟.在数学世界里直觉以其高度省略、简化、浓缩的方式洞察数学

2、问题的实质,因而它对培养学生思维能力、提高数学素养极其可贵.正如伊恩斯图加特所说,“直觉是真正的数学家赖以生存的东西.”数学直觉思维运用得当,对激活学生的学习兴趣,增强学生的自信心,提高学生在课堂教学中的参与意识,将起到很好的促进作用.一、数学直觉思维的基本特征直觉(intuition)思维是指人脑基于有限的事实和根据,调动一切已有知识经验,对客观事物的本质及其规律性联系做出迅速的识别,敏锐的洞察,直接的理解和整体的判断的思维过程.直觉的拉丁文为(intueri),原意为聚精会神地看.直觉作为一种特殊的心理现象,作为一种人脑的机能和特殊的认识过程,延伸并贯穿在人类创造活动的所有领域.非逻辑性是

3、数学直觉思维的基本特征,同时数学直觉思维还具有简约性、创造性、直接性、整体性、或然性、不可解释性等重要特征.(一)简约性直觉思维章世藻.数学方法论简明教程.南京:南京大学出版社,2006.85-86是对思维对象从整体上考察,调动自己的全部知识经验,通过丰富的想象做出的敏锐而迅速的假设,猜想或判断,它省去了一步一步分析推理的中间环节,而采取了“跳跃式”的形式.它是一瞬间的思维火花,是长期积累上的一种升华,是思维者的灵感和顿悟,是思维过程的高度简化,但是它却清晰的触及到事物的“本质”.(二)创造性直觉思维是基于研究对象整体上的把握,不专意于细节的推敲,是思维的大手笔.正是由于思维的无意识性,它的想

4、象才是丰富的,发散的,使人的认知结构向外无限扩展,因而具有反常规律的独创性.伊恩·斯图加特说:“直觉是真正的数学家赖以生存的东西”,许多重大的发现都是基于直觉.欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉,从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦;哈密顿在散步的路上萌发了四元素的概念;阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法等,无不体现出直觉思维在各自领域的创造性特征.(三)直接性 数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动,这种思维活动表现为对认识对象的直接领悟或洞察,这是数学直觉思维的本质特征.由于数学直觉思维的直接性,使它在时间上表现为快速性,即数学直觉思维有时是在一刹那时间

5、内完成的;由于数学直觉思维的直接性,使它在过程上表现为跳跃性(或间断性),直觉思维并不按常规的逻辑规则前进,而是跳过若干中间步骤或放过个别细节而从整体上直接把握研究对象的本质和联系.(四)整体性 是指数学直觉思维的结果是关于对象的整体性认识,尽管这并非是一幅毫无遗漏的“图画”,它的某些细节甚至可能是模糊的,但是,它却清楚地表明了事物的本质或问题的关键.(五)或然性 数学直觉思维是一种跳跃式的思维,是在逻辑依据不充分的前提下做出的结论,具有猜测性.正因为如此,任何通过直觉思维“俘获来的战利品”就需要经过严格的逻辑验证.采用直觉思维的目的在于迅速找到事物的本质或内在联系,提出猜想,而不在于论证这个

6、猜想.(六)不可解释性 数学直觉思维在客观上往往给人以不可解释之感.由于直觉思维是在一刹那间完成的,略去了许多中间环节,思维者对其过程没有清晰的意识,所以要想对它的过程进行分析、研究和追忆,往往是十分困难的,这又使直觉思维给人一种“神秘感”例如,高斯曾经花几年的时间证明一个算术定理,最终获得了解决.对此他回忆说:“我突然证出来了,但这简直不是我自己努力的结果,而是由于上帝的恩赐如同闪电那样突然出现在我脑海之中,疑团一下子被解开了,连我自己也无法说清在先前已经了解的东西与使我获得成功的东西之间是怎样联系起来的”.然而,直觉不是靠“机遇”,直觉的获得虽然具有偶然性,但绝不是无缘无故的凭空臆想,而是

7、以扎实的知识为基础.若没有深厚的功底,是不会迸发出思维的火花的.二、数学直觉思维的形成机制数学直觉思维罗新建.数学直觉思维的分类和形成机制.成都师专报·理科报,1997(1).24-26虽然给人一种“知其然,不知其所以然”、“只可意会,难以言传”的感觉,但是,它并不是一种神秘而不可捉摸的主观幻象.作为一种普遍的数学心理现象和人类基本的数学思维方式,必须有其产生形成的心理机制和发生发展的客观规律.关于数学直觉形成产生的机制,学术界提出了许多假设,有法国数学家彭加勒(poincare)的在无意识作用下的知识组合美感选择的假设,有我国著名科学家钱学森教授的显意识与潜意识相互作用的假设,还有

8、全息元引发说假设、模糊机制说假设等等.这些假设从不同角度反映了数学直觉思维形成产生过程中的特点,具有积极意义.在学习研究这些假设的基础上,我们依据瑞士著名心理学家皮亚杰(piaget)创立的“发生认识论”,提出了一个新的假设,即数学直觉思维产生的心理机制是有限数学信息在某种适宜的环境条件下通过大脑激活主体建构的数学直觉认识结构的心理过程.(一)数学直觉认识结构形成和发展的心理机制在数学认知实践活动中,主体在原有知识和经验的基础上,通过思维得到了反映数学对象本质和内在联系的理性认识,并在以后的多次应用中得到发展和完善.同时,借助于人脑,这些理性认识按照主体的数学美感标准,结合主体的心理特点,经过

9、同化和顺应,经过显意识和潜意识的相互作用,不知不觉自然而然地就建构成相应的数学直觉认识结构.直觉认识结构具有相对的稳定性.但是,这种稳定是暂时的,结构的运动发展变化是绝对的,它随着数学认知实践的深人和主体各方面的发展而逐步深化完善.在结构发展完善的过程中,同化、顺应和平衡起着决定的作用.同化就是把外界因素纳入主体己有的数学直觉认识结构之中,以加强和丰富原有的结构,引起结构量的变化.顺应就是当出现与原有数学直觉认识结构不相符合的新因素时,主体的原有结构不能同化客体,这必然引起结构质的变化,促进主体改变原有结构或创立新结构以适应客体的变化通过同化和顺应,数学直觉认识结构与认识环境达到相对平衡,如果

10、一旦失去这种平衡,那就需要改变结构重建平衡.平衡即调节,它是数学直觉认识结构发展中最主要的因素.平衡-不平衡-平衡的连续动态发展过程,就是主体的数学直觉认识结构不断进化的基本过程.就是主体的数学认识活动日益深人的过程、知识经验日益丰富的过程、数学思维结构和审美心理结构日益发展的过程,显意识与潜意识相互作用的过程.由于不同主体所积累的数学知识经验不同,他们的生理和心理的发展水平有差异,对同一数学对象的认识有差异,所以.他们建构的数学直觉认识结构也各具特色,有不同的水平.例1 证明: 学生甲直觉判断可用拉格朗日微分中值定理求证.证法 (在0与之间).又,.显然的直觉认识结构水平较高.一般地,如果主

11、体的数学知识经验越丰富,人脑发育越成熟(特别是右脑),各种心理能力发展得越好,那么他所建构的数学直觉认识结构的水平就越高.(二)数学直觉思维发生的心理机制从认识论的角度吕汉东.直觉思维新探,台州学院学报,2003,25(2).10-12来考察,直觉是个体对现实的反映.不过这种反映是对主、客体的整体的、相互的反映,而绝不是猴子照镜子式的机械唯物论的反映.直觉是主客体相互作用、结合的产物.在皮亚杰看来,认识的发生既不是传统的经验主义所设想的那样,所有的认识信息都来源于客体,也不像经验主义所假定的那样,主体一开始就有某种内在的生成结构,并把这些结构强加于客体,正如他所指出的:“心理发生该分析的初步结

12、果,似乎是与上述这些假定相矛盾的.一方面,认识既不是起因于一个有自我意识的主体,也不是起因于已形式的(从主体的角度来看),会把自己的烙印在主体之上的客体,认识起因于主客体之间的相互作用,这些作用发生在主体和客体之间的中途,因而既包含主体又包含客体.”皮亚杰的这段话是对直觉发生过程的很好说明.直觉既不是主体同时也不是客体单一方面的产物,而是主体与客体通过感受器输人大脑的客体信息与主体对应相似的信息块相互吸引、共鸣的结果.也就是说,主体一方面要接受客体的信息,另一方面又要从客体出发评价主客体对应相似的信息相互作用“共鸣”的成果,做出判断.前者构成了客体与主体之间的“共鸣”式的特殊认识关系,后者则构

13、成了主体与客体之间的评价关系:前者表现为“客体一主体”的以主体的经验性信息块为基础的两种相似信息的共鸣;后者表现为“主体一客体”的对“共鸣”成果的评价判断.这就是从认识论的角度对直觉发生过程的揭示.数学认识过程中,如果数学对象的有限信息反映了相应数学直觉认识结构的一定特征那么在某种适宜的环境条件下,就能借助大脑直接激活该数学直觉认识结构,产生对数学对象本质的洞察和领悟.可见激活数学直觉认识结构是数学直觉思维发生的关键,一般地,容量大、内涵丰富、概括性极强、反映数学对象本质非常深刻的高水平的数学直觉认知结构,或者是己被多次激活过、处于活跃期的数学直觉认识结构容易被激活;反映直觉人事结构的特点鲜明

14、,丰富的有限数学信息激活相应直觉认识结构;适宜的环境条件容易促成直觉认识结构被激活.直接领悟式数学直觉思维产生的前提是主体已经建构有相应直觉认识结构,而且该结构处于活跃期,因此,只要主体注意力集中,精力高度投人,有限数学信息就容易激活该结构.而灵感顿悟式数学直觉思维的产生则有所不同.在数学认识过程中,主体不能产生直接领悟式数学直觉思维的客观原因主要有两个,一是主体没有建构成相应的直觉认识结构,二是主体建构的直觉认识结构刚刚产生或产生不久、还没有被激活过或被激活过的次数甚少,结构还处于沉寂期,不易被激活.对于第一种情况,首先必须建构相应的数学直觉认识结构,转化为第二种情况,这实际上就是数学创造发

15、明的第一个阶段,即著名心理学家沃勒斯提出的创造思维过程中的准备阶段.在这个阶段里,主体要尽量搜集研究与数学问题有关的资料,拼命工作,全身心地投人,经过长期艰苦的探索,也许能建构相应的数学直觉认识结构(也可能条件的局限不能建构),由于建构的过程是潜意识对各种信息的整合过程,因此建构的直觉认识结构处于潜意识中,不能自动激活.当主体处于舒适、和谐的人文自然环境和宽松、愉悦的心理环境中,或者处于睡梦之中时,摆脱了逻辑思维和收敛思维的限制,显意识得到抑制,潜意识必然活跃,发散思维也极易展开.因而,建构的数学直觉认知结构往往容易被一些偶然的有一定联系的因素所触动而被激活,产生灵感顿悟式数学直觉思维.总之,

16、数学直觉思维发生的机制中最基本的因素,一是主体的头脑中必须建构有相应的数学直觉认识结构,二是要有反映该直觉认识结构一定特征的有限数学信息,三是要有适宜于促进结构被激活的环境条件.三、数学直觉思维的诱发数学在其发生,发展的过程中存在着大量的直觉思维.数学直觉思维是解决数学问题的有力工具.直觉思维这种不受特定模式约束的数学思维方式对于数学的发展起到了极大的推动作用.数学直觉思维的跳跃性,整体性,猜测性和启迪性,使其具有其独特的认知功能.一旦你真正感到弄懂了某一数学问题,而且你通过大量例子以及通过与其他数学知识的联系取得了处理那个问题的足够多的经验,对此你就产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什

17、么结论应该是正确的数学直觉. (一)扎实的数学知识基础是诱发数学直觉思维的源泉数学直觉郭道胜.让学生进入思考的世界.济南:山东人民教育出版社,2006.102-103不是靠“机遇”,数学直觉的获得虽然具有偶然性,但绝不是无缘无故的凭空猜想.总是以熟悉,扎实的数学知识及结构为基础的,若没有深厚的功底,是不会进发出数学直觉思维的火花的.比如在数学学习中,必须具有并了解数学基础知识,了解数学知识基本结构和研究方法.所谓数学的基本结构,就是指数学概念,数学原理,数学方法,以及他们之间的逻辑联系和理论框架,这是学生记忆,应用知识,从而达到举一反三,触类旁通的有力杠杆,也是发现问题,增加兴趣,探索发明的重

18、要基础.因为数学的基本结构,是人类智慧活动的结晶,学生掌握了具有一定深度与广度的数学知识及其联系之后,才能使思维活动具有丰富的数学内容,才有可能从错综复杂的现象中直接而迅速地“一眼看穿”数学问题的本质和联系,才能避免无根据地想入非非和胡思乱想.在扎实的知识基础上,我们在实践过程中也有很多的因素能够诱发直觉.(二)创造性思维是数学直觉思维诱发的前提在学习中通过构造数学模型可以把抽象的概念具体化,深奥的道理形象化,枯燥的知识趣味化,这样能使被研究的现象及其过程在脑海中形成图像,构成数学模型,进而产生数学直觉猜想,激发数学直觉思维.在解题过程中,学生联想并构造出所学过的数学模型,这种方法能创造性的解

19、决一些数学问题,体现直觉思维的创造性.例2王琴,熊惠民.谈数学直觉思维及其在数学教学中的作用.高等函授学报,2006,19(6).20-21 在三棱锥中,互相垂直,若为内一点,且,求的余弦值.分析 本题若直接按常规思路解答求cboap图一出的值很困难,因此如此如能凭借直观形式,联想学过的长方体模型及性质,可以这样构想,先将此三棱锥补成以为对角线的长方体,再由长方待添加的隐藏文字内容3体的性质可得,解之得本题通过构造长方形模型,凭借直觉思维使创造性思维得以发展.应用,这种构思不仅解决了问题,也使思维的创新性在解题中得到了具体体现. (三)研究数学问题的本质是诱发数学直觉思维的基础由于直觉思维的模糊性,相似性以及在解题中问题的特征形式可以帮助我们从整体上感觉事物内部的某种联系.在数学教学中,引导学生从复杂的问题中寻找内在联系,特别是发现隐蔽的联系,从而把各种信息做综合考察并做出直觉想象和判断,这是激发直觉思维的重要途径.注重对知识内在联系与规律进行揭示,使其对问题实质能准确把握,这一点能够诱发直觉思维. 例3 正数满足求的值.分析 由于方程组中的三个方程都是的形式,这是我们直觉想起与