专题训练全等三角形与角平分线

1、第一讲全等三角形与角平分线中考要求板块考试要求a级要求b级要求c级要求全等三角形会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题知识点睛全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角全等多边形的对应边、对应角分别相等如下图，两个全等的五边形，记作：五边形五边形这里符号“”表示全等，读作“全等于”全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形全等三角形的对应边相等，对应角分别相等

2、；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角全等符号为“”全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(sas)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(asa)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3) 边边边定理(sss)：三边对应相等的两个三角形全等(4) 角角边定理(aas)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5) 斜边、直角边定理(hl)：斜边和一条直角边

3、对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键全等三角形的应用：运用三角

4、形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3 ，这种对称的图形应用得也较为普遍， 重、难点重点：本节的重点是全等三角形的概念和性

5、质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，hl的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化例题精讲板块一、全等三角形的认识与性质【例1】 判定两个三角形全等的方法是： ； ； ； ； ； 全等三角形的性质是对应边、对应角、周长、面积都分别 两个三角形具备下列( )条件，则它们一定全等a两边和其

6、中一边的对角对应相等b三个角对应相等且面积相等c两角和一组对应边相等d两边及面积对应相等 下列命题错误的是( ) a面积相同的两个三角形必然是一对全等三角形b某一三角形经过任意平移所产生的三角形与原三角形全等c两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等d有两角和一条边对应相等的两个三角形全等【解析】 定义，；相等b；a【巩固】 考查下列命题：有两边及一角对应相等的两个三角形全等；两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等其中正确命题的个

7、数有_个已知中，作与只有一条公共边，且与全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个如图，在中，垂足为分别是上的点，且如果，那么_如图，已知中，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为，之间的距离为，则的长是_ 【解析】 ，注：正确的是； ； ； 【例2】 如图，已知，点a、d、b、f在一条直线上，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）并且写出证明过程。【解析】 ,都可以，证明过程略【巩固】 如图，已知点在线段上，请在下列四个等式中，选出两个作为条件，推出并予以证明（写出一种即可）已知： ， 求证：【解析】 已知：（或、或）【解析】 若选在和中（选择、或评分标准类似，证明略）ceb

8、fda【巩固】 如图，在和中，与交于点 求证：； 求证：【解析】 由可以证明(边边边) 由可知，从而,又由 故,从而有。全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(sas)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(asa)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(3) 边边边定理(sss)：三边对应相等的两个三角形全等(4) 角角边定理(aas)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(5) 斜边、直角边定理(hl)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会

9、添加辅助线奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础判定三角形全等的基本思路：全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： 平移全等型 对称全等型 旋转全等型 由全等可得到的相关定理： 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 线段垂直平分线上的

10、点和这条线段两个端点的距离相等 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【例3】 如图，是线段的中点，平分，平分， 求证：； 若，求的度数【解析】 由是线段的中点，平分，平分，可知： ,，即证（边角边） 由上问知：故从而【巩固】 如图，分别过点作的边上的中线及其延长线的垂线，垂足分别为求证：【解析】 观察图形，注意到为的中点，考虑证明， cead于e，bfad于f，ced =bfd =90° 又ad是bc边上的中线，又，故 【巩固】 如图所示，已知，求证：【解析】 连接，根据易得，进而得根据易得，进而得【巩固】 如图，和中，点e在bc边上， 求证：； 如果，将绕着点旋

11、转一个锐角后与重合，求这个旋转角的大小.【解析】 ， ，与是一组对应边，为旋转角， 【巩固】 在正方形中，为对角线，为上一点，连接 求证：； 延长交于，当时，求的度数【解析】 四边形是正方形又，。 ， ， 【例4】 已知：如图1，中，点在斜边上，且 求证：线段总能构成一个直角三角形； 已知：如图2，等边三角形中，点在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数； 在的条件下，如果，求的值 【解析】 如图1，以为一边作，在上截取，则，连接，则，是直角三角形又，线段总能构成一个直角三角形 当时，线段能构成一个等腰三角形如图2，与类似，以为一边，作，在上截取

12、，可得， 若使为等腰三角形，只需，即当时，线段能构成一个等腰三角形，且顶角为 如图1，又，又，中，由，得，板块二、与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3 ，这种对称的图形应用得也较为普遍， 【例5】 在中，分别平分,且相交于，（1）求证：点在的平分线上，（2）写出与之间的数量关系，并证明【解析】 角平分线上的点到角的两边的距离相等；故点

13、到的距离等于到的距离，而到 的距离等于到的距离，从而到的距离等于到的距离。故为角平分线过分别作垂直于,，所以,从而,因此,，可证全等。【例6】 如图，在中，平分交于，于交于，交于，连接求证： 【解析】 先证，再证【例7】 如图 在三角形中  ,是的角平分线,;  求证：【解析】 由得,又是的角平分线，故,从而得【例8】 如图，在中，是的平分线，交的延长线于点。求证：。【解析】 延长交于点,那么由角平分线的性质可知有,所以，而由，可知，可以证明，即得.【例9】 如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交 于点，若，求证：为的角平分线【解析】 延长到点，使，连结在和中，而

14、又，为的角平分线【例10】 如图，在的两边上分别取, 和相交于点。求证：点在的平分线上。【解析】 由，且共可知，,故,又,所以,从而，有,且,共边，所以即有,从而得证平分，即点在的平分线上。【例11】 如图，在中，的平分线交与求证：【解析】 方法一：在上取一点，使得连结在和中，又，方法二：在的延长线上取一点使得，连结在和中，又，方法三：延长到点使得，连结则有又，又， 方法四：如图，作平分交、于、点延长到，使，连结，又即且，同理，【例12】 如图，平分，平分，点在上 探讨线段、和之间的等量关系 探讨线段与之间的位置关系【解析】 ； 在线段上取点，使，连结在和中，而在和中，【例13】 在，是的平分

15、线，过作的垂线交直线于点若，试求和的度数【解析】 由于点在直线上，因而应分两种情况讨论计算：如图所示，过作的垂线交的延长线于点，延长到，使由题设平分知，注意到公用，则由角边角公理得，于是有又由知，从而在中，因此，如图所示，过作的垂线交的延长线于点，延长到，使由题设平分知，注意到公用，则，即有且又由知，从而于是在中，即有，即，家庭作业1 （2008年北京）是和的平分线，求证：【解析】 是和的角平分线，在和中(sas)，2 如图，已知是上的一点，又，求证：【解析】 ，3 在中，的平分线交于，过作，为垂足，求证： 【解析】 延长交的延长线于，过作交于，容易证得，且为之中点，故易得4 已知等腰，的平分线交于，则【解析】 解法一：如图，在上截取，连接，过作，交于，于是，又，故显然是等腰梯形，又，解法二：如图，延长到，使，在上截取，为公共边，故，故，故，解法三：如图，延长到，使延长到，使连接、，公共，又，而又公共，5 如图，已知在中，求证：【解析】 延长交于，又，6 在直角三角形中，的平分线交于自作交于，交于自作于，求证：【解析】 解法一：如图，4点共圆，又，故解法二：如图，连接是的平分线，四边形是菱形解法三：如图，公共，是的中垂线，故解法