二阶电路课件

1、二阶电路1第七章第七章 二阶电路（二阶电路（158）1、定义： 包含一个电容和一个电感，或两个电容，或两个电感的动态电路称为二阶电路。 本章着重分析含一个电感和一个电容的二阶电路。2、求解方式：建立电路微分方程，求解微分方程二阶电路2$7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应 一、一、rlc串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应 1、定义： 换路后电路如图，电路中无电源，电路响应为零输入响应。crluc+-il0)0(,)0()1(0lciuu0)0(,0)0()2(iiulc00)0(,)0()3(iiuulc2、l、c有以下三种初始状态情况：二阶电路3二阶齐次微分方程二阶齐次微分

2、方程0 0u uc cd dt td du uc cr rc cd dt tu uc cd dl lc c2 22 23、求解、求解rlc串联零输入响应：串联零输入响应：1)建立关于建立关于uc的微分方程的微分方程crluc+-il由kvl，有0clludtidlirdtduciiccl，得微分方程：二阶电路42）根据微分方程经典法解方程）根据微分方程经典法解方程带带入入方方程程a ae e设设u uc c通通解解：u uc cp pt t显然，显然，p仅与仅与r，l，c参数有关，参数有关，p为不同值时，为不同值时，rlc串联电路有不同响应串联电路有不同响应0 0u uc cd dt td d

3、u uc cr rc cd dt tu uc cd dl lc c2 22 2l lc c1 1) )2 2l lr r( (2 2l lr r解解得得特特征征根根：p p2 21 1, ,2 20 01 1r rc cp p得得特特征征方方程程：l lc cp p2 2二阶电路5 c cl l2 2即即r r0 0, ,l lc c1 1) )2 2l lr r条条件件：( ( 情情况况1 1：过过阻阻尼尼情情况况2 2u uo ou uc c( (0 0- -) )）初初始始条条件件一一：u uc c（0 0：、a a根根据据初初始始条条件件求求a a2 21 12 21 1p p负负实实

4、根根p p特特征征根根为为两两个个不不相相等等的的 、（1 1） e ea ae ea a设设通通解解：u uc c( (t t) )t tp p2 2t tp p1 12 21 1u uo oa aa a0 0代代入入( (1 1) )得得：u uc c 2 21 1）（i io o）（0 0i i）（0 0i i 初初始始条条件件二二l ll l： d dt td du uc cc ci ii ic cl l又c c）（0（0i idtdtducducl l0 0二阶电路6d dt td di il l( (t t) )u u d dt td du uc cc c( (t t) )i i(

5、 (t t) )i i其其它它响响应应：l ll lc cl l c c) )( (0 0i ia ap pa ap pd dt td du uc c 二二：对对( (1 1) )求求导导代代入入条条件件l l2 22 21 11 10 0根据以上两式求得根据以上两式求得a1、a2从而得到从而得到uc（t）表达式）表达式二阶电路7过阻尼情况下，电路响应波形：过阻尼情况下，电路响应波形：若若uc（0）=u0，il（0）=0，响应波形如图，响应波形如图uciltmtu0uc（t）0，且从，且从uo慢慢趋于慢慢趋于0，整个过程电容释放能量整个过程电容释放能量非震荡放电过程非震荡放电过程 (过阻尼放电

6、）过阻尼放电）根据电感电流的曲线根据电感电流的曲线il可知：可知： ttm时，时， 电感放电电感放电,释放能量释放能量2 21 11 12 2m mm mp pp p) )/p/pln(pln(pt t 0 0dtdtdidi：t t ，得：令二阶电路8c cl l2 2r r 即即 情情况况2 2：阻阻尼尼情情况况欠2 22 22 21 1) )2 2l lr r( (l lc c1 1j j2 2l lr rp p ) )2 2l lr r( (l lc c1 1j j2 2l lr rp p 复复根根则则特特征征方方程程是是一一对对共共轭轭 t tp p2 2t tp p1 12 21

7、1e ea ae ea au uc c 设设通通解解进一步讨论进一步讨论二阶电路9a ac co os sa as si in nc c）（0 0i id dt td du uc c： 初初始始条条件件二二 a as si in n）初初始始条条件件一一：u uc c（0 0根根据据初初始始条条件件求求a a、l l0 0）s si in n（t ta ae e）e ea ae e（a ae e e ea ae ea au uc c 代代入入u uc c通通解解，则则：、p p将将p p t t- -j jt t2 2j jt t1 1t tj j）t t（2 2j j）t t（1 12 21

8、 1 j jp p j j则则特特征征方方程程根根：p p2 2l lr rl lc c1 1 2 2l lr r令令 2 21 12 2二阶电路10ucilu0td震荡放电过程震荡放电过程(欠阻尼）欠阻尼）欠阻尼情况下uc、il的波形示意如下：二阶电路11p p2 2l lr rp p 则则特特征征方方程程有有重重根根：p p c cl l2 2即即r r 情情况况3 3：临临界界阻阻尼尼情情况况2 21 1ptpt2 21 1t）et）ea a（a（a设通解：uc设通解：uc c c）（0 0i ip pa aa ad dt td du uc ca a）u uc c（0 0 ：、a a根根

9、据据初初始始条条件件求求a al l1 12 20 01 12 21 1分析可知，分析可知， uc 、il 波形图与过阻尼情况类似。波形图与过阻尼情况类似。临界非震荡过程临界非震荡过程 （临界阻尼）（临界阻尼）, r为临界电阻为临界电阻二阶电路12情况4：零阻尼情况 即r=0（欠阻尼特例）利用欠阻尼情况的分析结果得：)0()cos()(00ttutuc零阻尼情况下，电路响应为等幅振荡的正弦函数， 0称为无阻尼振荡角频率。电场和磁场不断进行着完全的能量交换，但总能量并不减少，任一时刻的电路总能量都等于电路的初始储能。二阶电路131）根据）根据kcl、kvl、vcr写出二阶微分方程写出二阶微分方程

10、2）求方程特征根）求方程特征根p1p2，由此，由此 确定方程通解确定方程通解（三种）3）由）由uc(0+），），il(0+)确定电路方程初始条件确定电路方程初始条件:总结：总结：用经典法分析二阶电路另输入响应的步骤为：用经典法分析二阶电路另输入响应的步骤为：4）由初始条件确定）由初始条件确定a1、 a2 、或、或a、待定常数，待定常数，得出确定的解得出确定的解0 0t tdtdtducduc) )uc(0uc(00 0t tl ll ldtdtdidi) )(0(0i i二阶电路14二、举例：二、举例：0 0r r0 0l l0 0l ldtdtdidi， dtdtdidi， dtdtducd

11、uc),),(0(0i i),),uc(0uc(00时，s打开，求0时，s打开，求0时已达稳态，t0时已达稳态，t1电路在t1电路在t练习题7练习题7ic6+ 12v-+ ul -s6+ uc-0.1hiril2a2a3 36/66/61212）（0（0i i 6v6v3 36/66/612123 3）uc（0uc（0 0时，0时，1）t1）tl l32 2a a）（0 0i i）（0 0i i 6 6v v）u uc c（0 0）u uc c（0 0 0 0时时，2 2）t tl ll lf f24241 13)t=0+时，等效电路如图：时，等效电路如图：二阶电路154 4d dt td d

12、u uc c6 61 16 6u uc c）1 12 2（d dt td dd dt td di i0 00 00 0r ric6+ 12v-+ 6v-ir32a+ ul -1 1a a6 66 61 12 2）（0 0i i r r2424dtdtducduc）（0（0i i) )(0(0i idtdtducducc c0 0l lr r0 0cic1)0(0 0l l6 66 6dtdtdidi) )(0(0i i3 3) )uc(0uc(0dtdtdidil l) )(0(0u u0 0l ll l0 0l ll l二阶电路16例例7-1 如图：如图：us=10v，c=1uf，r=4k，

13、l=1h，当当t=0时，时，s由由1打向打向2， 求：求：1）uc、ur、i 和和ul，2）imaxric+ us-+ul -+ ur -s（t=0）+uc-12l）( (0 0i i0 0）( (0 0i i ) )u uc c( (0 01 10 0v v) )u uc c( (0 0) )u uc c( (0 0）( (0 01 1) )求求l l、c c初初始始值值i il ll l- -l l、 0 0u uc cd dt td du uc cr rc cd dt tu uc cd dl lc c 2 2) )列列电电路路微微分分方方程程2 22 2 0 01 1r rc cp pl

14、 lc cp p 3 3）求求响响应应：2 2过过阻阻尼尼放放电电过过程程 3 37 73 32 2p p 2 26 68 8p p l lc c1 12 2l lr r2 2l lr rp p2 21 12 21 1, ,2 2二阶电路17- -3 37 73 32 2t t2 2- -2 26 68 8t t1 1t tp p2 2t tp p1 1e ea ae ea ae ea ae ea au uc c 2 21 10 0d dt td du uc cd dt td du uc c- -c ci ic c0 0又又i i( (0 0) )i i条条件件2 2 1 10 0v v) )

15、u uc c( (0 0条条件件1 1 、a aa a 4 4）由由初初始始条条件件求求0 0l ll l2 21 1：i im ma ax x 得得 ，代代入入i i求求t t6 6 d dt td di il lu ui ir r u u d dt td du uc cc ci i5 5 m ml lr r）) )v v0 0. .7 77 7e e( (1 10 0. .7 77 7e eu uc c 0 0. .7 77 7a a 1 10 0. .7 77 7解解得得：a a 3 37 73 32 2t t2 26 68 8t t2 21 11 10 0v va aa a) )u u

16、c c( (0 02 21 10 03 37 73 32 2a a- -2 26 68 8a ad dt td du uc c 2 21 10 0二阶电路18例2：电路如图所示，fchlr41,1,4 0, ttil ,20ail试求零输入响应 ,40,vuccrluc+-il2）求出两个特征根：slclrlrp1212222, 1电路呈临界阻尼形式，设 tcetkktu221 0 0u uc cd dt td du uc cr rc cd dt tu uc cd dl lc c 1 1) )列列电电路路微微分分方方程程2 22 2二阶电路19根据初始条件求系数：80224012101cikk

17、dtduckucl）（：初始条件）（：初始条件求出162k 0822taetdtducctitl tcettu2164则二阶电路20例例3 已知：已知： c=1f l=1h r=1 uc(0)=1v il(0)=1a 求：求： uc(t) ， il(t)rc+uc-l+ ul -+ ur - 0 0u uc cd dt td du uc cr rc cd dt tu uc cd dl lc c2 22 2略略）0 0. .8 86 66 6a ac co os s0 0. .5 5a as si in n1 1c c）（0 0i id dt td du uc c1 1a as si in nu

18、 uc c（0 0）l l0 0（欠欠阻阻尼尼放放电电过过程程j j0 0. .8 86 66 60 0. .5 5p p 0 01 1p pp p 1 1，2 22 2) )sin(0.866tsin(0.866taeaeuc(t)uc(t)0.5t0.5t二阶电路21以上例子为以上例子为rlc串联串联,注意并联的情况注意并联的情况:0 0i id dt td di ir rl ld dt ti id dl lc c 的的微微分分方方程程：( (1 1) )建建立立关关于于i il ll l2 2l l2 2l l0 01 1p pr rl ll lc cp p 通通解解：讨讨论论特特征征方

19、方程程解解并并写写出出2 22 2）（(4) 写出写出il(t) 表达式表达式rcl(练习练习7-4）求待定系数求待定系数l l) )uc(0uc(0dtdtdidi)、)、(0(0（3）由i（3）由i0 0l ll l二阶电路22例：图示电路，例：图示电路，t 0处于稳态，处于稳态，t=0时，时，s打开打开1）建立）建立s打开以后以打开以后以il （t）为变量的微分方程及所）为变量的微分方程及所需初始条件需初始条件2）为使）为使uc（t）不发生振荡，试确定）不发生振荡，试确定r的取值范围的取值范围5s+ 10v-rl 2hc 3fil+uc-0 0r ru ui id dt td du uc

20、 cc c ( (1 1) )微微分分方方程程：l ll l0 0i id dt td di ir rl ld dt ti id dc cl l l ll l2 2l l2 20 0l ll ld dt td di i) )、( (0 0i i ( (2 2) )初初始始条条件件：0 0l l) )u uc c( (0 0d dt td di i0 0) )u uc c( (0 0 2 2a a5 51 10 0) )( (0 0i i 0 0l ll l二阶电路23c cl l1 1) )2 2r rc c1 1( (2 2r rc c1 1p p0 0r rl lp pr rc cl lp

21、 p定定r r的的范范围围：( (3 3) )根根据据特特征征方方程程确确2 22 26 61 1r r 0 0clcl1 1) )2rc2rc1 1( ( 尼状态）尼状态）若电路不震荡（非欠阻若电路不震荡（非欠阻 2 2cl21则：二阶电路24习题：习题：7-1，7-2，7-42)2(4)(,28)(1278282raeedtductiveetuttccttc）（）（vtetuatettctl)50sin(200)()2()68.7850sin(02. 1)(i14710010）（二阶电路25$7-2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应（二阶电路的零状态响应和阶跃响应（166）一、定义一、定义（

22、166） ： uc（0）=0 il（0）=0二、电路分析：二、电路分析：gc+ uc-lis2 2l l2 2l ll lg gl ld dt ti id dc cl ld dt td du uc cc ci ic c d dt td di ig gl lg gu ug gu uc ci i 的的微微分分方方程程( (1 1) )关关于于i i线线性性非非齐齐次次方方程程 _ _ _两两阶阶i ii id dt td di ig gl ld dt ti id dc cl l s sl ll l2 2l l2 2二阶电路26i is s i i，c c开开路路，l l短短路路，有有即即：当当t

23、t 为为特特解解（稳稳态态解解） 其其中中，i i i i i i（2 2）方方程程解解：i il ll ll ll ll l：三三种种情情况况）的的值值确确定定通通解解表表达达式式（根根据据特特征征根根p p 0 0i id dt td di ig gl ld dt ti id d即即：c cl l 为为齐齐次次微微分分方方程程通通解解: : i i 1 1，2 2l ll l2 2l l2 2l l定定未未定定系系数数（4 4）根根据据初初始始条条件件确确将将两两分分量量叠叠加加 i i i i（3 3）根根据据i il ll ll l二阶电路27例例7-4已知已知uc(0-)=0，il(

24、0-)=0，g=2*10-3s c=1uf， l=1h,is=1a,t=0时时,s打开打开,求求il, uc和和ic （166）gc+ uc-ls i i i i解解：i i i ii id dt td di ig gl ld dt ti id dc cl l （1 1）l ll ll ls sl ll l2 2l l2 2 1 1a ai is s i i ( (2 2) )l l 0 01 1g gl lp pc cl lp p 0 0i id dt td di ig gl ld dt ti id dc cl l 求求i i ( (3 3) )2 2l ll l2 2l l2 2l lp

25、pt t2 21 1l l3 32 2, ,1 1- -3 32 2- -6 6t t) )e ea a( (a a i i ( (临临界界阻阻尼尼) )1 10 0p p 0 01 1p p1 10 02 2 p p1 10 0 二阶电路28t t1 10 02 21 1l ll ll l3 3t t) )e ea a( (a a1 1 i i i i( (4 4) )i i( (2 2) ) 0 0a aa a1 10 0d dt td di i2 21 13 30 0l l( (1 1) ) a a0 00 0i i ：、a a( (5 5) )由由初初始始条条件件求求a a1 1l l

26、2 21 11)（d dt td du uc ci i d dt td di il lu uc c c cc cl l0 0l l) )0 0u uc cd dt td di i u uc cd dt td di il lu u 0 0l ll ll l(又3 32 21 11 10 01 1、a aa a: :( (1 1) )( (2 2) )求求出出由at t1 10 03 3l l3 3t t) )e e1 10 0( (1 11 1（6 6）i i二阶电路29三、当三、当is为阶跃函数激励时，为阶跃函数激励时， 电路为阶跃响电路为阶跃响应，求解方法同上应，求解方法同上（零状态响应）（

27、零状态响应）四、若储能元件初始值不等于零，又有外四、若储能元件初始值不等于零，又有外加激励，电路为全响应加激励，电路为全响应 （零输入响应与零状态响应叠加）（零输入响应与零状态响应叠加）二阶电路30例：如图所示电路，fchl1,1若g=10s，求阶 til响应cuc+-isigicilgl解：电路方程如下 022ttitidttdigldttidlcslll其中 atis1二阶电路31令is（t）=0得齐次微分方程：当 g=10s时， 0 01 1glpglpclpclp 2 20 0i idtdtdidiglgldtdti id dclcl l ll l2 2l l2 262512552,

28、1p电路为过阻尼响应齐次方程通解：t tp p2 2t tp p1 12 21 1l le ek ke ek ki i ”二阶电路32方程特解 1li 000010221121lukpkpikkicll则方程解：1t tp p2 2t tp p1 1l l2 21 1e ek ke ek ki i 00, 00lciu根据：二阶电路33由此可得646256462512122121pppkpppk故得 teetittl6256256256256411二阶电路34练习练习7-12 如图如图,t=0时时,s1由由1打向打向2， ，s2由由2打向打向1，已知已知is1=1a，is2=5a，r=5，c=

29、0.1f,l=2h.求求t0时的时的il(t)c+ uc-lris1is2s2s1) )u uc c( (0 0 0 0) )u uc c( (0 0 ) )( (0 0i i1 1a ai is s1 1）（0 01 1) )l ll li) )s si in n( (2 2t ta ae e i i j j2 21 1l lc c1 1）2 2r rc c1 1（2 2r rc c1 1p p 0 01 1p pr rl ll lc cp p 4 4 t tl l2 22 2）i is s2 2i id dt td di ir rl ld dt ti id dl lc c 2 2）l ll

30、 l2 2l l2 25 5a ai is s2 2 i i i i i i3 3）i il ll ll ll l二阶电路35) )sin(2tsin(2taeae5 5i i 4）4）t tl l1 1a as si in n5 5）（0 0i i 5 5）由由初初始始条条件件求求a a、l l)a)a63.463.4sin(2tsin(2t4.47e4.47e5 5i i 4.474.47sinsin5 51 1a a 63.463.4tgtg o ot tl lo o1 10 0a ac co os sa as si in nl l）u uc c（0 0d dt td di iu uc

31、cd dt td di il lu u 0 0l ll ll l又二阶电路36$7-3 二阶电路的冲击响应二阶电路的冲击响应（168）一、定义：二阶电路，一、定义：二阶电路，lc零状态，冲击函数激励零状态，冲击函数激励二、电路分析二、电路分析( (t t) )u uc cd dt td du uc cr rc cd dt tu uc cd dc cl l 0 0）（0 0i i 0 0）- -u uc c（0 0 ( (1 1) )2 22 2l lrc+ uc-l+ (t)-il1) )u uc c( (0 0) )u uc c( (0 0r rc cd dt td du uc cd dt td du uc cl lc c方方程程两两边边积积分分：) )( (0 0i i) )u uc c( (0 0（2 2）0 00 0l l：、求0 0) )u uc c