2016届上海市杨浦区高考数学三模试卷(理科)(1)(解析版)综述

1、第 1页（共 18页） 2016年上海市杨浦区高考数学三模试卷（理科） 一. 填空题 1 .函数 y=log2 （ x+1）的反函数为 . 2. 若直线 li: 2x+my+1=0 与“：y=3x - 1 垂直，则实数 m= _ . 3. 若 2+i （i 虚数单位）是实系数一元二次方程 x2+px+q=0 的根，则 p+q= _ . 3 兀 sinx -1 4. 已知 si nx=，x （可，n）,则行列式 的值等于 _ . b 丄 1 secs 9 5. 已知 A=x| 1, B=x|log2 （x - 1）v 1，则 A QB= . 6. 已知 A 地位于东经 30北纬 45 B 地位于

2、西经 60北纬 45则 A、B 两地的球面距 离与地球半径的比值为 _ . 7. _ 在某次数学测验中，5 位学生的成绩如下：78、85、a、82、69,他们的平均成绩为 80, 则他们成绩的方差等于 . 9. 若（x+ I ） n （ n N*）展开式中各项系数的和等于 64,则展开式中 x3的系数 是 _ . Fl 10. 三阶矩阵 a22 a 23 中有 9 个不同的数 aij （i=1 , 2, 3； j=1 , 2, 3）,从中任取三 L 旦的 3 32 a33j 个，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 _ （结果用分数表示） 11. 若函数 y=cos （x+：）的图象向右平移

3、$个单位（$0）,所得到的图象关于 y 轴对 称，贝 y 的最小值为 _ . a _ b 12. - 若两整数 a、b除以同一个整数 m,所得余数相同，即 - =k （k Z）,则称 a、b 对 m 模 m 同余，用符号 a= b （mod m）表示，若 a= 10 （mod 6） （a 10）,满足条件的 a 由小到 大依次记为 a1, a2-an,，则数列轴的前 16 项和为 _ . &在极坐标系下，点（ 2,.）到直线 eos（e）=1 的距离为 b o 第 2页(共 18 页) |F1F2|2=|PF1| ?| PF2I , P 到坐标原点 O 的距离为 d,且 5 v dv

4、9,贝 V ?= _ . 14.如图，已知 AB 丄 AC, AB=3 , AC=，圆 A 是以 A 为圆心半径为 1 的圆，圆 B 是以 B 为圆心的圆.设点 P, Q 分别为圆 A，圆 B 上的动点，且 =,：则.?的取值范围 是 _ . 二. 选择题 15已知数列an的前 n项和 Sn=pn+q ( p丰0, qz 1),贝卩 q= - T 是 数列an是等比数列” 的( ) A 充要条件 B 必要不充分条件 C.充分不必要条件 D 既不充分也不必要条件 16.已知 Z1、Z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是( ) A | zi| =| 丨= B. 若|Z2|=2，则 Z2的取值集

5、合为 - 2, 2,- 2i, 2i (i 是虚数单位) 2 2 C. 若 Z1 +Z2 =0，贝 y Z1=0 或 Z2=0 D z二Z2 一定是实数 2 2 17椭圆 C: .的左、右顶点分别为AX也点p在 C 上且直线PA2斜率的取值 范围是-2,- 1，那么直线 PA1斜率的取值范围是( ) A 亍亍 B亍亍 C - D 匚 18.定义域为a, b的函数 y=f (x)图象的两个端点为 A (a, f (a), B (b, f (b), M (x, y)是 y=f (x)图象上任意一点，过点 M 作垂直于 x轴的直线 I交线段 AB 于点 N (点 M 与点 N 可以重合)，我们称|

6、的最大值为该函数的 曲径”，下列定义域为1, 2上的函 数中，曲径最小的是( ) 2 2 1 兀 A y=x B y= C . y=x - 一 D . y=sin x K X 3 三. 解答题 F1 , F2, P 为该双曲线上一点，满足 13.已知双曲线 =1 （a N ）的两个焦点为 第 3页(共 18 页) 19如图，圆锥的顶点为 P,底面圆心为 0,线段 AB 和线段 CD 都是底面圆的直径，且直 线 AB 与直线CD 的夹角为=,已知| OA| =1 , | PA| =2. (1) 求该圆锥的体积； (2) 求证：直线 AC 平行于平面 PBD，并求直线 AC 到平面 PBD 的距离

7、.第 4页(共 18 页) n * (1 )设 bn=3 an ( n N ),求证：bn是等差数列; (2)设数列an的前 n项和为 Sn,求 一 一 的值. 廿 Y 9 a昨 21.图为一块平行四边形园地 ABCD，经测量，AB=20 米，BC=10 米，/ ABC=120 拟过 线段 AB上一点 E 设计一条直路 EF (点 F 在四边形 ABCD 的边上，不计路的宽度)，将该 园地分为面积之比为 3： 1 的左、右两部分分别种植不同的花卉，设 EB=x , EF=y (单位: 当点F 与点 C 重合时，试确定点 E 的位置； 求 y 关于 x 的函数关系式，并确定点 E、F 的位置，使

8、直路 EF 长度最短. CD 都是圆 E 的弦， 且 AB 与 CD 垂直且相交于 坐标原点 O,如图所示，设 AOC 的面积为 S1,设厶 BOD 的面积为 S2； (1)设点 A 的横坐标为 X1,用 X1表示|OA| ; (2) 求证：|OA|?|OB|为定值； (3) 用|OA|、|OB|、|OC|、|OD|表示出 S1+S2,试研究 S1+S2是否有最小值，如果有, 求出最小值，并写出此时直线 AB 的方程；若没有最小值，请说明理由. 23已知非空集合 A 是由一些函数组成，满足如下性质： -1 - 1 20.已知数列an中, an+1=- 1 + 3n (n N ), ai=1 ;

9、 米) (1) (2) 第 5页(共 18 页) 对任意 f (X) A , f (x)均存在反函数 f (x)，且 f (x) A ； 对任意 f (x) A，方程 f (x) =x 均有解； 对任意 f (x)、g (x) A，若函数 g (x)为定义在 R 上的一次函数，则 f (g (x) A ； (1 )若 f (x)=丄g (x) =2x - 3 均在集合 A 中，求证：函数 h ( x) = _ (2x- 3) A ； 2 i (2) 若函数 f (x) =(x 1)在集合 A 中，求实数 a 的取值范围； x+1 (3) 若集合 A 中的函数均为定义在 R上的一次函数，求证：

10、存在一个实数 xo,使得对一切 f (x) A，均有 f (xo) =xo.第 6页(共 18 页) 2016 年上海市杨浦区高考数学三模试卷(理科) 参考答案与试题解析 一.填空题 1 .函数 y=log2 (x+1)的反函数为 y=2x - 1 (x R) . 【考点】反函数. 【分析】由 y=log 2 (x+1) (x - 1)解得 x=2y- 1,把 x 与 y 互换即可得出. 【解答】解：由 y=log2(x+1) ( x- 1)解得 x+1=2y,即 x=2y - 1,把 x 与 y 互换可得：y=2x -1 (x R). y=log 2 (x+1)的反函数为 y=2x - 1

11、(x R). 故答案为：y=2x- 1 (x R). 2. 若直线 l1: 2x+my+1=0 与 l2： y=3x - 1 垂直，则实数 m= 6 . 【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【分析】 根据两直线垂直时，一次项对应系数之积的和等于 0,解方程求得 m 的值. 【解答】 解：直线 H： 2x+my+1=0 与 b： y=3x - 1 垂直，即为 3x- y-仁 0 . 2x 3+mx (- 1) =0 , 解得 m=6, 故答案为：6 . 2 3. 若 2+i (i 虚数单位)是实系数一元二次方程 x +px+q=0 的根，则 p+q= 1 . 【考点】复数代数形式的混合运

12、算. 【分析】 可知 2 - i 也是实系数一元二次方程 x2+px+q=0 的根，从而利用韦达定理求得. 【解答】 解：T 2+i 是实系数一元二次方程 x2+px+q=0 的根， 2 - i 是实系数一元二次方程 x2+px+q=0 的根， 2+i+2 - i= - p, ( 2+i) (2 - i) =q, 解得，p= - 4, q=5 ; 故 p+q=1 ; 故答案为：1. 3 1T 【解答】解：I sinx=厂,x （ ，n）, 4.已知 sinx 岭 x (牛n),则行列式 sinx SOCK 的值等于 - 【考点】 同角三角函数基本关系的运用. 由已知利用同角三角函数基本关系式可

13、求 式的值即可得解. 【分析】 cosx，进而可求 secx 的值，再计算行列 第 7页(共 18 页) =sin xsecx+1= （二）+1=一. 5 4 4 COSX=-“ L. r/-z=-： 1 ,secx= - 5 cosx sinx -1 secs 第 8页(共 18 页) 故答案为 2 小 5.已知 A=x| 1, B=x|log2 (x - 1)v 1，则 A AB= x| 1v xv 2. X 【考点】交集及其运算. 【分析】求出 A 与 B 中不等式的解集分别确定出 A 与 B,找出两集合的交集即可. 【解答】解：集合 A 中不等式，当 x 0 时，解得：x v 2，此时

14、 Ov x v 2; 当 xv 0 时，解得：x 2,无解， A=x| Ov x v 2, 集合 B 中不等式变形得：Iog2 (x- 1)v 1=log22，即 0vx- 1 v 2, 解得：1 vxv 3,即 B=x| 1 vxv 3, 则 A nB=x| 1 vx v 2, 故答案为：x| 1v xv 2. 6.已知 A 地位于东经 30北纬 45 B 地位于西经 60北纬 45则 A、B 两地的球面距 TT 离与地球半径的比值为 3 一 【考点】球面距离及相关计算. 【分析】求出球心角，然后 A、B 两点的距离， 地的球面距离与地球半径的比值. 【解答】 解：地球的半径为 R,在北纬

15、45 而 AB=R，所以 A、B 的球心角为：一, 所以两点间的球面距离是： = R, 所以 A、B 两地的球面距离与地球半径的比值为 7T 故答案为：. O 78+85+a+82+69=5 X 80,解得：a=86, s2= _ ( 78 - 80) 2+ (85 - 80) 2+ (86 - 80) 5 则他们成绩的方差等于 38, 故答案为：38. Tt &在极坐标系下，点(2,厂)到直线 pcos (求出两点间的球面距离，即可求出 7在某次数学测验中， 则他们成绩的方差等于 极差、方差与标准差. 根据披平均成绩求出 a的值， 根据方差的计算公式求出这组数据的方差即可. 解： 5

16、 位学生的成绩如下： 5 位学生的成绩如下: 38 . 78、85、a、82、69,他们的平均成绩为 80, 【考点】 【分析】 78、 85、 a、82、69,他们的平均成绩为 80, 2+ (82 - 80) 2+ (69 - 80) 2 =38, e- ) =1 的距离为 第 9页（共 18页） 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式即可得出. 【解答】 解：直线 pcos（ 0-） =1 化为：二 d . - 一 + - :. =1 , 即 x - *：-y+2=0 . 点 P （2,）化为 P ., 点 P 到直线的距离 d= =

17、1 . 2 故答案为：1. 9.若（x+ ） n （ n N*）展开式中各项系数的和等于 64,则展开式中 x3的系数是 15 . 【考点】二项式系数的性质. 【分析】令 x=1，则（x+ ） n （n N*）展开式中各项系数的和 =2n=64，解得 n.再利用 二项式定理的通项公式即可得出. 【解答】解：令 x=1，则（x+ I ） n （ n N*）展开式中各项系数的和为： 2n=64，解得 n=6 . | I *的展开式的通项公式 Tr+1=i 八 一亠=|； L 令二-斗- -=3，解得 r=2 . 展开式中 x3的系数为： :=15 . 故答案为：15. 【考点】列举法计算基本事件数

18、及事件发生的概率. 【分析】利用间接法，先求从 9 个数中任取 3 个数的取法，再求三个数分别位于三行或三列 的情况，即可求得结论. 【解答】解：从 9 个数中任取 3 个数共有 C93=84 种取法， 1 取出的三个数，使它们不同行且不同列：从第一行中任取一个数有 C3 =3 种方法， 则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有 C21=2 种方法， 第三行只能从剩下的一列中取即可有 1 中方法， 10.三阶矩阵 a2l a22 a23 中有 9 个不同的数 aij (i=1 , 2, 3; j=1 , 2, 3),从中任取三 个，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 23 药一 （结果用分

19、数表示） a12 第 10页(共 18页) 共有 3 X 2=6 种方法三个数分别位于三行或三列的情况有 6 种; 所求的概率为 84 6 _ 13 84 F 第 11页（共 18页） 故答案为： 称，贝U 0的最小值为_. 【考点】函数 y=Asin ( wx+ 0)的图象变换. 【分析】由 y=Asin (必+0)的图象变换规律，结合正弦函数、余弦函数的图象的对称性可 得0+ 从而求得0的最小值. 根据所得到的图象关于 y 轴对称，可得- 可得0的最小值为一, 故答案为: a - b 12.若两整数 a、b 除以同一个整数 m,所得余数相同，即 - =k (k Z),则称 a、b 对 模

20、m 同余，用符号 a= b (mod m)表示，若 a= 10 (mod 6) (a 10),满足条件的 a 由小到 大依次记为a1, a2-an,，则数列an的前 16 项和为 976 . 【考点】整除的定义. 【分析】由两数同余的定义， m 是一个正整数，对两个正整数 a、b,若 a-b 是 m 的倍数， 则称 a、b 模 m 同余，我们易得若 a= 10( mod 6)(a 10)，则 a- 10 为 6 的整数倍，则 a=6n+10, 再根据等差数列 an的前 n项公式计算即可得答案. 【解答】解：由两数同余的定义， m 是一个正整数，对两个正整数 a、b，若 a- b 是 m 的倍数

21、， 则称 a、b 模 m 同余， 我们易得若 a= 10 (mod 6) (a 10), 则 a- 10 为 6 的整数倍， 则 a=6n+10, 故 a=16, 22, 28,均满足条件. 由等差数列 an的前 n项公式 宀厶 一一-： 16X (16- 1) 则 I =976. 故答案为：976. 13已知双曲线-丄_=1 （a N*）的两个焦点为 Fi, F2, P 为该双曲线上一点，满足 / 4 2 2 11.若函数 y=cos (x+： )的图象向右平移 0个单位(0 0),所得到的图象关于 y 轴对 【解答】 解：把函数 4H y=cos (x+ )的图象向右平移 0个单位(0 0

22、),可得 y=cos (x - 0 0+ 的图象; =k n k z. 第 12页(共 18页) IF1F2I =|PFI|?|PF2| , P 到坐标原点 0 的距离为 d,且 5 v dv 9,贝卩 a = 1 或 4 . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求得双曲线的 b, c,设 P 为右支上一点，| Ph|=m, |PF2| =n，运用双曲线的定义， 结合条件，由两点的距离公式，解不等式可得 a 的正整数解. 【解答】 解：双曲线 r-二=1 的 b=2 , c2=a2+4, a2 4 设 p 为右支上一点，|PFi|=m, | PF2| =n, 由双曲线的定义可得 m - n=2

23、a, 2 由题意可得 4c =mn , 222 m +n =d , 可得（m- n） 2+2mn=4a2+8c2=d2（ 25 , 81）, 即 25v 12a2+32v 81, 即为 a2v工,由 a 为正整数，可得 a=1, 2 , 12 故答案为：1 或 4. 14. 如图，已知 AB 丄 AC, AB=3 , AC=，圆 A 是以 A 为圆心半径为 1 的圆，圆 B 是以 B 为圆心的圆.设点 P, Q 分别为圆 A ,圆 B 上的动点，且：=,.,贝 U .-?的取值范围 是-1, 11 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】设/ QBA= 0 ,则/ PAC=90 +0 ,从而有

24、 =:-：.，=-，通过计算求 出即可. 【解答】 解：设/ QBA= 0则/ PAC=90 匸：, =- ？ L ：（：-：）? 0 !） - 4 - - * - - * - * - * ?丨 + 厂 7T 厂 兀 厂 厂 =2 - 乂 Feos + 0) +3cos ( n- 0) - V E?2?cos (三 + 0) WS?2V5?cos-r =5+3 . sin 0- 3cos 0 7T =5+6sin ( 0-.), b /- 1 w sin ( o-)CF 时，EF= 二-二:-.11 当BE v CF 时，EF= . , 化简均为 y=EF=2 7.;j - 吋疋一 5x+戈5

25、, 0 x10 综上所述，打店+弩侦,10 x 10 T5 _, 故当点 E 距点 B2.5m，点 F 距点 C7.5m 时，EF 最短，其长度为 5 二. 2 2 22已知圆 E: (x- 1) 2+y2=4，线段 AB、CD 都是圆 E 的弦，且 AB 与 CD 垂直且相交于 坐标原点 O,如图所示，设 AOC 的面积为 S1,设厶 BOD 的面积为 S2； (1) 设点 A 的横坐标为 旳，用 X1表示| OA| ; (2) 求证：|OA|?|OB|为定值； (3) 用|OA|、|OB|、|OC|、|OD|表示出+S2，试研究 是否有最小值，如果有， 求出最小值，并写出此时直线 AB 的

26、方程；若没有最小值，请说明理由. 【考点】圆方程的综合应用. 第 21页(共 18页) 【分析】(1)利用距离公式，即可用 X1表示| OA| ;第 22页(共 18页) (2) 分类讨论，计算|OA|?|OB|，即可证明|OA|?|OB|为定值； (3) 由(2)得| 0A|?|0B|=3，同理|0C| OD| =3，禾 U 用基本不等式，即可得出结论. 【解答】(1)解：设 A ( xi， yi)，代入圆 E： ( x - 1) 2+y2=4，得 yi2=-XI2+2XI+3, (2) 证明：设 B (X2, y2), 同理可得| 0B| =二.：,/ | OA | ?| OB | = -

27、 、- - - - :-: 2 xiMX2,设直线 AB 的方程为 y=kx，代入圆的方程得(k+1) x2 - 2x - 3=0, 2 3 x1+x2= , X1X2=- , -I 代入可得|0A| ?| 0B| =3, X1=X2， 直线过原点， 直线 AB 的方程为 x=0， 即 X1=X2=O,代入可得|OA|?|OB|=3 , 综上所述，| OA | ?| OB | =3 为定值； (3) 解：由(2)得 |OA|?|OB|=3，同理 |OC| OD| =3 -S1+S2=,： (|OA| OC|+| OB| OD| )r；f| j：=3，当且仅当 | OA| OC| =|OB| O

28、D| 时取等号， 此时，S1+S2最小值为 3,直线 AB 的方程为 y= X. 23已知非空集合 A 是由一些函数组成，满足如下性质： -1 1 对任意 f (x ) A , f (x)均存在反函数 f (X)，且 f (x) A ； 对任意 f (x ) A，方程 f (x) =x 均有解； 对任意 f (x)、g (x) A，若函数 g (x)为定义在 R 上的一次函数，则 f (g (x) A ； A ； 2 (2) 若函数 f (x) = : : _ (x 1)在集合 A 中，求实数 a 的取值范围； x+1 (3) 若集合 A 中的函数均为定义在 R 上的一次函数，求证： 存在一个

29、实数 x0,使得对一切 f (x) A，均有 f (X0) =x0. 【考点】反函数；函数解析式的求解及常用方法. 0，使得 _ =X0，由 g (x) =2x - 3 A，且为一次函数，根据性质 即可证明. 2 2 (2)由性质，方程_ =x (x 1) ,即卩 a=x 在 x 1, +8)上有解，可得 a 1.变形 K+1 2 i f (X) = =X+1+r - 2 , (X 1, +8).对 -与 2 的关系分类讨论，利用基本不 x+1 龙十丄 等式的性质即可得出.(1 )若 f (x) . , g (x) =2x - 3 均在集合 A 中，求证：函数 h ( x) = 亠(2x- 3) 2 【分析】 (1)由 f (X) A，根据性质可得: f -1( X) = A，且存在 X0 (3)任取 fi (x) =ax+b, f2 (x) =cx+d A，由性质(1) a, CM0,不妨设 a, CM 1,(若 a=1，贝 V b=0, fi (x) =x),由性质 函数 g (x) =fi (f2 (x) =acx+ (ad+b) A，函数 h (x) =f2 ( fi (x) =acx+ ( bc+d) A，