高中数学课程中的几何

1、高中数学课程中的几何高中数学课程中的几何首都师范大学首都师范大学 王尚志、胡凤娟王尚志、胡凤娟问题问题 不增加学习时间和强度，有什么办不增加学习时间和强度，有什么办法提高学习、教学效率？法提高学习、教学效率？ 如何让学生喜欢您如何让学生喜欢您喜欢数学？喜欢数学？ 如何把学生学习激情、热情激发激如何把学生学习激情、热情激发激发起来？发起来？ 如何帮助学生整体把握数学？抓住如何帮助学生整体把握数学？抓住数学的本质？变数学的本质？变“难难”为为“易易”？数学课程内容变化趋势数学课程内容变化趋势几何课程几何课程 大学数学学习的几何课程：大学数学学习的几何课程： 解析几何、解析几何、 射影几何、射影几何

2、、 微分几何、微分几何、 点集拓扑、点集拓扑、 代数拓扑、代数拓扑、 微分拓扑、微分拓扑、 微分流形、微分流形、 代数几何、等等代数几何、等等数学课程内容变化趋势数学课程内容变化趋势几何课程几何课程 大学数学学习的几何课程：大学数学学习的几何课程： 这些都是研究图形的课程；这些都是研究图形的课程； 主要的思想方法：主要的思想方法： 变换思想，变换思想， 代数的思想方法，代数的思想方法， 分析（函数）的思想方法。分析（函数）的思想方法。数学课程内容变化趋势数学课程内容变化趋势几何课程几何课程 几何课程的教育价值：几何课程的教育价值： 学习发现图形内在规律思想方法；学习发现图形内在规律思想方法；

3、培养归纳推理和逻辑推理的载体；培养归纳推理和逻辑推理的载体； 培养图形直观的能力培养图形直观的能力 空间想象力、图形洞察力；空间想象力、图形洞察力； 运用图形描述问题；运用图形描述问题； 运用图形发现解决问题的思路；运用图形发现解决问题的思路； 运用图形理解和记忆结果。运用图形理解和记忆结果。数学课程内容变化趋势数学课程内容变化趋势几何课程几何课程 重新构架几何课程的指导思想：重新构架几何课程的指导思想： 在整个数学课程中，进一步强调几何直观、在整个数学课程中，进一步强调几何直观、空间想象、图形洞察空间想象、图形洞察把抽象与直观结合把抽象与直观结合起来；起来； 突出突出“变换几何变换几何”，淡

4、化综合几何；，淡化综合几何； 进一步突出用代数方法研究图形的思想，合进一步突出用代数方法研究图形的思想，合理、科学安排理、科学安排“解析几何解析几何”和和“向量几何向量几何”的内容。的内容。数学课程内容变化趋势数学课程内容变化趋势几何课程几何课程 重新构架几何课程内容结构：重新构架几何课程内容结构： 从整体到局部；从特殊到一般。从整体到局部；从特殊到一般。 在课程中，突显以下主线：在课程中，突显以下主线： 图形分类；图形分类； 图形变换；图形变换； 解析几何；解析几何； 向量几何。向量几何。数学课程内容变化趋势数学课程内容变化趋势几何课程几何课程 几何课程主要变化：几何课程主要变化： 在课程中

5、，关注以下变化：在课程中，关注以下变化： 全面理解几何教育价值全面理解几何教育价值几何直观；几何直观； 重新构架几何课程的理念、内容结构。重新构架几何课程的理念、内容结构。 不断提升向量的作用，进一步融合不断提升向量的作用，进一步融合“初等数学初等数学”与与“高等数学高等数学”； 几何课程不是几何课程不是“唯一唯一”培养逻辑推理能力载体；培养逻辑推理能力载体；几何基本几何图形研究图形的问题研究图形的方法一维（线）二维（面）三维（体）直线、直线型曲线二次曲线函数曲线平面球面、柱面、锥面柱、锥、台、球图形的刻画图形的性质和判定图形间的关系距离角度综合几何法解析几何法向量几何法分析法1. 几何的教育

6、功能几何的教育功能 高中数学课程中，几何的作用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论证能力。在高中数学课程中，几何是“图”“文”并茂的内容，它把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合起来。几何思想主要体现在几何直观能力，即把握图形的能力。几何直观能力主要包括空间想象力、直观洞察力、用图形语言来思考问题的能力。借助几何这个载体，可以培养学生的逻辑推理能力。但仅仅把几何作为培养形式推理能力载体的认识是片面的。2中学几何研究的对象中学几何研究的对象中学几何主要是研究图形的位置关系和度量。中学几何研究的图形可分为两类：一类是直边或直面图形，例如，直线，由直线围成的三角形，由平面围成的四面体、长方体等

7、；另一类是曲边或曲面图形，例如，圆，球等。在中学几何中，基本几何图形点、线、面之间的位置关系：主要有平行、垂直、包含（如点在直线上，线在平面内，线与线、面与面重合等），由基本图形围成的平面图形之间的关系主要有全等、相似、位似等。图像之间的度量关系：主要有夹角、长度、面积、体积等。3研究图形的方法研究图形的方法中学研究图形的方法主要有：综合几何的方法，解析法，向量几何的方法，函数的方法等。例如，综合几何的方法：把两条线段相等问题转化为两个三角形全等关系或一个三角形内两边的相等关系；空间两直线的垂直问题转化为平面上两直线的垂直（如，三垂线定理）；利用三视图研究空间几何体等。在综合几何方法中，平移、

8、旋转、对称等是研究综合图形性质的基本方法。3研究图形的方法研究图形的方法解析几何的方法：利用代数的方法研究几何图形的性质。几何问题代数问题代数结果几何结果建立坐标系代数方法分析几何意义3研究图形的方法研究图形的方法向量几何的方法：用向量及其运算来研究几何图形的位置关系和度量问题。例如，用向量表示点，用两个不共线向量的线性组合表示平面，用向量的数量积表示由一个点和一个法向量确定的平面等。用向量的运算可以研究几何图形的位置关系和度量。利用向量的数乘运算、数量积运算可以刻画线线、线面、面面的平行与垂直关系，利用向量的数量积运算可以度量角度、长度、面积、体积等。用向量法研究几何图形有时比解析几何方法中

9、的坐标法更具有优越性。用向量表示几何对象确定其中一个对象的法向量用向量建立两个几何对象之间的联系，即确定向量 ，其中，为两个对象上任意点做向量在法向量上的投影：求距离，即求投影的绝对值nabn ab n用向量解决距离问题的一般步骤：4几何内容的设计几何内容的设计高中数学课程中的几何内容是分层设计的，大体上包括三大部分：一部分在必修课程中，一部分在选修1、2课程中，一部分在选修3、4的课程中。必修课程的几何内容由三块内容组成：立体几何初步，解析几何初步，平面向量。立体几何初步，解析几何初步安排在必修课程数学2中，平面向量安排在必修课程数学4中；选修1、2课程的几何内容也由三块内容组成，圆锥曲线及

10、其方程，空间向量，立体几何。圆锥曲线及其方程分别安排在选修1-1和选修2-1中，空间向量，立体几何安排在选修2-1中；在选修3、4课程中，也设置了几何的专题内容。整体把握课程 抓住基本脉络几何立体几何教学中的一些问题为什么立体几何设计成两部分？（1）需要跳出欧氏几何的框架，对高中几何课程有一个整体的认识（2）全面的认识立体几何的教育价值（3）在立体几何初步中重点培养所有学生的空间想象能力和直观能力（4）用向量解决立体几何问题在立体几何的教学中，为什么长方体是贯穿始终的基本图形？（1）长方体是学生最熟悉的几何图形（2）长方体是帮助学生掌握立体几何概念和公理的载体（3）长方体可以帮助我们发现证明线

11、线、线面判定和性质定理的思路（4）长方体可以帮助我们发现立体几何问题解决的思路（5）长方体为后继学习奠定了基础在立体几何位置关系中，为什么强调平行与垂直？（1 1）平行和垂直是几何中最基本的位置关系平行和垂直是几何中最基本的位置关系平行和垂直是几何中最基本的位置关系。直角坐标系的建立就是基于这一点。在物理中，力的分解、向量的分解，最常见的也是垂直、平行方向上的分解。（2 2）在度量中，求距离主要用到平行和垂直）在度量中，求距离主要用到平行和垂直在几何学习中，主要研究图形的位置关系和度量关系。在度量关系中，主要研究距离（长度）和角度。为什么判定定理不证明？（1）认识对不同定理的证明要求（2）证明与直观的关系（3）学生认识综合几何的证明有困难解析