应力状态理论课件

1、应力状态理论1应力状态和强度理论 一、应力状态的概念 二、平面应力状态 三、空间应力状态 四、广义虎克定律 五、强度理论应力状态理论2adnp全应力全应力：apappddalim0pa上的内力分解为两个分量： ： 正应力正应力截面法向分量。 ： 切应力切应力截面切向分量。adnp应力状态理论3过一点可以截取无限个平面，因此，一点的应力是方位的描述量。问题：是否可以根据有限方位上的应力，表示问题：是否可以根据有限方位上的应力，表示“一点的应力一点的应力”？此问题称为“一点的应力状态分析一点的应力状态分析”。又称“应力应力张量张量分析分析”adnpadnp应力状态理论4单元体的应力状态单元体的应力

2、状态单元体单元体：变形固体内按一定方位截割的边长趋于无穷小的变形固体内按一定方位截割的边长趋于无穷小的 正六面体。正六面体。adnadnn应力状态理论5一点的应力状态一点的应力状态：围绕变形固体内一点所取的单元体的6个面上应力的大小，可以反映该点任意方向上应力的状态。单元体称为应力状态单元体。描述一点应力状态所需要的单元体6个面上的应力分量是yxzx x方向正应力y y方向正应力z z方向正应力x x y y z z x x反向正应力 y y反向正应力 z z反向正应力应力状态理论6xyzxy x平面指向y方向的切应力； xy x平面指向y反向的切应力xyyx y平面指向x方向的切应力； yx

3、 y平面指向x反向的切应力yxyzzyxzzxyz y平面指向z方向的切应力;xz x平面指向z方向的切应力zy z平面指向y方向的切应力;zx z平面指向x方向的切应力应力状态理论7一共18个应力分量，称为一点的应力张量一点的应力张量应用内力平衡内力平衡关系，可以证明xxyyzzxyxyyzyzzxzxyxyxzyzyxzxz材料力学中以引起的变形的方向确定应力的符号应力张量写成矩阵形式,有9个元素zzyzxyzyyxxzxyx应力状态理论8另外，可以证明yxxyzyyzxzzx切应力互等定理切应力互等定理xyyxyzzyxzzxxyz应力状态理论9独立的应力张量分量为6个xyzxyyzzx

4、zyzxzyzyxyxzxyx写成矩阵为一点任意方向的应力可以由这一点任意方向的应力可以由这6个应力分量确定。个应力分量确定。另一种叙述为：已知一点应力状态单元体上6个应力分量，求该点任意方向的应力。应力状态分析应力状态分析应力状态理论10平面应力状态分析平面应力状态分析xyzxyyxx x y y z z 如图，当当z平面上切应力为零平面上切应力为零，即0zyzxxyyxyzzyxzzxxyzx x y y z z 单元体应力状态如图应力状态理论11n单元体应力状态如图这时，独立的应力分量为x，yz，和xy与与xy平面垂直的平面平面垂直的平面上的应力上的应力没有z方向的分量，并且由x ，y

5、及 xy 决定。平面应力状态平面应力状态已知 x ，y 及 xy ，求任意斜截面n上的应力平面应力平面应力状态分析状态分析。xyzxyyxy y z x x 应力状态理论12平面应力状态单元体的表示：平面应力状态单元体的表示：n截面上的应力分解为xyzxyyxy y z x x n 正应力 切应力 是截面法向与是截面法向与x轴的夹角，轴的夹角，规定：逆时针为正；顺时针规定：逆时针为正；顺时针为负。为负。 ， 的符号规定同前。平面应力状态单元体表示x x yyxyyxyxxyxn 应力状态理论13平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法x x yyxyyxyxxyxn 已知平面应力状态单元体

6、已知平面应力状态单元体 x ， y ， xy （ yx=- xy ）求求 和和 xyyxx y n xdadaxday应力状态理论14应力符号定义应力符号定义应力状态理论15角度角度 符号：逆时针：符号：逆时针：+ ； 顺时针：顺时针： -应力状态理论16单元体内力平衡关系单元体内力平衡关系应力状态理论17应力状态理论18应力状态理论19应力状态理论20主应力，主平面主应力，主平面yxxy22tan0主平面主平面应力状态理论21应力状态理论22最大切应力和最小切应力最大切应力和最小切应力xyyx22tan1应力状态理论23主平面与最大切应力作用平面的关系主平面与最大切应力作用平面的关系应力状态

7、理论24应力状态分析应力状态分析图解法图解法2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx消去2 得：2222)2()2(xyyxyx若以 为横坐标，为纵坐标建立坐标系，得原点)0 ,2(yx22)2(xyyx半径圆方程应力状态理论25应力状态理论26应力状态理论27应力状态理论28应力状态理论29应力状态理论30应力状态理论31主平面主平面应力状态理论32主应力主应力应力状态理论33最大切应力（最小切应力）最大切应力（最小切应力）应力状态理论34单元体应力状态与应力圆的对应关系单元体应力状态与应力圆的对应关系应力状态理论35应力状态理论363100应力状态理论373100应力状态

8、理论38已知一点a的应力状态如图，求：a点的主应力和主平面。（应力单位为 mpa）2552622a应力状态理论392552622a解：将a点的两个截面看成平面应力状态单元体的两个截面则：5y22xy2526代入2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx2552622a22x应力状态理论402cos)22(2sin25262sin)22(2cos252525xxx两式消去2 得： 222222)25(26)2525(xx解得6 .34x于是该单元体应力状态为于是该单元体应力状态为222222225534.634.6应力状态理论41222222225534.634.6主应力：22)

9、2(2xyyxyx 7 . 63 .4651.268 .19主平面：49. 156 .3422222tan0yxxy07.562003.28003.1189003.280 )22, 5(ya0202 )22, 6 .34(xa46.346.36.76.728.3应力圆应力圆（单位：mpa）应力状态理论42特殊应力状态单元体特殊应力状态单元体 ax(，0)ay (0，0)2,2()2,2(222222“单向拉伸单向拉伸”应力状态单元体与应力圆应力状态单元体与应力圆0;0;32100应力状态理论43 ay(0,)ax(0,-)“纯剪切纯剪切”应力状态单元体与应力圆应力状态单元体与应力圆321;0;

10、045002应力状态理论44 ax(，-)ay (0，)132231)2(202131322tan0002应力状态理论45 321“三向拉伸应力三向拉伸应力”状态状态应力状态理论46三向应力状态分析三向应力状态分析xyzxyyxx x y y z z 考虑特殊情况： z 是主应力是主应力23 1 主单元体，三个主应力321规定：应力状态理论47应力状态理论48应力状态理论49应力状态理论50应力状态理论51应力状态理论52应力状态理论53应力状态理论54应力状态理论55应力状态理论56应力状态理论57应力状态理论58应变状态分析和应力应变状态分析和应力-应变关系应变关系应变应变单元体变形大小的

11、度量。单元体变形大小的度量。应变的形式有两种应变的形式有两种线应变线应变单元体尺寸改变的度量单元体尺寸改变的度量。用 表示，定义为xyzdxdydzux 方向的线应变方向的线应变 xdxuxu单元体x 方向变形量线应变的符号： 伸长为正；缩短为负)(106线应变的单位：表示在单位长度上发生10-6的变形量。应力状态理论59同理，定义dyvydywz其中v ，w 表示单元体在y，z 方向的变形量。一般地，任意方向的线应变表示为dllldl原长；l （原长的）变形量。dxuxdyvydywz应力状态理论60切应变（剪应变）切应变（剪应变）单元体形状改变的度量。用单元体形状改变的度量。用 表示，表示

12、， 定义为定义为xyzdxdydz xyxdyxxy单元体xy平面内 直角的改变量。同样，可以定义dzyyzdxzzx切应变具有角度的单位弧度。切应变符号:直角增加为正;直角减小为负;应力状态理论61切应力与切应变的符号关系切应力与切应变的符号关系:yxxyxyyxxyxyyxyxxyyx:yxxyxyxyyxyx应力状态理论62平面应变状态分析平面应变状态分析 x x yyxy yx yx xyxn 与平面应力状态分析平面应力状态分析类似，应用几何的方法可以建立单元体正应变正应变 x 、 y，切应变切应变xy、 yx 与任意方向上正应变正应变 ， 切应变切应变 的变换关系。首先，可以证明),

13、(xzzxzyyzyxxy2cos22sin222sin22cos22xyyxxyyxyx2应力状态理论63dxdyoabcvumndyvdxuyx;occmocmn;oabcmxynocmnoccm;应力状态理论64主应变，主平面主应变，主平面主应变：4)2(222xyyxyx 主平面：yxxy02tan主平面上切应变为零。主平面上切应变为零。对于各向同性材料各向同性材料，可以证明，任意点的应变主方向与应力主方向是一致的。应力状态理论65平面应变测量平面应变测量在工程中，可以应用实验的方法测定一点的应变状态，从而确定主平面和主应变。方法是在测点选定三个方向1 ， 2 ， 3 测出对应的正应变

14、1，2 ，3 ，于是有3322112sin22cos222sin22cos222sin22cos22321xyyxyxxyyxyxxyyxyx解出x ， y，xy 代入主应变关系式和主平面关系即可。应力状态理论66459004590应用应用0 - 45 -90 “直角应变花直角应变花”测量的应变测量的应变 0 ， 45 ， 90 计算计算测点的主应变与主方向。测点的主应变与主方向。应力状态理论67解：取0 为x方向； 90 为y方向 ，有2sin22cos22xyyxyx代入yxyyxx9045022459004590 xy解出xyyx,有45900yx90450321应力状态理论68yxyy

15、xx9045022904590002yxyx于是主应变：4)2(222xyyxyx )2()()(212459002450900主方向：90090045022tanyxxy应力状态理论69应力应力-应变关系应变关系应力状态分析利用平衡条件；应变状态分析利用几何条件。与材料的特性无关。与材料的特性无关。相同受力条件下不同材料的变形不同相同受力条件下不同材料的变形不同。材料的受力与变形之间的关系受力与变形之间的关系把这种关系称为把这种关系称为物理关系物理关系取决于材料自身性质，由试验确定，称为材料的力学性质材料的力学性质。基本物理关系：材料应力-应变之间的关系胡克定律。胡克定律。适用于线性弹性材料

16、线性弹性材料应力状态理论70材料单向拉伸变形，当应力不超过一定量值时，线应变与正应力材料单向拉伸变形，当应力不超过一定量值时，线应变与正应力成正比，表示为成正比，表示为ee材料的弹性模量材料纯剪切变形，当应力不超过一定量值时，切应变与切应力材料纯剪切变形，当应力不超过一定量值时，切应变与切应力成正比，表示为成正比，表示为gg材料的切变模量胡克定律胡克定律应力状态理论71横向变形与泊松比横向变形与泊松比试验证实，几乎所有的材料在产生纵向线应变 时，会产生与 垂直方向上的线应变 ，且方向与 相反，大小成比例。称为横向变形效应。横向变形效应。 无量纲比例常数，材料性质。称为泊松比泊松比对任何材料泊松

17、比值对任何材料泊松比值 0 0 0.5 0.5对于普通碳钢，gpaggpae8027. 0210应力状态理论72复杂应力状态的应力应变关系复杂应力状态的应力应变关系广义胡克定律广义胡克定律xyyxyzzyxzzxxyzx y z 一个方向（如x方向）的线应变由三个线应变构成：exzze yye x)(1zyxxe应力状态理论73广义胡克定律广义胡克定律)(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxeeezxzxyzyzxyxyggg1）各向同性材料各向同性材料2）小变形小变形正应力不引起切应变；切应力不引起线应变正应力不引起切应变；切应力不引起线应变3）对于任意方向对于任意方向(包括主单元体包括主

18、单元体)成立成立此定律适用于:应力状态理论74)(1)(1)(1213313223211eee主应力与主应变主应力与主应变yxzxyyyxxeee11xyxyg平面应力状态平面应力状态)0, 0(zyzxz应力状态理论75各向同性材料弹性模量弹性模量e、泊松比泊松比 、切变模量切变模量g之间的关系)1 (2eg体积应变体积应变 me)21 (3)(31321m平均应力1 2 3 应力状态理论76例： 从钢构件内某一点的周围取出一单元体如图所示。根据理论计算已经求得=30mpa，=15mpa。材料e=200gpa。=0.30。试求对角线ac的长度改变l。3060解:将单元体看成一平面应力状态于是

19、：01530yyxxyx,mpa,mpa2sin2cos2230 xyyxyxmpa.493560sin1560cos230230mpa.495120-sin15)120cos(-23023060应力状态理论776030301e186101861049. 53 . 049.35102001669maclac636301028. 930sin102510186mm3103 . 9由广义胡克定律由广义胡克定律应力状态理论7845045已知某点的单元体应力状态如图，现测得该点 x 方向线应变0 =25010-6 ；与 x 成 45 方向的线应变 45 =14010-6 。材料弹性模量e=210gpa

20、 ；泊松比 =0.28 。求：该点的主应力大小及主方向。应力状态理论7945045解：由广义胡克定律由广义胡克定律eexyx106690105 .521025010210ex)(5 .52mpa696107010210105 .5228. 01xxyyee由应变状态分析由应变状态分析90sin2190cos2245xyyxyx452yxxy661010010)140270250(应力状态理论80于是)28. 01 (2)10100(10210)1 (269xyxyxyeg)(2 . 8mpa)(2.8;0);(5.52mpampaxyyx主应力主应力：22)2(2xyyxyx )(25. 175.535 .2725.26mpa 主平面主平面：3124. 05 .522 . 8222tan0yxxy35.1720应力状态理论81)(25.1;0);(7