曲线积分与格林公式总结

1、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧 L上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y)求曲线形构件的质量把曲线分成n小段S1 S2sn( si也表示弧长)任取(ii)Si得第i小段质量的近似值(ii) Sin整个物质曲线的质量近似为M ( i, i) S1令 max si S2Sn0则整个物质曲线的质量为nM lim ( i，i) Si0i i这种和的极限在研究其它问题时也会遇到定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧函数f(x y)在L上有界 在L上任意插入一点列M1 M2Mn 1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为Si又(i

2、i)为第i个小段上任意取定的一点作乘积f( i i) Si (in1 2n )并作和i 'f(1i, i) Si如果当各小弧段的长度的最大值0这和的极限总存在则称此极限为函数f(xy)在曲线弧L上对弧长n的曲线积分或第一类曲线积分记作 f(x,y)ds即 f (x, y)dS lim f( i, i) sLL0i 1其中f(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段设函数f(x y)定义在可求长度的曲线L上 并且有界将L任意分成n个弧段S1S2Sn并用Si表示第i段的弧长n在每一弧段Si上任取一点(ii)作和 f( i, i) si 1令 max S1 S2sn如果当 0时 这和的极限总存在

3、则称此极限为函数f(xy)在曲线弧I对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作l f (x, y)ds即nL f(x, y)ds lim f( i, i) sL0i 1其中f(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段曲线积分的存在性当f(x y)在光滑曲线弧L上连续时对弧长的曲线积分L f (x,y)dS是存在的以后我们总假定f(x y)在L上是连续的根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分L(x，y)ds的值 其中(x y)为线密度n对弧长的曲线积分的推广f (x, y, z)ds lim f ( i, i, i) s0i 1如果L(或)是分段光滑的则规定函数在 L(或)上的曲线积分等于

4、函数在光滑的各段上的曲线积分的和例如设L可分成两段光滑曲线弧Li及L2则规定L k f (x, y)dsLif(x,y)ds f(x,y)ds闭曲线积分如果L是闭曲线 那么函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作f(x,y)ds对弧长的曲线积分的性质性质1设C1、C2为常数则Lqf(x,y) qg(x,y)ds Lf(x,y)ds C2 Lg(x,y)ds性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧Li和L2则.f (x,y)ds L f (x, y)ds L f (x, y)dsL L1L2性质3设在L上f(x y) g(x y)贝UL f (x,y)ds Lg(x,y)ds特别地有I L

5、 f(x, y)ds| Ll f (x,y)|ds二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义如果曲线形构件 L的线密度为f(x y)则曲线形构件L的质量为L f (x,y)ds另一方面若曲线L的参数方程为x (t) y (t) ( t )则质量元素为f(x,y)ds f (t), (t)2(t)2(t)dt曲线的质量为f (t), (t)、2(t)2(t)dtLf(x,y)ds f (t),(t)h 2(t)2(t)dt定理 设f(x y)在曲线弧L上有定义且连续L的参数方程为x (t) y (t) ( t )其中 、(t)在上具有一阶连续导数且(y) 1dy(t)2(t) 0则曲

6、线积分Lf(x,y)ds存在且Lf(x,y)ds f (t), (t)、2(t)2(t)dt( < )证明(略)应注意的问题 定积分的下限讨论定要小于上限(1)若曲线L的方程为y(x)(a x b)贝U l f(x, y)ds ?提示 L的参数方程为x x(x)(a x b)bLf(x, y)ds a fx,(x)J 2(x)dx(2)若曲线L的方程为(y)(c y d)则 L f(x,y)ds ?提示 L的参数方程为(y) y y(c y d)Lf(x, y)dsf (y), yh(3)若曲的方程为(t)y (t) z(t)( t )则 f (x, y,z)ds ?提示f(x,y,z)

7、dsf (t), (t),(t)h 2(t)2(t)2(t)dt1计算LJ?ds其中L是抛物线y x2上点0(0 0)与点B(1 1)之间的一段弧曲线的方程为yydsx2 (0 x 1)因此0耐例2计算半径为R、中心角为(x2)2dx；x.1 4x2dx 挣5 52的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量1)i(设线密度为1)解取坐标系如图所示Ly2ds曲线L的参数方程为x Rcos y Rsin是 ILy2dsR2s in2( Rs in )2 (Rcos )2dR3 sin2 dR3(sin cos )例3计算曲线积分(x2 y2 z2)ds其中 为螺旋线x acost、y asint、z kt上

8、相应于t从0到达2的一段弧解 在曲线 上有x2y2z2(a cos t)2 (a sint)2(kt)2a2k2t 2并且ds 、( asint)2 (acost)2 k2dt a2 k2dt2 于是(x2 y2 z2)ds0 (a2 k平)一 a2 k2dt3 .a2 k2(3a2 4 2k2)3小结用曲线积分解决问题的步骤(1) 建立曲线积分(2) 写出曲线的参数方程(或直角坐标方程)确定参数的变化范围(3 )将曲线积分化为定积分(4)计算定积分§02对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功设一个质点在xOy面内在变力F(x y) P(x y)i Q(x

9、 y)j的作用下从点 A沿光滑曲线弧L移动到点B试求变力F(x y)所作的功用曲线L上的点A A0 A1 A2An 1 An B把L分成n个小弧段设Ak(xkyk)有向线段AkAk1的长度为sk它与x轴的夹角为k贝UAkAk 1 cos k,sin 讣 2 (k 0 1 2 n 1)显然 变力F(xy)沿有向小弧段 AkAk 1所作的功可以近似为F (xk, yk) AkAk 1 P(Xk,yJcos k Q(Xk, yjsin k sk于是变力F(xy)所作的功n 1n 1WF(Xk,yk) AkAk 1P(xk,yk)cos k Q(xk,yk)sin 订 Skk 1k 1从而W LP(x

10、, y)cos Q(x, y)sin ds这里 (x y) cos sin 是曲线L在点(x y)处的与曲线方向一致的单位切向量把L分成n个小弧段L1L2Ln变力在Li上所作的功近似为F ( i i) Si P( i i) Xi Q( i i) yi变力在L上所作的功近似为nP( i, i) x Q( i, i) yii 1变力在L上所作的功的精确值nW lim P( i, i) x Q( i, i) yi 0i i其中 是各小弧段长度的最大值提示用Si Xi yi表示从Li的起点到其终点的的向量用s表示Si的模对坐标的曲线积分的定义定义 设函数f(x y)在有向光滑曲线L上有界 把L分成n个

11、有向小弧段LiL2 Ln小弧段Li的起点为(xi1yi1)终点为(xiyi)XiXi Xi 1 yiyiyi 1( i )为Li上任意一点为各小弧段长度的最大值nX总存在则称此极限为函数x的曲线积分 记作L f(X, y)dx即Xy总存在则称此极限为函数x的曲线积分 记作L f(x, y)dy即如果极限lim f( i, i)0 i 1f(x y)在有向曲线L上对坐标nLf(X,y)dX叫宀宀n如果极限lim f( i, i) °i 1f(x y)在有向曲线L上对坐标L f(x,y)dy叫，f(i, i)设L为xOy面上一条光滑有向曲线cos sin是与曲线方向一致的单位切向量函数P

12、(x y)、Q(x y)在L上有定义如果下列二式右端的积分存在我们就定义LP(x,y)dx L P(x,y) cos dsLQ(x,y)dy LQ(x,y)sin ds前者称为函数P(x y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分 后者称为函数 Q(x y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分 定义的推广设 为空间内一条光滑有向曲线cos cos cos 是曲线在点(x y z)处的与曲线方向一致的单位切向量 函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在 上有定义 我们定义(假如各式右 端的积分存在)P(x,y, z)dxP(x,y,z)cos dsQ(

13、x,y,z)dyQ(x,y,z)cos dsR(x,y, z)dz R(x,y,z)cos dsnL f(x, y,z)dx lim f( i, i, i) Xi0 i 1nL f(x,y,z)dy lim。f ( i, i, i)小0 i 1nL f(x,y,z)dz lim0f ( i, i, i) z0 i 1对坐标的曲线积分的简写形式LP(x,y)dx LQ(x, y)dy LP(x,y)dx Q(x, y)dyP(x,y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dzP(x, y,z)dx Q(x,y,z)dy R(x,y,z)dz对坐标的曲线积分的性质(1) 如果把L分成L1

14、和L2贝UPdx Qdy Pdx Qdy Pdx QdyL L1L2(2) 设L是有向曲线弧 L是与L方向相反的有向曲线弧则L P(x, y)dx Q(x,y)d LP(x,y)dx Q(x, y)dy两类曲线积分之间的关系设cos i sin i为与S同向的单位向量 我们注意到 xi yisi所以xi cos i si yi sin i sn.f(x,y)dx lim f( i, i) xLolim f(j, Jcos j $ Lf(x,y)cosds0 i 1nLf(x,y)dy lim0f( i, i) yi0 i 1nlim f( i, i)sin i sif(x,y)sin ds0i

15、 iL即LPdx Qdy LPcos Qsin ds或lA dr lA t ds其中A P Q t cos sin 为有向曲线弧 L上点(x y)处单位切向量 dr tds dx dy类似地有Pdx Qdy Rdz Pcos Qcos Rcos ds或A dr A tds Ads其中A P Q R T cos cos cos 为有向曲线弧 上点(x y z)处单们切向量 dr Tdsdx dy dz At为向量 A在向量t上的投影二、对坐标的曲线积分的计算定理 设P(x y)、Q(x y)是定义在光滑有向曲线L x (t) y (t)上的连续函数当参数t单调地由 变到 时 点M(x y)从L的

16、起点A沿L运动到终点B则LP(x,y)dxP (t), (t) (t)dtLQ(x, y)dyQ (t), (t) (t)dt讨论 l P(x,y)dx Q(x, y)dy ？提示 LP(x,y)dx Q(x, y)dy P (t), (t) (t) Q (t), (t) (t)dt定理 若P(x y)是定义在光滑有向曲线L x (t) y (t)( t )上的连续函数L的方向与t的增加方向一致 贝ULP(x,y)dx P (t), (t) (t)dt简要证明不妨设 对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为 (t)(t)所以cos(t)、2(t)2(t)从而 L P(X, y)dx L P(X,

17、 y) cos dsP (t), (t)2 (t) 2 “ 2(t)2(t)dtP (t), (t) (t)dt应注意的问题下限a对应于L的起点上限对应于L的终点 不一定小于例1计算L xydx其中L为抛物线y2 x上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧解法一 以x为参数L分为AO和OB两部分ao的方程为y的方程为x从0变到1因此LxydxAOxydx 0Bxydx第二种方法：x( fdx 0x'、xdx1 320x2dx以y为积分变量1 2 2 Lxydx 1y y(y )dyL的方程为2 11 y4dyx y2 y 从 145变到1因此例2计算L y2dxx2+y2=a2(1)

18、L为按逆时针方向绕行的上半圆周从点A(a 0)沿x轴到点B( a 0)的直线段解(1)L的参数方程为x a cos y a sin从0变到因此Ly2dx220 a sin ( a sin )da3 0 (1 cos2)dcos4a33a(2)L的方程为y 0x从a变到a因此Ly2dxa0dx 0a例3 计算L2xydx x2dy (1)抛物线y x2上从0(00)到 B(11)的一段弧(2)抛物线再到R (11)的有向折线OAB2x)dx 4 0x3dx 11L2xydx x2dy 0(2x x2 x21 ,5 y4dy 101L x y2 y从0变到1所以L2xydx x2dy 0(2y2

19、y 2y y4)dy(3) OA y 0 x从0变到1 AB x 1 y从0变到L2xydx x2dyoA2xydx x2dy AB 2xydx x2dy0(2x 0 x2 0)dx 0(2y 0 1)dy 0 1 1例4计算x3dx 3zy2dy x2ydz其中 是从点A(3 2 1)到点B(0 0 0)的直线段AB解直线AB的参数方程为x 3t y 2t x tt从1变到0所以所以 I：(3t)3 3 3t(2t)2 2 (3t)2 2tdt 87：t3dt晋例5设一个质点在 M(x y)处受到力F的作用F的大小与M到原点O的距离成正比 F 的方向恒指向原点此质点由点A(a 0)沿椭圆写y

20、1按逆时针方向移动到点B(0 b)a2 b2求力F所作的功W例5 一个质点在力F的作用下从点A(a 0)沿椭圆4a1按逆时针方向移动到点B(0 b) F的大小与质点到原点的距离成正比方向恒指向原点求力F所作的功W解 椭圆的参数方程为 x acost y bsint t从0变到 一2r OM xi yj F k|r|(汁)k(xi yj)其中k>0是比例常数于是 W 阳 kxdx kydy k 阳 xdx ydyk 02 ( a2costsint b2sintcost)dtkk(a2 b2) 02sintcostdt (a2 b2)三、两类曲线积分之间的联系由定义得LPdx Qdy l(P

21、cos Qsin )ds lP,Qcos ,sin ds F dr其中F P Q T cos sin 为有向曲线弧 L上点(x y)处单位切向量 dr Tds dx dy类似地有Pdx Qdy Rdz (Pcos Qcos Rcos )dsP,Q,R cos ,cos ,cos ds F dr其中F P Q R T cos cos cos 为有向曲线弧 上点(x y z)处单们切向量 dr Tdsdx dy dz 一、格林公式单连通与复连通区域设D为平面区域如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域对平面区域D的边界曲线L我们规定L的正向如下当观察者沿L的这

22、个方向行走时D内在他近处的那一部分总在他的左边区域D的边界曲线L的方向定理1设闭区域D由分段光滑的曲线 L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连 续偏导数则有(上)dxdy。Pdx Qdy x y L其中L是D的取正向的边界曲线简要证明仅就D即是X 型的又是Y型的区域情形进行证明设D (x y)| i(x) y 2(x) a x b因为一P连续 所以由二重积分的计算法有b 2(x) P(x y)b dxdy ya (x)ddx aPx, 2(x) Px, i(x)dx另一方面由对坐标的曲线积分的性质及计算法有baPdx L PdxLPdx aPx, 1(x)dx b Px, 2(

23、x)dxbaPx, i(x) Px, 2(x)dxa因此Pdxdy，: fdx D y设 D (x y)| 1(y)x 2(y) c y d类似地可证 dxdyx)Qdx由于D即是X型的又是Y型的 所以以上两式同时成立两式合并即得Q dxdy Pdx Qdy x yL应注意的问题对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向设区域D的边界曲线为L取P y Q x则由格林公式得2 dxdy 、；： xdyD1ydx 或 A dxdy 丄。L xdy ydxD2例1椭圆x a cos yb sin所围成图形的面积A分析只要y1就有 (D-)dxdydxdy Ax yd解设D是由椭圆x=acosy=bsin所围成的区域令 P1y Q1x则卫x于是由格林公式A dxdyD1 12ydx xdyydx xdy(absi n2abcos2 )d1 21ab0 d ab例2设L是任意一条分段光滑的闭曲线证明2xydx