任意角三角函数Microsoft PowerPoint 幻灯片

1、三角函数三角函数一轮复习一轮复习8.17-8.18 k360(kZ) 象限角象限角一.角的概念（4）象限角象限角概念：概念：第一象限角的集合第一象限角的集合|2k2k2， kZ，第二象限角的集合，第二象限角的集合 ， 第三象限角的集合第三象限角的集合 ， 第四象限角的集合第四象限角的集合 例例 1判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确(打打“”“”或或“”“”) (1)小于小于 90的角是锐角的角是锐角( ) (2)若将分针拨快若将分针拨快 10 分钟，则分针转过的角度是分钟，则分针转过的角度是3( ) (3)角角 k3(kZ)是第一象限角是第一象限角( ) (4)若若 sinsin7，则，

2、则 7.( ) (5)300角与角与 60角的终边相同角的终边相同( ) (6)若若 A|2k，kZ，B|4k， kZ，则，则 AB.( ) l例2半径长半径长 圆心角圆心角 负负 零零 |r 二、弧度制二、弧度制则半径为设扇形的中心角为,r例例3.如果一扇形的周长为如果一扇形的周长为20cm，问扇形的半径和圆，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？rrrr220,202221rS扇形222021rrr210)10(rrrr,5) 1(210时当r2,25max此时扇形S扇形面积最大时圆心角为扇形的半径为答,2,5:radcm 【变式训

3、练【变式训练 2】 (1)已知扇形的周长为已知扇形的周长为 10 cm，面积为，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的弧度数，求扇形圆心角的弧度数 (2)已知一扇形的周长为已知一扇形的周长为 40 cm，当它的半径和圆心角取，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解解 (1)设扇形的圆心角为设扇形的圆心角为 弧度弧度(02，不合题意应舍去，不合题意应舍去 当当 r4，l2 时，时，lr2412. (2)设扇形的圆心角为设扇形的圆心角为 弧度，半径为弧度，半径为 r，弧长为，弧长为 l，面积为，面积为 S，则则 l2r4

4、0，所以，所以 l402r. 所以所以 S12lr12(402r)r(r10)2100， 所以当所以当 r10 时，时，Smax100(cm2)，此时圆心角，此时圆心角 lr40210102(rad) 3. 3.三角函数的定义三角函数的定义锐锐角角三三角角函函数数正弦正弦余弦余弦正切正切ABC推广推广任任意意角角三三角角函函数数正弦正弦余弦余弦正切正切余割余割余切余切正割正割类比类比定义定义 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？sincostancbcaab 复习回顾ObaMPc1.2.1任意角的三角函数任意角的三角函数3.任意角的三角函数定义(1)设是一个

5、任意角，的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r，则sin_，cos_，tan_.xoP(x,y)yrxryxcsc sec cot1.1.三角函数是以实数为自变量的函数三角函数是以实数为自变量的函数 ( )角（其弧度数等于这个实数）三角函数值（实数）实数【判断】【判断】2.2.一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点有关，与点P P（x x，y y）在终边上的位置无关）在终边上的位置无关. .（ ）【判断】【判断】3.3.任意角的三角函数任意角的三角函数的定义的定义揭示了三角函数值揭示了三角函数值呈周期性变化，即角的

6、终边绕原点每旋转一周，呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现函数值重复出现. .（ ）5.5.可将求任意角的三角函数值，转化为求可将求任意角的三角函数值，转化为求0 0 （或（或0 0360360) )范围内的三角函数值范围内的三角函数值. .（ ） 4.4.终边相同的角的同名三角函数值相等终边相同的角的同名三角函数值相等（ ）2【判断】【判断】x轴轴 原点原点 正弦线正弦线 余弦线余弦线 正切线正切线 例例4函数函数y= + + 的值域是的值域是 ( ) (A) 1，1 (B) 1，1，3 (C) 1，3 (D) 1，3|sin|sinxxcos|cos|xx| tan|t

7、anxxC【例【例 5】 已知角已知角 终边经过点终边经过点 P(x， 2) (x0)，且，且 cos 36x，求，求 sin ，tan 的值的值 解：解：P(x， 2)(x0)， P 到原点的距离到原点的距离 rx22， 又又 cos 36x，cos xx2236x， x0，x 10，r2 3. 当当 x 10时时，P 点坐标为点坐标为( 10， 2)， 由三角函数定义由三角函数定义 sin 66，tan 55； 当当 x 10时，时，P 点坐标为点坐标为( 10， 2)， sin 66，tan 55. 【思路】首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围

8、【变式训练【变式训练】(甲)R R (2)三角函数在各象限的符号是：图1 4三角函数线 如图1所示，正弦线为 ；余弦线为 ；正切线为 .MPOMAT 叫做角叫做角的的正弦正弦，记作记作sin， 即即sin= ； ryry 叫做角叫做角的的正切正切，记作记作tan，即，即 tan=xyxy任意角的三角函数任意角的三角函数 : : 叫做角叫做角的的余弦余弦，记作记作cos ,即即cos= ；rxrx 终边相同的角，三角函数值分别相等。终边相同的角，三角函数值分别相等。角角的其他三种函数：的其他三种函数：角角的的正割正割： 1seccosrx角角的的余割余割： 1cscsinry角角的的余切余切：

9、1cottanxy我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数下面我们研究这些三角函数的定义域：xoP(x,y)yrxryxxyrxrycsc sec cottan cos sinsincossec,tancsc,cotRR,2|Zkk,|Zkk比值不随P点位置的改变而改变 (5)300角与60角的终边相同 (6)若A|2k，kZ，B|4k，kZ，则AB. 答案(1)(2)(3)(4)(5)(6) 2点P(sin2 015，cos2 015)位于第_象限 答案三知识梳理基础自查基础自查1角的定义：角的定义：由一条射线绕着端点旋转而

10、成，其中旋转开始时的射线叫始边，由一条射线绕着端点旋转而成，其中旋转开始时的射线叫始边， 射线的端点叫顶点，正角的形成是由逆时针旋转，负角的形成是由射线的端点叫顶点，正角的形成是由逆时针旋转，负角的形成是由 旋旋 转当射线不转时也形成一个角，这个角是转当射线不转时也形成一个角，这个角是 顺时针顺时针零角零角 1角的概念 (1)象限角：角的终边落在 就称为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限 (2)终边相同的角： (3)与终边相同的角的集合为_第几象限两角的终边重合|k360，kZ (4)各象限角的集合为象限：_，象限：_，象限：_，象限：|k360k36090，kZ|k36090k

11、360180，kZ|k360180k360270，kZ|k36090k360，kZ 2弧度制 (1)什么叫1度的角：_ (2)什么叫1弧度的角：_把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1的角弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角 (3)1 弧度；1弧度 度 (4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为，则此扇形的弧长l，面积S .|r第第 1 讲讲 三角函数的概念三角函数的概念1了解任意角的概念了解任意角的概念2了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3理解任意角三角函数理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切)的定义的定义5任意角的三角函

12、数：任意角的三角函数：P(x，y)为角为角终边上的任一点，它与原点的距离为终边上的任一点，它与原点的距离为r(r 0)请填下表：请填下表：6 三角函数值在各象限的符号三角函数值在各象限的符号 由三角函数的定义，可将三角函数值的符号简记为：一全正，二正弦，三由三角函数的定义，可将三角函数值的符号简记为：一全正，二正弦，三 正切，四余弦正切，四余弦7三角函数线三角函数线联动思考联动思考想一想：想一想：终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？答案：答案：终边相同的角不一定相等，它们相差终边相同的角不一定相等，它们相差2的整数倍的整数倍议一议：议一议：锐角是第一

13、象限角，第一象限角是锐角吗？小于锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90的角是锐角吗？的角是锐角吗？答案：答案：第一象限角不一定是锐角，如第一象限角不一定是锐角，如390，300都是第一象限角，但它们都是第一象限角，但它们不是锐角不是锐角小于小于90的角也不一定是锐角，如的角也不一定是锐角，如0，30，都不是锐角，都不是锐角1.角的概念的推广(1)正角、负角和零角:一条射线绕顶点按逆时针 方向旋转所形成的角叫做正角,按顺时针 方向旋转所形成的角叫做负角.如果射线知识梳理知识梳理没有作任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做零角 .(2)象限角:以角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的正半轴,建

14、立平面直角坐标系,这样,角的终边在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角.终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限.(3)与角的终边相同的角的集合为 |=k360+,kZ .2.角的度量(1)1弧度的角:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.(2)弧度制与角度制的关系:1度= 弧度(用分数表示),1弧度=180 度(用分数表示).180(3)弧度制下的弧长公式:l=|r .(4)弧度制下的扇形面积公式:S=rl=|r2.3.任意角的三角函数的定义设角的终边上任意一点的坐标为P(x,y)(除原点),点P到坐标原点的距离为r(r=),则sin = ,cos = ,tan = .4.三

15、角函数的定义域121222xyyrxryx在弧度制下,正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是 R 、 R 、 +k,kZ .5.三角函数线设角的终边与单位圆交于点P,过点P作PMx轴于点M,则有向线段MP叫做角的正弦线,有向线段 OM 叫做角的余弦线;过点A(1,0)作单位圆的切线交角的终边或其反向延长线于点T,则有向线段AT叫做角的正切 线.26.三角函数的符号规律第一象限全“+”,第二象限正弦“+”,第三象限正切“+”,第四象限余弦“+”.简称:一全、二正、三切、四余.7.同角三角函数的基本关系(1)平方关系: sin2+cos2=1 ;(2)商数关系: =tan .8.诱导公式sin

16、cosZ,2|1kkx轴正半轴）终边在（轴上的角Z,2|2kkx轴负半轴）终边在（Z,22|3kky轴正半轴）终边在（Z,22|4kky轴负半轴）终边在（Z,|5kkx轴）终边在（Z,2|6kky轴）终边在（Z,2|7kk）终边在坐标轴（yrxryxxyrxryyxryxPsin1csc;cos1seccot;tan;cos;sin),(22令终边任取一点在角任意角三角函数概念sinoscantotcecsscc1正弦、余弦、正切函数的值在各象限正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号：的符号：xOy sinxOy tanxOy cos （1 1）正弦函数值的符号与）正弦函数值的符号与y的符号相

17、同；的符号相同；余弦函数的符号与余弦函数的符号与x的符号相同；的符号相同；（2 2）三角函数正值口诀：一全正、二正）三角函数正值口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦弦、三正切、四余弦221、任意角的概念、任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。个位置旋转到另一个位置所成的图形。OAB2、正角、负角、零角、正角、负角、零角 按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按逆时针方向旋转所成的角叫正角； 按顺时针方向旋转所成的角叫负角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角； 一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零一条射线没有作任何旋转而形成

18、的角叫零角。角。3、(1)象限角象限角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。象限角。3、(2)轴线角轴线角 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，如果角的终边落在轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限，坐标轴上，这时这个角不属于任何象限，我们称之为轴线角。我们称之为轴线角。4、终边相同的角 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构

19、成一个集合： 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同； 终边相同的有无数多个，它们相差360的整数倍。ZkkS,360|ZkkS,2|象限角的表示象限角的表示Zkkk,36090360|第一第一象限象限Zkkk,222|第二第二象限象限Zkkk,36018036090|Zkkk,222|第三第三象限象限Zkkk,360270360180|Zkkk,2232|第四第四象限象限Zkkk,360360360270|Zkkk,22223|解：（解：（1）因为当）因为当=0时，时，x=r，y=0 .所以所以例例3. 求下列各角三角函数值：求下列各角三角函数值：（1）0；（2）；（；（3） 23

20、sin0=0，cos0=1，tan0=0，（2）因为当）因为当=时，时，x=r，y=0 .所以所以sin=0，cos=1，tan=0， （3）因为当）因为当= 时，时，x=0，y=r .所以所以23sin =1，cos =0，tan 不存在不存在2323235、弧度制、弧度制1、1弧度的角弧度的角3、换算公式、换算公式2、弧长公式、弧长公式规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做规定：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；弧度的角；问题：一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于问题：一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？弧度吗？为什么？RlRllR lRRS21

21、212扇形radrad01745. 01801185730.571rad演示演示6、弧度数 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零；的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零； 角的概念推广后，无论是用角度制还是用角的概念推广后，无论是用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数弧度制，都能在角的集合与实数R之间建之间建立一种一一对应的关系。立一种一一对应的关系。 用弧度制表示角时，不能与角度制混用。用弧度制表示角时，不能与角度制混用。 例例1. 1.若若是第三象限的角，问是第三象限的角，问/2/2是哪个象限的是哪个象限的角角?2?2是哪个象限的角是哪个象限的角? ? 例题示范l 终边相同的角一定相等终边相同的角一定相等l 第一象限的角都是锐角第一象限的角都是锐角l 锐角都是第一象限的角锐角都是第一象限的角A. 小于小于90的角都是锐角的角都是锐角例例1 (1)下列各命题正确的是下列各命题正确的是例题示范PNMA.例例4 (3) 已知集合已知集合第一象限角第一象限角,N锐角锐角,P小于小于90角角,则下列关系式中则下列关系式中正确的是正确的是NPMC.PPND.PMB. 考向一象限角的判定考向一象限角的判定 【答案】四二2是第一或第二象限角或y轴非负半轴上的角 4sin 2cos 3tan 4的值()