江苏省数学填空题压轴题

1、-作者xxxx-日期xxxx江苏省数学填空题压轴题【精品文档】高考数学学填空压轴题常见题型复习指导题1(苏锡常镇四市一模) 设mN，若函数存在整数零点，则m的取值集合为 题2(淮安市一模) 已知数列an，bn满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有ai+bj=ak+bl，则的值是 变式1 已知数列an，bn满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有ai-bj=ak-bl，则的值是 变式2 已知数列an，bn满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有aibj

2、=akbl，记cn=，则数列cn的通项公式是 题3(常州市一模) 若对任意的xD，均有f1(x)f(x)f2(x)成立，则称函数f(x)为函数f1(x)到函数f2(x)在区间D上的“折中函数”已知函数f(x)=(k-1)x-1，g(x)=0，h(x)=(x+1)lnx，且f(x)是g(x)到h(x)在区间1，2e上的“折中函数”，则实数k的取值范围为 题4(泰州市一模) 已知O是锐角ABC的外接圆的圆心，且A=，若，则m= (用表示) 题5(南京市一模) 若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：P，Q都在函数f(x)的图象上；P，Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数的一个“友好点对”(点对(P

3、，Q)与点对(Q，P)为同一个“友好点对”)已知函数则的“友好点对”有 个 题6(镇江市一模) 直线l与函数()的图象相切于点A，且lOP，O为坐标原点，P为图象的极值点，l与x轴交于点B，过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则= 题7(扬州市一模) 若函数f(x)=x3-ax2(a>0)在区间上是单调递增函数，则使方程f(x)=1000有整数解的实数a的个数是 题8(苏州市一模) 在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线上的一个动点，过P作切线与两个坐标轴交于A，B两点，则AOB的面积的最小值是 题9(盐城市一模) 已知函数，设，且函数F(x)的零点均在区间内，则的最小值为 题10(

4、南通市一模) 已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值是 变式1 在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，AD=kAC(k为常数，且0<k<1)，BD=l为定长，则ABC的面积的最大值为 变式2 在正三棱锥P-ABC中，D为线段BC的中点，E在线段PD上，PE=kPD(k为常数，且0<k<1)，AE=l为定长，则该棱锥的体积的最大值为 题11(无锡市一模) 已知函数f(x)=|x2-2|，若f(a)f(b)，且0ab，则满足条件的点(a，b)所围成区域的面积为 题12(高三百校大联考一模) 若函数f(x)=|sinx|(x0)的图象与过原点的直线

5、有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为，则= 题13(苏北四市二模) 已知函数，且，则满足条件的所有整数的和是 题14(南京市二模) 已知函数f(x)=(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是 变式 已知函数f(x)=(xN*)，且f(x)min=3，则实数a的取值集合是 题15(盐城市二模)已知函数f(x)=cosx，g(x)=sinx，记Sn=，Tm=S1+S2+Sm若Tm<11，则m的最大值为 题16(苏锡常镇四市二模) 已知m，nR，且m+2n=2，则的最小值为 题17(南通市二模) 在平面直角坐标系xOy中，设A，B，C是圆x2+y2=1上相异三点，若

6、存在正实数，使得，则2+(-3)2的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 8 12 16 20 24 20 28 36 44 48 64 80 图1题18(苏北四市三模) 如图1是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为 题19(南京市三模) 如图2，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O 的直线MN分别交正方形的边AB，CD于点M，N，则当取最小值时，CN= ABCDONM图2题20(南通市三模) 定义在上的函数f(x)满足：

7、f(2x)=cf(x)(c为正常数)；当2x4时，f(x)=1-|x-3|若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条直线上，则c= 题21定义在上的函数f(x)满足：f(2x)=cf(x)(c为正常数)；当2x4时，f(x)=1-|x-3|若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数c= 题22(扬州市三模) 设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意xD，都有x+kD，且f(x+k)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=|x-a|-2a，若f(x)为R上的“2011型增

8、函数”，则实数a的取值范围是 题23(徐州市三模) 若关于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有实数根，则实数a的取值范围为 题24(南通市最后一卷) 函数f(x)=的最大值与最小值的乘积是 题25(淮安市四模) 已知函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+|100x-1|，则当x= 时，f(x)取得最小值 高考数学填空题压轴题常见题型复习指导题1(苏锡常镇四市一模) 设mN，若函数存在整数零点，则m的取值集合为 解 当xZ，且x10时，Z若m=0，则x= -5为函数f(x)的整数零点若m0，则令f(x)=0，得m=N注意到-5x10，且N，得x1，6，9，10，此时m3，

9、14，30故m的取值集合为0，3，14，30注 将“mN”改为“mN*”，即得2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷的填空题的压轴题：已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值是 题2(淮安市一模) 已知数列an，bn满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有ai+bj=ak+bl，则的值是 解 依题设，有bn+1-bn=a2-a1=1，从而数列bn是以2为首项，1为公差的等差数列同理可得，an是以1为首项，1为公差的等差数列所以，数列an+bn是以3为首项，2为公差的等差数列所以，=2013变式1 已知数列an，bn满足a1=1，a2=

10、2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有ai-bj=ak-bl，则的值是 略解 依题设，有ai-bj=aj-bi，于是ai+bi=aj+bj，所以an+bn=3，=3变式2 已知数列an，bn满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时都有aibj=akbl，记cn=，则数列cn的通项公式是 略解 由a2bn=a1bn+1，得，故bn=2n同理，an=，通项公式为题3(常州市一模) 若对任意的xD，均有f1(x)f(x)f2(x)成立，则称函数f(x)为函数f1(x)到函数f2(x)在区间D上的“折中函数”已知函数f(x)=(

11、k-1)x-1，g(x)=0，h(x)=(x+1)lnx，且f(x)是g(x)到h(x)在区间1，2e上的“折中函数”，则实数k的取值范围为 解 依题意，有0(k-1)x-1(x+1)lnx在x1，2e上恒成立当x1，2e时，函数f(x)=(k-1)x-1的图象为一条线段，于是解得k2另一方面，k-1在x1，2e上恒成立令m(x)=，则因1x2e，故0，于是函数为增函数所以>0，0，m(x)为1，2e上的增函数所以k-1m(x)min=m(1)=1，k2综上，k=2为所求题4(泰州市一模) 已知O是锐角ABC的外接圆的圆心，且A=，若，则m= (用表示)解法1 如图1，作OEAC交AB于

12、E，作OFAB交AC于FABCOEFD图1由正弦定理，得 又AOE=OAF=，所以，所以同理，因，故因，故上式可化为，即，所以m=sin解法2 将等式两边同乘以，得，即由正弦定理，得m=cosBsinC+cosCsinB=sin(B+C)=sinA=sin解法3 将已知等式两边平方，得由正弦定理，得m2=sin2A=注意到m>0，故m=sin注 1本题虽难度较大，但得分率却较高其主要原因是考生利用了特值法，令ABC为正三角形，即得m=，于是猜测m=sin2题中三种解法均是处理向量问题最常用的基本方法，解法1用的是平面向量基本定理，从不同侧面表示；解法2与解法3，是或将向量等式两边同乘某个

13、向量，或将等式两边同时平方，进而达到去除向量的目的题5(南京市一模) 若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：P，Q都在函数f(x)的图象上；P，Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数的一个“友好点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)为同一个“友好点对”)已知函数则的“友好点对”有 个xyOx=-1y1y2图2解 设x<0，则问题化归为关于x的方程，即()有几个负数解问题记，当时，所以函数的图象与的图象有两个交点(如图2)，且横坐标均为负数，故所求“友好点对”共有2个题6(镇江市一模) 直线l与函数()的图象相切于点A，且lOP，O为坐标原点，P为图象的极值点，l与x轴交于点B，过切点A作

14、x轴的垂线，垂足为C，则= AOCBPlxy图3解 如图3，为极值点，设点A(x0，sinx0)，则过点A的切线l的斜率为于是，直线l的方程为令y=0，得，从而BC=BC2=题7(扬州市一模) 若函数f(x)=x3-ax2(a>0)在区间上是单调递增函数，则使方程f(x)=1000有整数解的实数a的个数是 解 令由，得x=0或于是，f(x)的单调增区间为和所以，即0<a10因f(x)的极大值为f(0)=0，故f(x)=1000的整数解只能在上取得令x3-ax2=1000，则a=令g(x)=，则>0，故g(x)在为增函数因g(10)=0，g(15)=，故方程f(x)=1000的

15、整数解集为11，12，13，14从而对应的实数a亦有4个不同的值题8(苏州市一模) 在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线上的一个动点，过P作切线与两个坐标轴交于A，B两点，则AOB的面积的最小值是 解 设P(a，-a3+1)，0<a<1，则切线方程为y= -3a2x+2a3+1于是，两交点分别为(0，2a3+1)，(，0)，令=0，得a=，且可判断此时S取最小值，值为题9(盐城市一模) 已知函数，设，且函数F(x)的零点均在区间内，则的最小值为 解 =当x0时，；当-1<x<0时，；当x<-1时，故函数f(x)为R上的增函数，于是函数f(x)在R上最多只

16、有一个零点因f(0)=1>0，f(-1)=<0，故f(0)f(-1)<0，因而f(x)在R上唯一零点在区间(-1，0)上，于是f(x+3)的唯一零点在区间(-4，-3)上同理可得，函数g(x)为R上的减函数，于是函数f(x)在R上最多只有一个零点又g(1)=>0，g(2)=<0，于是g(1)g(2)<0，因而g(x)在R上唯一零点在区间(1，2)上，于是g(x-3)的唯一零点在区间(4，5)上所以，F(x)的两零点落在区间-4，5上，b-a的最小值为9注 不少考生想对复杂的函数表达式进行求和变形化简，结果当然是徒劳而返，得分率非常低导数法是解决高次函数或复杂

17、函数的强有力的工具题10(南通市一模) 已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值 是 GEABCF图4解 (本题解法很多，仅给出平几解法)如图4，ABC中，E，F分别为底BC与腰AC的中点，BF与AE交于点G，则G为ABC的重心，于是BG=CG=，且AE=3GE所以，当且仅当BGC=，即BGGC时，ABC的面积取最大值2变式1 在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，AD=kAC(k为常数，且0<k<1)，BD=l为定长，则ABC的面积的最大值为 略解 如图5，以B为原点，BD为x轴建立直角坐标系xBy设A(x，y)，y>0因AD=kAC =kAB，故

18、AD2=k2AB2，于是(x-l)2+y2=k2(x2+y2)DABCxy图5所以，=，于是，变式2 在正三棱锥P-ABC中，D为线段BC的中点，E在线段PD上，PE=kPD(k为常数，且0<k<1)，AE=l为定长，则该棱锥的体积的最大值为 ABCPDEOF图6G略解 如图6，因PE=kPD，故EG=kOD因AO=2OD，故，于是因，故，从而=所以，因，故AF=于是，=(当且仅当FA，FB，FC两两垂直时，“”中取“=”)，所以，于是所求的最大值为注 本题的原型题，可能来自于2008年江苏高考数学题：满足条件AB=2，AC=的ABC的面积的最大值为 题11(无锡市一模) 已知函数

19、f(x)=|x2-2|，若f(a)f(b)，且0ab，则满足条件的点(a，b)所围成区域的面积为 22Oab图7解 易知f(x)在上为减函数，在上为增函数，于是a，b不可能同在上若0ab，则2-a22-b2恒成立，它围成图7中的区域；若0ab，则2-a2b2-2，即a2+b24，它围成图7中的区域综上，点(a，b)所围成的区域恰好是圆a2+b2=4的故所求区域的面积为题12(高三百校大联考一模) 若函数f(x)=|sinx|(x0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为，则= AxyOy=kxy=sinx2图8解 依题意，画出示意图如图8所示于是，且A(，-sin)为直线

20、y=kx与函数y= -sinx()图象的切点在A点处的切线斜率为，故=tan所以，=2题13(苏北四市二模) 已知函数，且，则满足条件的所有整数的和是 解 因f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数记g(x)=，h(x)=当x0时，g(x+1)-g(x)=|x+2012|-|x+1|=2011，h(x+1)-h(x)=|x|-|x-2011|=所以，f(x+1)-f(x)=所以，f(0)=f(1)<f(2)<f(3)<又当0x1时，f(x)=，故或且aN*，解得a=1，2，3，所以结果为6注 本题也可以这样思考：从最简单的先开始先研究函数与函数的图象与性质，它们都是“平底锅型

21、”，进而猜测函数的图象与性质，并最终得以解决问题题14(南京市二模) 已知函数f(x)=(aR)，若对于任意的xN*，f(x)3恒成立，则a的取值范围是 解 因xN*，故由f(x)3恒成立，得a，故a当x取最接近于的整数，即x=3时，取最大值，于是a变式 已知函数f(x)=(xN*)，且f(x)min=3，则实数a的取值集合是 略解 首先a另一方面，xN*，使f(x)3能成立，即a能成立，于是a=所以，a的取值集合是题15(盐城市二模) 已知函数f(x)=cosx，g(x)=sinx，记Sn=，Tm=S1+S2+Sm若Tm<11，则m的最大值为 解 =1= -1所以，Sn=，Tm=令Tm

22、<11，则正整数m的最大值为5注 本题的难点在于复杂的Sn的表达式去掉求和符号，展开表达式，化抽象为具体，进而识得庐山真面目题16(苏锡常镇四市二模) 已知m，nR，且m+2n=2，则的最小值为 解法1 设x=m，y=2n，则问题等价于：已知x+y=2，求的最小值令S=，T=，则S-T=0，即ST另一方面，S+T=8，故S4，当且仅当x=y=1时取等号所以的最小值为4解法2 考虑到对称性，不妨取m1令g(m)=，m1则0所以函数g(m)(m1)为增函数，故注 这道题虽然正面求解难度较大，但得分率却相当的高究其原因大致为：当考生经过变元后，得问题为“已知x+y=2，求的最小值”，它具有某种

23、对称性，凭直观猜测：让x=y=1，一举得到所求结果题17(南通市二模) 在平面直角坐标系xOy中，设A，B，C是圆x2+y2=1上相异三点，若存在正实数，使得，则2+(-3)2的取值范围是 1PAO图101-=1+=1-=1ACBxOyA1B1图9解法1 如图9，作，连B1C，A1C，则，因三点A，B，C互异，且，故O，C，B1构成三角形的三个顶点，且，于是由三角形的边与边之间的关系有（）如图10的阴影部分表示不等式组（）所表示的区域，P(，)为阴影部分内的动点，定点A(0，3)，则2+(-3)2=AP2点A(0，3)到直线-=1的距离d=，AP>d=，故2+(-3)2>2，从而2

24、+(-3)2的取值范围为解法2 依题意，B，O，C三点不可能在同一条直线上所以=cosBOC(-1，1)又由，得，于是记f()=2+(-3)2=于是，f()>2，且f()<=，无最大值 1 2 3 4 5 6 7 3 5 7 9 11 13 8 12 16 20 24 20 28 36 44 48 64 80 图11故2+(-3)2的取值范围为题18(苏北四市三模) 如图11是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为 解法1 记第n行第m个数为an，m

25、为了得到a13，10，则第1行必须写满22个数观察可得：a13，1+a13，10=2(a12，1+a12，11)=22(a11，1+a11，12)=212(a1，1+a1，22)=23×212所以，a13，1+a13，10=23×212另一方面，a13，10=a13，1+9×212联立解得 a13，10=216解法2 记第n行的第1个数为ann12345an1=2×3=3×18=4×220=5×448=6×8于是，猜测因第n行的数从左到右排列成公差为的等差数列，故第13行第10个数为解法3 记第n行的第1个数为an

26、，数列an的前n项和为Sn，则所以，Sn+1-2Sn=2n，又，故，Sn=所以，下同解法2ABCDONM图12题19(南京市三模) 如图12，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O 的直线MN分别交正方形的边AB，CD于点M，N，则当取最小值时，CN= 解法1 设CN=x，则BM=DN=1-x作MPDC交DC于点P，则PN=2x-1所以，MN2=1+(2x-1)2=4x2-4x+2，BN2=x2+1，=(其中t=)，当且仅当，即t=，x=时，取最小值，所以CN=解法2 设CBN=()，则BN=，DN=1-tan，MN=所以，=，其中，当时，取最小值，此时=2解，得=为所求(另一解为负，舍

27、去)题20(南通市三模) 定义在上的函数f(x)满足：f(2x)=cf(x)(c为正常数)；当2x4时，f(x)=1-|x-3|若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条直线上，则c= 解 可求得，当x(nN*)时， f(x) =记函数f(x) =(x，nN*)图象上极大值的点为Pn(xn，yn)令，即xn=时，yn=，故Pn(，)分别令n=1，2，3，得 P1(，)，P2(3，1)，P3(6，c)由(k表示直线的斜率)得，c=2或c=1当c=2时，所有极大值的点均在直线上；当c=1时，yn=1对nN*恒成立，此时极大值的点均在直线y=1上题21定义在上的函数f(x)满足：f(2x)=cf(x)

28、(c为正常数)；当2x4时，f(x)=1-|x-3|若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数c= 略解 以原点为顶点的抛物线方程可设为x2=py(p0)或y2=qx(q0)若Pn(，)在抛物线x2=py(p0)上，则()2=，即对nN*恒成立，从而c=4；若Pn(，)在抛物线y2=qx(q0)上，则()2=，即对nN*恒成立，从而c=综上，c=4或题22(扬州市三模) 设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意xD，都有x+kD，且f(x+k)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=|x-a|-2a，若f(x)为R上的“2011型增函数”，则实数a的取值范围是 解 若a0，则f(x)在x>0时为增函数，故对任意正实数k，不等式f(x+k)>f(x)恒成立3a-3aOxyka3a-k图13若a>0，则函数y=f(x+k)的图象可由函数y=f(x)的图象向左平移k个单位而得(如图13)因k=2011，故仅当2011>6a时，f(x+2011)>f(x)，所以此时0<a<综上，实数a的取值范围是a<题23(徐州市三模)