2412垂径定理推论2

1、1.垂径定理的内容是什么垂径定理的内容是什么?画出适合题意的画出适合题意的图形图形,用符号语言表示出来用符号语言表示出来.垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦, ,且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧. .oabcdecdab, cd是直径是直径,ae=be, ac =bc, ad=bd.符号语言符号语言图形语言图形语言温故而知新温故而知新垂径定理推论垂径定理推论 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂的直径垂直于弦直于弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 cdab,cdab, cd cd是直径，是直径， ae=be ae=be ac =bc, ac =bc,

2、ad =bd.ad =bd.oabcde（1 1）如何证明？）如何证明？oabcde已知：已知：如图，如图，cdcd是是o o的直径，的直径，abab为弦为弦，且，且ae=be.ae=be.证明：证明：连接连接oaoa，obob，则，则oa=oboa=ob ae=be ae=be cdab cdab ad=bd, ad=bd, 求证：求证：cdabcdab，且，且ad=bd,ad=bd, ac =bc ac =bc ac =bc ac =bc（2 2）“不是直径不是直径”这个条件能去掉吗？如这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。果不能，请举出反例。 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径

3、垂直于的直径垂直于弦弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。oabcd cd cd是直径是直径, , cdab, cdab, am=bm am=bm ac=bc,ac=bc, ad=bd.ad=bd. 如果具备上面五个条件中的任何两个，那如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线一条直线满足满足:(1):(1)过圆心过圆心;(2);(2)垂直于弦垂直于弦;(3);(3)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）; (4); (4)平分弦所对优弧平分弦所对优弧;(5);(5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧. .oabcd

4、m课堂讨论课堂讨论根据已知条件进行推导：根据已知条件进行推导：过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧（1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。（3 3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2 2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。只要具备上述五个条件中任两个只要具备上述五个条件中任两个

5、,就可以推出其余三个就可以推出其余三个.(4)若若 ，cd是直径是直径,则则 、 、 .(1)若若cdab, cd是直径是直径, 则则 、 、 .(2)若若am=mb, cd是直径是直径, 则则 、 、 .(3)若若cdab, am=mb, 则则 、 、 .1.如图所示如图所示:练习练习oabcdmam=bm ac=bc ad=bd cdab ac=bc ad=bd cd是直径是直径 ac=bc ad=bd ac=bc cdabam=bm ad=bd 试一试试一试2.判断：判断：( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分并且平分 弦所对的两条弧弦所对的两条弧.(

6、)(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧这条弦所对的另一条弧.( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行则这两条弦平行. ( )(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. 3 3、如图，点、如图，点p p是半径为是半径为5cm5cm的的o o内一点，且内一点，且op=3cm, op=3cm, 则过则过p p点的弦中，点的弦中，（1 1）最长的弦）最长的弦= = cmcm（2 2）最短的弦）最短的弦=

7、= cmcm（3 3）弦的长度为整数的共有（）弦的长度为整数的共有（ ） a a、2 2条条 b b、3 3条条 c c、4 4条条 d d、5 5条条?o?paocd54p3b4 4、如图，点、如图，点a a、b b是是o o上两点，上两点，ab=8,ab=8,点点p p是是o o上的动点（上的动点（p p与与a a、b b不重合）不重合）, ,连接连接apap、bp,bp,过点过点o o分别作分别作oeapoeap于于e,ofbpe,ofbp于于f,f,efef= = 。?o?a?b?p?e?f4船能过拱桥吗船能过拱桥吗? ?例例3.3.如图如图, ,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,

8、 ,桥下水面宽为桥下水面宽为7.27.2米米, ,拱顶高出水面拱顶高出水面2.42.4米米. .现有一艘宽现有一艘宽3 3米、米、船舱顶部为长方形并高出水面船舱顶部为长方形并高出水面2 2米的货船要经米的货船要经过这里过这里, ,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？船能过拱桥吗船能过拱桥吗解解: :如图如图, ,用用 表示桥拱表示桥拱, , 所在圆的圆心为所在圆的圆心为o,o,半径为半径为rm,rm,经过圆心经过圆心o o作弦作弦abab的垂线的垂线od,dod,d为垂足为垂足, ,与与 相交于点相交于点c.c.根根据垂径定理据垂径定理,d,d是是abab的中点的中点,c,

9、c是是 的中点的中点,cd,cd就是拱高就是拱高. .由题设得由题设得abababab. 5 . 121, 4 . 2, 2 . 7mnhncdababad21, 6 . 32 . 721dcocod. 4 . 2 r在在rtoad中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222odadoa.)4 . 2(6 . 3222rr即解得解得 r3.9（m）. 在在rtonh中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,22hnonoh. 6 . 35 . 19 . 322oh即. 21 . 25 . 16 . 3dh此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.oabc 已知已知a、b、c是是 o上三点，

10、且上三点，且ab=ac，圆心圆心o到到bc的距离为的距离为3厘米，圆的半径为厘米，圆的半径为5厘厘米，求米，求ab长。长。dd试一试试一试oabcoaboab 已知已知 o的半径为的半径为5厘米，弦厘米，弦ab的长为的长为8厘米，厘米，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。离。 eedd练习练习1.已知已知p为为 o内一点，且内一点，且op2cm，如果如果 o的半径是的半径是3cm,那么过那么过p点的点的最最短的弦短的弦等于等于.edcbapo2 5cm2.过过 o内一点内一点m的最长弦长为的最长弦长为4厘米，最短厘米，最短弦长为弦长为2厘米，则厘米，

11、则om的长是多少？的长是多少？oma某圆直径是某圆直径是10,内有两条平行弦内有两条平行弦,长度分别为长度分别为6和和8求这两条平行弦间的距离求这两条平行弦间的距离. 回顾与思考回顾与思考这节课你有什么收获？这节课你有什么收获？还有哪些疑问？还有哪些疑问？1.1.过过o o内一点内一点m m的最长的弦长为的最长的弦长为1010, ,最短弦长为最短弦长为8 8, ,那么那么o o的半径是的半径是2.2.已知已知o o的弦的弦ab=6ab=6, ,直径直径cd=10cd=10, ,且且abcd,abcd,那那么么c c到到abab的距离等于的距离等于3.3.已知已知o o的弦的弦ab=4ab=4, ,圆心圆心o o到到abab的中点的中点c c的距离为的距离为1 1, ,那么那么o o的半径为的半径为4.4.如图如图, ,在在o o中弦中弦abac,abac,omab,onac,omab,ona