推荐附录平面图形的几何性质

1、1附录附录 i i平面图形的几何性质平面图形的几何性质2 i-1 静矩和形心静矩和形心 i -2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径 i-4 平行移轴公式平行移轴公式 3oxyi-1 静矩和形心静矩和形心一一, 定义定义da xy截面对截面对 y , x 轴的轴的静矩静矩为为： ayxdas axydas静矩可正，可负，也可能等于零静矩可正，可负，也可能等于零。4xyo da xyy yxcasaxdaxya asaydayxa xasy yasx 截面的形心截面的形心 c 的坐标公式为的坐标公式为：5xyo da xyy yxc截面对通过形心的轴的静矩等于零。截面对通过形心的轴的静矩等于零。若

2、截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。xasy yasx 6 二二, 组合截面组合截面 由几个简单图形组成的截面称为组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截面对于同一轴的静矩。截面对于同一轴的静矩。7其中：其中： ai 第第 i个简单截面面积个简单截面面积 第第 i个简单截面的形心坐标个简单截面的形心坐标)(yxii组合截面静矩的计算公式为组合截面静矩的计算公式为xasiniiy 1 niiixyas18 计算组合截面形心坐标的公式如下：计算组合

3、截面形心坐标的公式如下： niiniiiaxax11 niiniiiayay11asaxdaxya asaydayxa xasiniiy 1 niiixyas191010120o解：解： 将截面分为将截面分为 1，2 两个矩形。两个矩形。12yx例例 1-1 试确定图示截面形心试确定图示截面形心 c 的位置的位置。 取取 x 轴和轴和 y 轴分别与截面轴分别与截面的底边和左边缘重合的底边和左边缘重合8010aaxaxaaxaxniiniii21221111 aayayay212211 1010120o12x2y2x1y1yx8011矩形矩形 1mma21120012010 mmx51 mmy6

4、01 矩形矩形 2mma227007010 mmx45270102 mmy52 1010120o12x2y2x1y1yx8012所以所以mmaayayaymmaaxaxax4019007550020190037500212211212211 1010120o12x2y2x1y1yx8013 i2 惯性矩和惯性半径惯性矩和惯性半径 xy0daxy 截面对截面对 o 点的极惯性矩为点的极惯性矩为定义：定义：dayidaxiaaxy22 截面对截面对 y ,x轴的惯性矩分别为轴的惯性矩分别为daapi214i = ix + iy所以所以 xy0daxy yx222xydaiaxy 截面对截面对 x

5、, y 轴的惯性积为轴的惯性积为15xydxdxydadaaiiyy 截面对截面对 x , y 轴的轴的惯性半径（回转半径）惯性半径（回转半径）为为aiixx 16da = b dy解解：bhxycydy1232222bhdybydayihhax dayiax 2123hbiy 例例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。轴的惯性矩。17 所以所以644diiyx 324dipiiiyxiiyx 解：因为截面对其圆心解：因为截面对其圆心 o 的极惯性矩为的极惯性矩为 例例 2 - 2 求圆形截面对其对称轴的惯性矩求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。yxd18

6、xyoc(a,b)ba一一 。平行移轴公式。平行移轴公式（a , b ) _ 形心形心 c 在在 xoy 坐标系下的坐标系下的 坐标。坐标。i4 平行移轴公式平行移轴公式x, y 任意一对坐标轴任意一对坐标轴c 截面形心截面形心19 则平行移轴公式为则平行移轴公式为aaiixcx2 abiiycy2 abaiiyxccxy xyoc(a,b)baycxc20二。二。组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩 惯性积惯性积 ixi , iyi , 第第 i个简单截面对个简单截面对 x ,y 轴的惯性矩轴的惯性矩、 惯性积。惯性积。ixyi nixixii1 niyiyii1 nixyixyii1组合截面的惯性矩，惯性积组合截面的惯性矩，惯性积21例例 4 -1 求梯形截面对其形心轴求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。的惯性矩。解解：将截面分成两个截面将截面分成两个截面。截面的形心必在对称轴截面的形心必在对称轴 zc 上上。取过矩形取过矩形 2 的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作 y轴轴 。2014010020y21zcyc140201 a801 z201002 a02 zmmaazazazc746212211. 所以截面的形心坐标为所以截面的形心坐