极限存在准则两个重要极限公式

1、第六节 极限存在准则 两个重要极限 第一章第一章 （existence criteria for limits & two important limits）二、两个重要极限二、两个重要极限一、极限存在的两个准则一、极限存在的两个准则三、内容小结三、内容小结1. 夹逼准则夹逼准则(两边夹法则两边夹法则;三明治法则三明治法则)准则准则iazynnnnlimlim)2(),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim证证: 由条件由条件 (2) ,0,1n当当1nn 时时,ayn当当2nn 时时,azn令令,max21nnn 则当则当nn 时时, 有有,ayan,azan由条件由条件

2、(1),nnnzxya a即即,axn故故 .limaxnn,2n我们可将我们可将准则准则i推广到函数的情形：推广到函数的情形：准则准则i,),(0时当xxaxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfaxfxx)(lim0(0)xx()x ()x ()x 且且注意注意:准则准则i和和准则准则i统称为统称为夹逼准则夹逼准则.,的极限是易求的的极限是易求的.与与且且与与关键关键:构造出构造出利用夹逼准则求极限的利用夹逼准则求极限的nynznynz例例1222111lim().12nnnnn求求解：解：2222111nnnnnnnn+l因为nnnnnn111limlim2

3、又又, 1 由由夹逼准则夹逼准则得得. 1)12111(lim222 nnnnn解解: 运用夹逼准则运用夹逼准则 .nnnnn2221211且且nnnn22limnn11lim1nnnn22212111由由思考题：思考题：？1211lim222nnnnnn2nnnl i mn故2nnnnp+夹逼准则不仅说明了极限存在，夹逼准则不仅说明了极限存在， 而且给出了求极限的而且给出了求极限的方法方法 下面利用它证明另一个重要的下面利用它证明另一个重要的1sincosxxx圆扇形圆扇形aob的面积的面积0sinlim1xxx证证: 当当即即xsin21x21xtan21亦即亦即)0(tansin2xxx

4、x),0(2x时，时，)0(2 x0l i m cos1xx=由0si nl i m1xxx=即得显然有显然有aob 的面积的面积aod的面积的面积dcbax1oxxxcos1sin1故有故有极限公式：极限公式： 当20 x时xxcos1cos102sin22x222x22x0l i m (1cos )0 xx-=于是注.tanlim0 xxx例例2 求求解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3 求求.arcsinlim0 xxx解解: 令令,arcsin xt 则则,sintx 因此因此原式原式tttsinlim0 1l

5、im0tttsin1注注: 利用变量代换，可得更一般的形式利用变量代换，可得更一般的形式( )0sinli)m)1(xxx0sin3limsin5xxx例例4 求求解解:0sin3limsin5xxx03sin35lim53sin5xxxxx003sin35limlim53sin5xxxxxx35例例5 求求201 coslim.xxx解解:2202sin2limxxx原原式式220sin12lim22xxx20sin12lim22xxx2112122. 单调有界准则单调有界准则数列数列:nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少准则准则i i 单调单调有

6、界有界数列必有极限数列必有极限单调单调上升有上界上升有上界数列必有极限数列必有极限单调单调下降有下界下降有下界数列必有极限数列必有极限说说 明明:(1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定有界，但有界的数列不一定收敛有界，但有界的数列不一定收敛(2) 利用准则利用准则i i来判定数列收敛必须来判定数列收敛必须同时同时满足满足 数列数列单调单调和和有界有界这两个条件这两个条件 (3) 准则准则 i i只能判定数列极限的存在性，而未给出只能判定数列极限的存在性，而未给出求极限的方法求极限的方法( 1)nnx nxn例如，例如，数列数列，虽然有界但不单调

7、；，虽然有界但不单调；，虽然是单调的，但其无界，虽然是单调的，但其无界，易知，这两数列均发散易知，这两数列均发散数列数列(4) 对于对于准则准则i i ，函数极限根据自变量的不同变化过程函数极限根据自变量的不同变化过程0(,xx0,xx,x ,x )x 也有类似的也有类似的准则，准则，只是准则形式上略有不同只是准则形式上略有不同. 例如，例如，准则准则i i 设函数设函数( )f x0 x( )f x0 x0()f x在点在点的某个左邻域内单调的某个左邻域内单调在在的左极限的左极限必存在必存在并且有界，则并且有界，则作为准则作为准则i i 的应用，我们讨论的应用，我们讨论一个重要极限：一个重要

8、极限：1lim 1?nnn11nnxn11nnxn1111111111nnnnn 首先，证首先，证是单调的是单调的1111111111nnnnn 11111nnxn11nnxn所以，数列所以，数列是单调增加的是单调增加的 11nnxn12nxx11nnyn111nnzn111nnzn111111111111nnnnnnynnnnynz显然，显然，单调性的证明可证得数列单调性的证明可证得数列是单调增加的设数列是单调增加的设数列由于数列由于数列是单调增加的，是单调增加的， 所以数列所以数列是单调减少的是单调减少的.又又11nnxn其次，证其次，证有界有界类似于类似于，则，则1111114nnnnx

9、zznn24nx则则. 综上，综上，根据极限存在准则根据极限存在准则i i 可知，数列是可知，数列是收敛的收敛的.e1lim 1ennn通常用字母通常用字母来表示这个极限，即来表示这个极限，即xy 11xxe1lim 1exxx也可以证明，当也可以证明，当取实数而趋于取实数而趋于或或时，函数时，函数的极限都存在且都等于的极限都存在且都等于 ，即，即10( )lim 1( )exxx（(e2.71828)利用变量代换，可得更一般的形式利用变量代换，可得更一般的形式例例621lim 1.xxx求解解:21lim1xxx( 2)1lim 1xxx 原式2e .例例7 求求131300lim 1lim

10、 133xxxxxx解解:131300lim 1lim 133xxxxxx1330lim 13xxx13e内容小结1. 极限存在的两个准则极限存在的两个准则夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .2. 两个重要极限两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式思考与练习1. 填空题填空题 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx14.lim(1)_.nnn0101e5lim5xxxx解：解： 原式原式 =2. 求求 510lim5xxxx10lim 15xxx05

11、510110lim 15xxx5101051010lim1155xxxx0510110lim 15xxx510lim 15xx10e01lim1xxx 3. 证明证明 证明：证明：xr 1xxx 0 x 1111.xxx 对任一对任一，有，有，则当，则当时，有时，有于是于是, ,（1）当）当0 x 时，时，111(1),xxxxxx 01lim1xxx 0 x 111(1),xxxxxx 01lim1.xxx 由夹逼准则得由夹逼准则得（2）当）当时，时，同样有同样有故极限存在，故极限存在，4. 设设 )(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x, 且且求求.limnnx解：解：设设axnnlim则由递推公式有则由递推公式有)(21aaaaaa)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，数列单调递减有下界，,01x故故axnnlim利用极限存在准则利用极限存在准则,0nx, ),2, 1(0iai证证: 显然显然,1nnxx证明下述