第三章 点线面的投影

1、第三章 点、线、面的投影3-1 点的投影 点是构成立体表面最基本的几何要素。为了正确地画出物体的三视图，必须首先掌握点的投影规律。返回返回O点点A A的水平投影的水平投影 a 点点A A的正面投影的正面投影 a 点点A A的侧面投影的侧面投影 a Ha aa VWXOZYWYHaaaA 一、点的三面投影ayHaxazaxwazaxay点的投影规律点的投影规律返回返回二、点的投影与直角坐标 1、 aaz = aay =Aa = xA 2、 aax = aaz =Aa =yA 3、 aax =aay = Aa=zA VXZYWOayaxazxyzaaaAa a a151710例题一：已知点A（17

2、，10，15），求A点的三面投影。ZXYWYHOa例题二：例题二： 已知点已知点A A的正面与侧的正面与侧面投影，求面投影，求水平投影。水平投影。三、两点的相对位置两点的左、右左、右位置，由X坐标差确定，X坐标值大者在左 ；两点的前、后前、后位置，由Y坐标差确定，Y坐标值大者在前 ；两点的上、下上、下位置，由Z坐标差确定，Z坐标值大者在上。 例题一：判断A、B两点的相对位置。两点中两点中x值大的点值大的点 B B 在左；在左；两点中两点中y 值大的点值大的点 A A 在前；在前； 两点中两点中z 值大的点值大的点 A A 在上。在上。a a ab b bBAa a a985例题二：例题二： 已

3、知已知点点A A在点在点B B之前之前5 5毫毫米，之上米，之上9 9毫米，毫米，之右之右8 8毫毫米，求点米，求点A A的投影。的投影。各种位置点的投影各种位置点的投影返回返回返回返回 直线是构成立体表面的基本要素之一，掌握直线的投影规律是学习立体投影的基础。3-2 3-2 直线的投影直线的投影一、直线的三面投影 1）直线的投影一般仍为直线。 2）线的投影可由直线上两点的同面投影（即同一投影面上的投影）来确定。因空间一直线可由直线上的两点来确定，所以直线的投影也可由直线上任意两点的投影来确定。返回返回二、直线上点的投影 直线上的点的投影具有以下特性： 1）点在直线上，则点的投影必在该直线的同

4、面投影上，且符合点的投影规律。反之，如果点的各投影均在直线的各同面投影上，且符合点的投影规律，则点必在该直线上 。 2) 直线上的点分割直线之比与其投影分割直线投影之比保持不变。 cacX XabcY YY YbO OaZ ZbcAH HacaV VbBabcCbW W例例1：判断点：判断点C是否在线段是否在线段AB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c aa b c bc不在不在应用定比定理应用定比定理另一判断法另一判断法?cc 例例2 2：已知线段：已知线段ABAB的投影图，试将的投影图，试将ABAB分成分成2 21 1两段，两段， 求分点求分点C C的投影的投

5、影c c、c c 。例例3 3：已知点：已知点C C在线段在线段ABAB上，求点上，求点C C 的正面投影。的正面投影。cccabc返回返回三、各种位置直线的投影1、投影面平行线、投影面平行线2、投影面垂直线、投影面垂直线 3、一般位置直线、一般位置直线1、投影面平行线 （1）水平线aababb Xa b ab baOzYHYWAB投影特性：1、ab OX ; ab OYW； 2、 ab=AB； 3、反映、 角的真实大小。（2）正平线aababbXabab baOZYHYWAB 投影特性： 1 ab OX ; a b OZ； 2 a b=AB； 3 反映、角的真实大小。aa b a bbAB投

6、影特性： 1、 ab OZ ; ab OYH； 2、 ab =AB； 3、反映 、 角的真实大小。XZa b bbaOYHYWa（3）侧平线b a(b)a abZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：1、 a b 积聚 成一点； 2、 a bOX ; a b OYW ； 3、 a b = a b = AB。AB（1 1）铅垂线）铅垂线2 2、投影面垂直线、投影面垂直线bababa投影特性： 1、 ab 积聚 成一点； 2、 ab OX ; ab OZ； 3、 ab = ab =AB。ABzXab baOYHYWab（2）正垂线投影特性： 1、 ab 积聚 成一点； 2、 ab OYH ;

7、ab OZ； 3、 ab = ab =AB。ABbaababZXabbaOYHYWab（3）侧垂线ABbbabaaZXabaOYYabb投影特性：1、 a b、 ab、a b均小于实长； 2、a b、ab、a b均倾斜于投影轴； 3、不反映 、 、 实角。3、一般位置直线四、两直线的相对位置1、两直线平行、两直线平行2、两直线相交、两直线相交3、两直线交叉、两直线交叉 空间两直线的相对位置有三种：平行、相交和交叉。 1、若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反之，、若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相

8、互平行。如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。 2、平行两线段之比等于其投影之比。、平行两线段之比等于其投影之比。baadbbccXbaabdcdc1、两直线平行 空间相交的两直线，它们的同面投影也一定相交，交点为两直线的共有空间相交的两直线，它们的同面投影也一定相交，交点为两直线的共有点，且应符合点的投影规律。反之，如果两直线的各组同面投影都相交，且点，且应符合点的投影规律。反之，如果两直线的各组同面投影都相交，且交点符合点的投影规律，则可判定这两直线在空间也一定相交。交点符合点的投影规律，则可判定这两直线在空间也一定相交。bXaabkcddck2、两直线相交3、

9、两直线交叉 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。 b Xa abc d dc11 (2 )2返回返回2-5 平面的投影返回返回一、平面的表示法 平面在投影图上可由下列任何一组几何要素的投影来表示。 1）不在一条直线上的三个点； 2）一直线和直线外一点； 3）相交两直线； 4）平行两直线； 5）平面图形，如三角形、四边形和圆等； 6）用迹线表示。 用（用（1）（5）几何元素表示平面）几何元素表示平面baacbcbaacbcaabcbcabcabcddPPVPHPVPHQVQHQHQVQ用迹线表示平面用迹线表示平面返回返回二、各种位置平面的投影1、投影面平行面、投影面平行面2、投影面垂直面、

10、投影面垂直面3、一般位置平面、一般位置平面 平面对投影面的相对位置有三种：与投影面平行、与投影面垂直和与三个投影面都倾斜。前两种又称为特殊位置平面。 1、投影面平行面（1）水平面）水平面（2）正平面）正平面（3）侧平面）侧平面（1）水平面投影特性： （1） abc、 abc积聚为一条线，具有积聚性； （2） 水平投影 abc反映 ABC实形。 CABabcbacabccabbbaacc（2）正平面 投影特性：投影特性： （1） abc 、 a b c 积聚为一条线，具有积聚性；积聚为一条线，具有积聚性； （2） 正平面投影正平面投影 a b c 反映反映 ABC实形。实形。 cabbacbca

11、bacabcbcaCBA投影特性： （1） abc 、 abc 积聚为一条线，具有积聚性； （2） 侧平面投影 abc 反映 ABC实形 。 （3）侧平面abbbacccabcbacabcCABa2、投影面垂直面（1）铅垂面）铅垂面（2）正垂面）正垂面（3）侧垂面）侧垂面投影特性： （1） abc积聚为一条线； （2） abc、 abc为ABC的类似形； （3） abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小。 PPH（1）铅垂面ABCacbabab bab cccQQV （2）正垂面 投影特性 ： (1) abc 积聚为一条线； (2) abc、 abc为 ABC的类似形； (3) abc与O

12、X、 OZ的夹角反映、 角的真实大小。 AcCabBbababacccSWS （3）侧垂面投影特性： （1） abc积聚为一条线； （2） abc、 abc为 ABC的类似形； （3） abc与OZ、 OY的夹角反映、角的真实大小 。 CabABcbababaccc3、一般位置平面投影特性： （1） abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形； （2）不反映、 的真实角度。 abccabbaaabbccbacABC返回返回三、平面上的点和直线 点和直线在平面上的几何条件是： 1）若点从属于平面上的任一直线，则点从属于该平面。 2）若直线通过属于该平面的两个点，或通过平面上的一个点，且平行于属于该平面的任一直线，则直线属于该平面。例一：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。baca k b c 利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解kd dabca b k k c k例题二：已知ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。ddeeb b例题三：已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面 10，试求点E的投影。mnmnrsrs1015ee例题四：完成四边形的水平投影。返回返回bckada d b c k b解法一解法一:解法二解法二:cada d b c 已知已知ACAC为正