扬州中学高一数学下学期5月月考试卷(含解析)苏教版

1、2012-2013学年江苏省扬州中学高一（下）5月月考数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1. （5分）m为任意实数时，直线（m-1） x+ （2m- 1） y=m- 5必过定点（9, - 4）考点：恒过定点的直线.专题：直线与圆.分析：对于任意实数m,直线（m-1）x+ （2m-1）y=m- 5恒过定点，则与m的取值无关，则将方程转化为（x+2y-1） m+ （x+y-5） =0.让m的系数和常数项为零即可.解答： 解：方程（m 1） x+ （2m- 1） y=m- 5 可化为（x+2y 1） m+ （x+y5） =0ifs+2y * l二口,对于任意实数 m,当q时，直

2、线（mr 1） x+ （2m- 1） y=m- 5恒过定点x+y - 5=0p42y-l=0田.）付.故定点坐标是（9, - 4）.故答案为（9, - 4）.点评：本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解.2. (5 分)函数 y=sin 2x+2cosx (jlwxw3）的最小值为 一2考点：复合三角函数的单调性.专题： 分析： 解答:计算题；三角函数的图像与性质.先将y=sin 2x+2cosx转化为y= - cos2x+2cosx+1 ,再配方，利用余弦函数的单调性求其最小值.解：y=sin 2x+2cosx=一cos2x+2cosx+1=-(cosx - 1) 2+2

3、,71t< x<2'( cosx t ) 2<4, - 4< - ( cosx - 1)阿，-2w2 - ( cosx - 1) 2w_z.42< . .函数 y=sin 2x+2cosx）的最小值为-2.故答案为：-2.点评：本题考查余弦函数的单调性，考查转化思想与配方法的应用，属于中档题.3. （5分）已知数列的前 n项和5刊二门2 四，第k项满足5<ak<8,则k的值为 8考点：等差数列的前n项和.专题：计算题.分析：根据数列的第n项与前n项和的关系可得 a i=si=- 8,当n>2 a n=s - s1=2n - 10,由5v2

4、k-10 v 8求得正整数k的值.解答：解：数列的前n项和网二门2-知， 11=s1=1 9= 8.当 n>2 a n=$ - $ 1=n2 - 9n - （n - 1） 2- 9 （nt） =2n - 10,由5vak<8可得5 <2k- 10<8,解得必vkv9,故正整数 k=8,2点评：本题主要考查数列的第 n项与前n项和的关系，解一元一次不等式，属于基础题.4. (5 分)设直线 li： x+my+6=0和 l 2： (m- 2) x+3y+2m=0,当 m= - 1 时,l i / 12.考点：直线的一般式方程与直线的平行关系.专题：直线与圆.分析：由平行的条

5、件可得： -=叫,应，解后注意验证.m-2 3 2nl解答：解：由平行的条件可得：mi - 2 3由一上m - 2 3解得：m=- 1或m=3;而当m=3时，l i与12重合，不满足题意，舍去，故m=- 1.故答案为：-1.点评：本题考查直线平行的充要条件，其中平行的不要忘记去掉重合的情况，属基础题.c=2a,则cosb的值为5. （5分）若 abc的内角a, b, c的对边分别为a, b, c,且a, b, c成等比数歹u,考点：余弦定理. 专题：计算题.分析：由a, b, c,且a, b, c成等比数列且c=2a可得，b=%亚r，c=2a ,结合余弦定理 比二相2ac解答:可求解：a, b

6、, c,且a, b, c成等比数歹u且 c=2a b2=ac=2a2,b=-72 a, c=2a2a.c点评:故答案为:4本题主要考查了等比中项的定义的应用，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题6. (5分)若函数f (x) =sin wx (> 0)在区间0 ,三上单调递增，在区间工，工上单调递减，则323co= 一 .t考点：由y=asin （x+（）的部分图象确定其解析式.专题：计算题.分析：由题意可知函数在 x0时确定最大值，就是 一2女冗+工，求出的值即可. 532解答：解：由题意可知函数在 x=f时确定最大值，就是 片工工命介+今，kcz,所以co=6kw；只有k=0时，

7、3= e满足选项. 2故答案为：点评：本题是基础题，考查三角函数的性质，函数解析式的求法，也可以利用函数的奇偶性解答，常考题 型.7. (5分)过点a (1, 4)且在x、y轴上的截距相等的直线共有2条.考点：直线的截距式方程.专题：探究型；分类讨论.分析：分直线过原点和不过原点两种情况求出直线方程，则答案可求.解答：解：当直线过坐标原点时，方程为 y=4x,符合题意；当直线不过原点时，设直线方程为x+y=a,代入a的坐标得a=1+4=5.直线方程为x+y=5.所以过点a (1, 4)且在x、y轴上的截距相等的直线共有 2条.故答案为2.点评：本题考查了直线的截距式方程，考查了分类讨论的数学思

8、想方法，是基础题.8. (5分)已知以x, y为自变量的目标函数 z=kx+y (k>0)的可行域如图阴影部分(含边界)，且a (1,2), b (0, 1), c(,，0), d(e, 0), e (2, 1),若使z取最大值时的最优解有无穷多个，则 k= 1.22考点:专题：分析：简单线性规划的应用.图表型.由题设条件，目标函数z=kx+y ,取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数最大值应在右上方边界ae上取到，即2=卜乂+丫应与直线ae平行；进而计算可得答案.解答:解：由题意，最优解应在线段ae上取到，故z=kx+y应与直线ae平行k ae= 1

9、嚏-1,2-1. . 一 k= 1 ).k=1,故答案为：1.点评：本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，知最优解的特征，判断出最优解的位置 求参数.9. (5分)(2005?胡北)设等比数列an的公比为q,前n项和为sn,若s+1,sn,sn+2成等差数列，则q的值为 -2 .考点：等差数列的性质；等比数列的性质. 专题：压轴题；分类讨论.分析：首先由sn+1,$+2成等差数列，可得2sn=sn+1 + sn+2,然后利用等比数列的求和公式分别表示sn+1, s,sn+2,注意分q=1和qwi两种情况讨论，解方程即可.解答：解：设等比数列an的公比为q,前n项和为sn,且$+1

10、,sn,$+2成等差数列，则2sn=sn+1+sn+2,若q=1,则sn=na1,式显然不成立，若qw1,贝u为二一.4.lq1 - q1 - q故 2qn=qn+1+qn+2,即 q2+q- 2=0,因此q= 2.故答案为-2.点评：涉及等比数列求和时，若公比为字母，则需要分类讨论.10. (5分)若三直线x+y+1=0, 2x - y+8=0和ax+3y - 5=0相互的交点数不超过 2,则所有满足条件的 a组成的集合为2 3, - 6考点：两条直线的交点坐标. 专题：计算题；直线与圆.分析:首先解出直线 x+y+1=0与2x- y+8=0的交点，代入 ax+3y - 5=0求解a的值；然

11、后由ax+3y - 5=0分 别和已知直线平行求解 a的值.解答:x4y+l=0-六8二q" 3 y=2所以直线x+y+1=0与2x - y+8=0的交点为(-3, 2), 若直线 ax+3y 5=0 过(3, 2),贝u 3a+6- 5=0,解得 -=- 1， a=3； 3ax+3y - 5=0 过定点(0,g), 3ax+3y 5=0 与 x+y+1=0 平行，得ax+3y - 5=0 与 2x y+8=0 平行，得 一会_1所以满足条件的a组成的集合为, 3, - 6 .3故答案为二，二-6.,-1点评:本题考查了两条直线的交点坐标，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题.(5

12、 分)设 sn=1+2+3+-+n,nc n,则函数f (n)二(口十32)的最大值为工50考八、等差数列的前n项和；函数的最值及其几何意义.计算题.题: 分 析：由题意求出s的表达式，将其代入f (n)(n+3" 与/代简后求其最值即可.解答:解：由题意 s=1+2+3+n=n cn+1)f (il)二snrr+32)£什1(h32) 乂_ 1="64n-f34+ n占八、评:34+16故答案为=50等号当且仅当5。本题考查等差数列的前n项公式以及利用基本不等式求最值，求解本题的关键是将所得的关系式转化为可以利用基本不等式求最值的形式，利用基本不等式求最值是最值

13、的一个比较常用的技巧,是否具备：一正，二定，三相等.其特征是看12. （5分）直线l : x=my+n （n>0）过点a （4, 46），若可行域的外接圆直径为工兔3,则3实数n的值是 2或6考点:专题： 分析：解答:简单线性规划的应用.不等式的解法及应用.令直线l : x=my+n （n>0）与x轴交于b点，则得可行域是三角形 oab根据正弦定理可构造一个关于n的方程，解方程即可求出实数n的值解：设直线l : x=my+n （n>0）与x轴交于b （n, 0）点，,.直线 x=my+n (n>0)经过点 a (4, 4，直线 x=my+n （n>0）经过一、四象

14、限仃），直线 jgx-y=0也经过点a （4, 4 j3）,m< 0可行域是三角形 oab且/aob=60可行域围成的三角形的外接圆的直径为由正弦定理可得,2r- -；2r 二. abe %in /60。=8= 3.n=2 或 6点评:本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中根据已知条件，结合正弦定理，构造关于 程，是解答本题关键.n的方考点:专题： 分析：代入点（a, 0）可得不=1 a b解答:求出满足该式的整数对解：由题意可得直线a, b,则答案可求.l的表达式为y=-上（x-1） +3因为直线l经过（a,a0）,可得上+3=b变形得a=1 ，13. （5分）过点（1, 3）作

15、直线l ,若l经过点（a, 0）和（0, b）,且a, bc n*,则可作出的l的个数为 2条.直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.探究型；直线与圆.由l经过点（a, 0）和（0, b）求出l的斜率，写出直线方程的点斜式,因为a, b都属于正整数，所以只有 a=2, b=6和a=4, b=4符合要求所以直线l只有两条，即 y=- 3 (x-1) +3和y=- (x-1) +3.故答案为2.点评：本题考查了直线的图象特征与直线的倾斜角和斜率的关系，训练了代入法，关键是确定整数解，是 基础题.14. (5分)若a, b, ccr,且满足,:-b° 2ah10一0,则a的取值范围是口 ,用

16、.lb2+bc+ c2_ 1,2a- 15=0考点：函数与方程的综合运用.专题：应用题.分析：根据条件，利用基本不等式，可将问题转化为关于 a的不等式，解之，即可得到a的取值范围.解答： 解：:a 2-bc-2a+10=0,bc=a2- 2a+10,.b2+bc+c2- 12a- 15=0.b 2+bc+c2=12a+15.b 2+bc+c2 > bc+2bc=3bc.-12a+15>3 ( a22a+10)2 a - 6a+5w 01 1 w a w 52 .a的取值范围是1 , 5故答案为：1 , 5点评：本题以等式为载体，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，利用

17、基本不等式，将 问题转化为关于a的不等式是解题的关键.二、解答题(共6小题，满分90分)15. (14 分)已知函数 f (茎)=sin (行工+cos(,冗一,x c r.44(1)求f (x)的最小正周期和最小值；(2)已知匚口5 (b - 仃)4 皿(b 十口)二一春求 f(3)的值.考 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性.点' 专计算题.题：j (1)由辅助角公式对已知函数化简可得，f (x)=-(芯,结合正弦函数的性质可求周期、函数的最大值(2)由已知利用和角与差角的余弦公式展开可求得cos a cos 3=0,结合已知角a, 3的范围可

18、求3,代入可求f (3)的值.斛 解：(1) - f ( k)=3in (肝卫l(k-)答：'_ .7兀,t冗3n. .3八=sinxc0s 二二 j 十-一二3 r -i 二一-史.一返 一迎 工迪.simcosu+-sirntf (冗)=f1sinx-=2sin (五一,t=2 兀,f ( x) max=2(2)83 ( p 一 口 j =gos口 gos f +510 sin 3 =3 gob ( p + 口- j =g03匹 gos b 曰 1门口 sin 片二一. cos a cos 3 =0.士 . 二一一 cos p =0= 3 = r2.2f (p)二&正弦函数

19、的性质的应用，两角和与差的余弦公点本题主要考查了辅助角公式在三角函数的化简中的应用, 评：式的应用.16. (14分)如图，要测量河对岸两点 a b之间的距离，选取相距 gkm的c、d两点，并测得/ acb=75 , /bcd=45 , /adc=30 , / adb=45 ,求 ab之间的距离.ab考点：解三角形的实际应用.专题：计算题；应用题._分析：先在4acd中求出/ cad /adc的值，从而可得到 ac=cd=可,然后在 bcd中利用正弦定理可求出bc的长度，最后在 abc中利用余弦定理求出 ab的长度即可.解答： 解：在4acd 中，/acd=120 , / cadw adc=3

20、0 ac=cd=3km在 bcd 中，/ bcd=45 / bdc=75 / cbd=60 一 1：-1. . bc_i：-1 . -_ bcm =(sinzbdc) (sinzcbd) (幻口60" )2在 abc中，由余弦定理得：一ae2v32+ ('五+匹)2-2/5* '旄+近) -cos75° =3+2+舍-百=522.ab= !，km答：a、b之间距离为“km.点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的综合运用.解三角形在高考中是必考内容，而且 属于较简单的题目，一定要做到满分.17. (15分)过点p (2, 1)的直线l与x轴正半轴交

21、于点 a,与y轴正半轴交于点 b.(1)求u=|oa|+|ob|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程；(2)求v=|pa|?|pb|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程.考直线和圆的方程的应用. 点' 专直线与圆.题：分 (1)设出直线方程的截距式，用含有一个字母的代数式表示出u,然后利用基本不等式求最小值；析：(2)由两点间的距离公式求出|pa| , |pb| ,代入v=|pa|?|pb|后取平方，然后利用基本不等式求最值.解 解：(1)设点 a (a, 0), b (0, b),则直线 l :冬g=l (协 b>0)答：h b- p (2, 1)在直线 l 上，.-+=1

22、，a, b>0, /.a> 2. a b a - 2 |0a | +1qe | =a-hb=a+-ur 一 "旨3>2/-幻.高仔2点地当且仅当a-2= 2rl (a>2),即a=2+&时等号成立.此时 b=1+x历. a - 2丹血+3,此时l :而二"扬一"后。；(2)由(1)知，y=|pa| |pb|=j ) 。+1 7 (b 1 ) ，+4，指（口-2）（2a- 22+s(a- 2 )(a- 2 )-（a>2）,即a=3时等号成立，此时b=3.，umin=4,此时 l :占 八、评:本题考查了直线方程的应用， 训练了利

23、用基本不等式求最值，解答的关键在于利用基本不等式求最值的18.（15分）某工厂生产甲、乙两种产品，这两种产品每千克的产值分别为600元和400元，已知每生产 1条件，是中档题.千克甲产品需要 a种原料4千克，b种原料2千克；每生产1千克乙产品需要 a种原料2千克，b种原料3千克.但该厂现有 a种原料100千克，b种原料 产值.120千克.问如何安排生产可以取得最大产值，并求出最大考点：简单线性规划. 专题：应用题.分析:先设生产甲、乙两种产品分别为 x千克,件画出可行域，设 z=600x+400y ,再利用y千克，其利产值为z元，列出约束条件，再根据约束条z的几何意义求最值，只需求出直线z=6

24、00x+400y过可行解答:域内的点时，从而得到 z值即可.解析：设生产甲、乙两种产品分别为x千克，y千克，其利产值为 z元,根据题意，可得约束条件为工肝2y<100、2x+3/c120（3分）(5分)4x+2y=l002i+3y=120点评:所以有 z 最大=600x 7.5+400x35=18500 (元)(13 分)18500 元.(14 分)本题是一道方案设计题型，考查了列次不等式组解实际问题的运用及兀法的运用，解答时找到题意中的不相等关系是建立不等式组的关键.次不等式组的解作出可行域如图：.目标函数z=600x+400y作直线10： 3x+2y=0,再作一组平行于 10的直线l

25、 : 3x+2y=z ,当直线l经过p点时z=600x+400y取 得最大值，.（9分）,解得交点p ( 7.5 , 35).(12分)19. (16分)已知二次函数 f (x)满足f (-1) =0,且xwf (x) <1 (x2+1)对一切实数x恒成立.2(1)(2)求 f (1);求f (x)的解析表达式;(3)证明:f co £ c2)>2.考点：二次函数的性质.专题：函数的性质及应用.分析:解答:(1)利用不等式的求f 等式.解：(1)因为 xwf (x)(1)的值.(2)利用待定系数法求函数的解析式.(x2+1)对一切实数x恒成立.(3)利用放缩法证明不所以当

26、x=1时，有iwf1 (1+1) =1,所以(2) 因为所以f (1) =1.设二次函数f (x)=ax2+bx+c, aw0,因为f (1) =1f (t) =0,a+c=b=_.2f (x) >x对一切实数x恒成立,即 ax2+ (b - 1)x+c>0,所以必有,解得a>0因为羡二与，当且仅当a=c-m4所以(3)因为所以f +f (z)+ 一f tn)>4>4乂枭.z n十/z故不等式+f (n)>2成立.点评:本题主要考查二次函数的图象和性质以及利用放缩法证明不等式，综合性较强.20. (16分)(2011?朝阳区一模)有 n个首项都是1的等差数列

27、，设第 m个数列的第 3,，n, n>3),公差为dm,并且am, a2n, a3n,，ann成等差数列.(i)证明 dm=p1d1+p2d2 (3wmc n, p1, p2 是 m 的多项式)，并求 p1+p2 的值；k 项为 amk (m, k=1 , 2,(n)当 d1=1, d2=3 时, 数构成等差数列).设前将数列dm分组如下：(d1), m组中所有数之和为(cm) 4(d2, d3, d4), (d5, d6, d7, d8,d9),(每组数的个n(cm> 0),求数列2 m dm)的前n项和$(出)设n是不超过20的正整数，当n>n时，对于(n)中的求使得不等

28、式言(与-6) 成a1n,a2n , a3n,hnn 中的第项减第 差都相等, 通项，令(ii)由立的所有n的值.考点：等差数列的性质；数列与不等式的综合.专题：综合题；压轴题.分析：(i)先根据首项和公差写出数列的通项公式，利用通项公式表示出数列2项，第3项减第4项，第n项减第n-1项，由此数列也为等差数列，得到表示出的进而得到 dn是首项d1,公差为d2-d1的等差数列，根据等差数列的通项公式表示出dm的pi=2 - m, p2=m 1,得证，求出 p1+p2 即可；d1=1, d2=3,代入dm中，确定出dm的通项，根据题意的分组规律，得到第 m组中有2m- 1个奇数，所以得到第 1组到

29、第m组共有从1加到2m- 1个奇数，利用等差数列的前 n项和公式表示 出之和，从而表示出前 m2个奇数的和，又前 m组中所有数之和为（cm） 4（cm> 0）,即可得到cm=m,代入/er中确定出数列产d.j的通项公式，根据通项公式列举出数列记作，两边乘以 2得到另一个关系式，记作，-即可得到前n项和s的通项公式;（出）由（n）得到 dn和sn的通项公式代入已知的不等式中，右边的式子移项到左边，合并化简后 左边设成一个函数f（n）,然后分别把n=1,2,3,4, 5代人发现其值小于0,当n>6时，其值大于0即原不等式成立，又 n不超过20,所以得到满足题意的所有正整数n从5开始到2

30、0的连续的正整数.解答:解：(i)由题意知 amn=1+ (n-1) dm.贝u a2n ain=1+ (n1) d2 1+ (n1) di= (n-1) (d2di),同理，a3n -a2n=( n - 1) ( d3 d2), a4n - a3n= (n-1) ( d4 d3),，ann- a (n-1) n=( n 1) (dn dn-1).又因为 a1n,a2n , a3n , ann成差数;列，所1 以 a2n a1n=a3n a2n='" ' =ann a(n- 1) n .故d2 d1=d3 d2=-=dn dn 1 ,即dn是公差为d2- d1的等差数列.所以，dm=d1+ (m- 1) (d2 d。= ( 2 mj) d1+ (m 1) d2.令 p1 =2- m, p2=m- 1,则 dm=p1d