微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考(

1、微积分教学：从冰冷的美丽到火热的思考(4490字)作者: 张奠宙(华东师范大学数学系 上海 200062)本文已被浏览788次(本文是作者在2005年11月7日“首届全国大学数学课程报告论坛”大会报告)  数学成果通常具有三种不同的形态.第一，数学家构建数学思想、发现数学定理时的原始形态.其次是公开发表，写在论文里、教科书里的学术形态.最后，则是数学教师在课堂上向学生讲课的教育形态. 国际数学教育委员会前主席、数学家H·弗赖登塔尔H.Freudenthal(1908-1990)有一句名言：“没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来.一个问题被解决

2、以后，相应地发展成一种形式化的技巧，结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽.”(Freudenthal,Hans.1983.Didactical Phenomenology of Mathematical Structures.Dordrecht:Reidel.P.9) 事实上，教科书里陈述的数学，往往是“冰冷的美丽”.因此，数学教师的责任在于把数学的学术形态转化为教育形态，使学生既能高效率地进行火热的思考，又能比较容易接受，理解隐藏在“冰冷美丽”背后的数学本质. 一微积分在中国的一个世纪 1859年，李善兰和伟列亚力翻译代微积拾级，微积分学传入中国.这时离开微积分的

3、创立已经近200年.但是，这毕竟是中国文化现代化的重要标志，甚至具有一定的国际意义.在19世纪70年代，日本的数学家能够读到的微积分著作，依然只有李善兰的这一译本.日本使用的微积分名词，“微分”、“积分”，都从代微积拾级而来. 李善兰是一个值得纪念的数学家.他是中国传统数学的最后一人，又是现代中国数学发端的代表人物.在中国出版的微积分著作中，应该提到他的名字. 2005年是废除科举的100周年.当时的京师大学堂曾经开设微积分课程.用的就是代微积拾级，那是竖排本，不能使用拉丁字母和微积分通用符号，现在读来宛如天书. “彳者，天之微分也.禾者，积分也.禾彳天，言天微之

4、积分也.” 用今天的符号表示是dx. 这样的“中学为体、西学为用”，拒绝与国际接轨的做法，读者当然非常累. 100年前，全国懂得微积分的不过百人. 在1919年的五四运动推动下，1920年代高等教育大发展.各地大学纷纷兴办数学系，微积分学成为理工科大学生的必修果.但是，那时的大学生数量很少，通常也只学初等微积分，高等微积分则依然十分神秘.英美留学归来一些数学教授，甚至还有人不能掌握-语言. 真正的较大范围普及微积分，是新中国建立以后的事情.笔者于1951年进入大连工学院的应用数学系，一年级采用斯米尔诺夫编著的数学教程第一卷(当时还是讲义，尚未出

5、版)，开宗明义便学习极限的定义.这在解放前是不会有的.任课老师徐润炎先生，在黑板上写的读法是“一不是龙”，印象深刻.在“全面学习苏联”政策的影响下，苏联数学学派严 谨、抽象、形式化的数学风格，使得中国数学教学逐渐成熟.中国的微积分教学的特征，至今依然是形式化的处理占主导地位. 进入21世纪，中国高等教育大发展，微积分教学进入新时代.今天的中学，也普遍教授微积分(上海除外).微积分“飞入寻常百姓家”，不再神秘，而改进微积分教学，也就成了当务之急. 那么，我们应该怎样进行微积分教学?这使我们想起“阳春白雪”和“下里巴人”的故事.宋玉的对楚王问说：客有歌於郢中者，其始曰

6、下里巴人，国人属而和者数千人;其为阳阿薤露，国人属而和者数百人；其为阳春白雪，国中属而和者不过数十人；引商刻羽，杂以流征，国中属而和者不过数人而己.是其曲弥高，其和弥寡. 如果说，李善兰时代的微积分是“引商刻羽”，五四以后还是阳春白雪，1950年代的微积分相当于“阳阿薤露”，那么今天的微积分已经是下里巴人了. 让更多的人知道和掌握微积分的思想方法，成为当代数学教育的重要任务. 二透过形式主义的美丽，领略微积分的无穷魅力 多少年来，我们都是宣扬微积分的形式美丽.-语言的伟大，极限连续导数积分的不变演绎顺序，推理证明成为微积分教学的主旋律.形式主义的美丽，几

7、乎掩盖了微积分本身的无穷魅力.尽管严密的形式主义表示十分重要，“阳春白雪”是永远不可缺少的.然而大多数人确实难以欣赏形式主义的美丽.今天，作为“下里巴人”的微积分，应该通过火热的思考充分展现微积分的魅力. 在微积分教学中，我们总是按照定义定理推论习题的逻辑顺序展开，学生只是被动地接受一个一个概念，却不知道为什么要这样做.优秀学生要到后来才恍然大悟，一般的学生只能囫囵吞枣，不知所云.最近看到一篇高等职业技术学院的微积分教学大纲，除了按极限、连续、导数、微分的逻辑顺序展开之外，特别是要讲左右极限.是否有必要涉及这样的枝 节问题?数学本原问题是处理数学教学的灵魂，让职业学校的学生

8、会用微积分观点看问题才是最主要的.没有思想的数学等于废了武功(郑绍远).剑招可以生疏，剑法不能忘记(李大潜).萧树铁先生在一份高等数学教学改革报告中要求：“讲推理，更要讲道理.” 确实，微积分教学应该多讲道理，避免把充满人类智慧的微积分思想淹没在形式主义的海洋里.关肇直先生说过：“-推理曾被认为已经使微积分建立在严格的基础之上，其缺点在于丢失了牛顿、莱布尼兹那种微积分的生动的直观”1.西南师大的陈重穆先生曾经呼吁“淡化形式，注重实质”2.项武义先生则一再主张“返朴归真，平易近人”.姜伯驹先 生说：“在某种意义上说，会用微积分比会证明更重要.”我想他们的意思都是一样的.微积分

9、教学不能只让学生背诵一些求极限，求导数、求不定积分那样的符号运算，面对“冰冷”的微积分形式，使他们无法体会微积分思想的实质.尽可能恢复原始的火热思考，并以现代数学水平加以处理. 例如，17世纪的一些伟大的数学家，曾经使用无穷小方法得到了许多重要的科学结论.由于逻辑上存在缺陷，经过分析严密化运动，在形式主义数学哲学的影响下，无穷小成为一种“错误”，离开了微积分课本.其实，这个无穷小量，就是“微分dx”.在积分学中，它是构造微元f(x)dx的基本的思考途径.然而，今天的微积分教学，已经把生动的“原始形态”当作陈旧的垃圾丢弃了.未免可惜. 记得袁枚(清)在随园诗话里说过“学如箭镞

10、，才如弓弩，识以领之，方能中鹄”.与知识、能力相比，数学思想，才是最重要的.我们不能把微积分淹没在形式主义的海洋里. 我国数学教学受形式主义数学观的影响比较大，是历史条件所决定的.前已提及，1950年代苏联数学学派对中国数学影响非常深刻.数学分析课程的严谨程度远超过英美的教材.微积分课程也没有初等微积分和高等微积分的层次，语言也是在1950年代得到普及.流行的数学学科的特性是抽象性、严谨性，以及因为抽象而获得的广泛应用性.崇尚严密，当然是进步.但是，事情还有另一面：数学思想往往是朴素的，创新在开始时多半是不严密的.储存在人们头脑里的理解，通常又是生动而粗略的. 长期以来，中

11、国传统文化主张“治学严谨”，清代的考据学派和逻辑推理一脉相承.此外，数学哲理界不断地提到“三次数学危机”，关注数学基础的严密性.自然辩证法教材，反复强调19世纪以来的非欧几何、群论、四元数、分析严密化等理性思维的成就，对于影响人类进程的傅立叶方程、流体力学方程、马克斯韦尔电磁学方程的成果则较少提及.数学，似乎只能是公理化的、形式主义、演绎式的那付模样. 总之，数学是一种文明，数学不只是事实的推砌；数学不限于技巧的运用；数学解题不等于创造；数学整体不等于数学杂技.数学考试只是把人已经做过的题目重做一遍而已.数学思想、观念的突破性创新，是对数学文明的主要推动力. 2000年在国

12、际数学教育大会上，日本数学会主席藤田宏教授认为，世界上出现过四个数学高峰，成为人类文明的火车头： 古希腊文明：欧氏几何原本为代表； 文艺复兴和17世纪的科学黄金时代；牛顿的微积分为代表； 19世纪与20世纪上半叶科学文明：非欧几何、希尔伯特、黎曼几何与相对论为代表； 信息时代文明：信息论、控制论、冯·诺依曼的计算机方案为代表. 数学在20世纪下半叶发生巨大变化，其情势和牛顿时代相同，数学大量渗入各个学科，大刀阔斧地解决各种各样的问题，尽管开始时不大严格. 试看1948年的数学地图.美国数学家仙农发表通信的数学理论，创立了信息

13、论.维纳在这一年发表控制论，冯·诺依曼创造了电子计算机的方案.这三件数学工作，影响了人类的进程.这些工作，都不是形式主义数学所能完成的. 由于各种原因，中国数学没有能够参与这一进程.我国的数学哲学深受形式主义的影响，以至数学观还停留在第三个时期.影响所及，数学教学，包括微积分教学，就会过分强调形式主义的演绎，而却忽视数学直观、数学思想、数学应用的培养. 形式主义数学哲学观在中国占据着统治地位，一个明显的例子是关于布尔巴基学派的认识.如果说希尔伯特的形式主义是一种关于数学基础的哲学流派，那么布尔巴基学派则将形式主义数学观深入到整个数学.它形成于1930年代，兴盛于1

14、960年代.他们认为只有用三种基本结构加以整理的数学原本，才是严谨的数学.但是，在信息技术革命的冲击下，1970年以 后，年轻的数学家开始走出布尔巴基学派的光环，投身于更广泛的数学应用，产生了诸如分形、混沌、孤立子、小波、量子群、超弦、密码等许多新的学科.布尔巴基的数学原本终于在1970年停止出版新的卷次，基本结束.反观我国，吴文俊先生在1950年代曾在数学通报上介绍布尔巴基学派，并没有引起反响.却在1980年代，当该学派已经走下坡路的时刻， 在国内推崇(包括自然辩证法这样的政治课)结构主义的数学观，这是和形式主义数学观一脉相承的. 陈省身材先生说过：“我和布尔巴

15、基学派的创始人都是好朋友，但是他们的工作不能解决我的问题.比如Stokes定理成立的充分必要条件(结构)就写不出来.” 当然，数学表示需要形式化，严密的数学学术形态必然是形式化的.微积分的形式化表示，是19世纪许多数学家努力的结果，分析的严格化成为又一个数学高峰的标志.因此，对于以数学为主要工具的专业来说，形式化的学术形态是极端重要的.至于一般使用数学的理、工、农、经等专业，微积分思想和算法之间要取得适当的平衡，只能适度地强调形式化.对于把微 积分作为文化背景、常识素养的人来说，形式化的算法就不大重要，关键是微积分的文化价值，以及科学意义. （未完待续） 

16、; 参考文献 1.关肇直.数学推理导演个性与认识论众的实践标准.数学学报1976(1). 2.陈重穆.淡化形式，注重实质.数学教育学报,1993(4).     三、微积分教育形态的表现形式     在微积分教学中，人们面对的是教科书中书写的学术形态，比较形式化的表达.那么如何用各种手段使它呈现为人们易于接受的教育形态呢？以下是一些具体的建议.     1平易近人, 重视人的原始观念   

17、;  切线，瞬时速度，都是人们具有的原始观念.我们应该把它作为微积分的出发点，而不是导数的几何解释和力学解释.     切线，人人都懂.于是，我们可以启发学生用切线的斜率变化来研究函数y=x的性质，这和中学里采用的方法完全不同，立即能使得学生关注微积分的奥妙.     瞬时速度，其实也是人们的原始概念.当后面的快车赶上慢车的那一刹那，快车的速度比慢车的速度快，大家都明白.尽管我们没有定义过什么是瞬时速度，人人凭经验就可以大体理解.这是人的思维能动性的体现.正如我们没有严格定义

18、过什么是图形的面积(严格的面积定义应该是某集合类上定义的集合函数，它满足：非负性、有限可加性、运动不变性、以及对边长为1的正方形取值为1)，可大家都知道面积的存在，我们的任务是如何求面积.同样，瞬时速度既然存在，问题在于如何求.于是从引入平均速度出发，采取极限方法加以处理，微积分随之展开，非常自然.     2返朴归真，重视微积分发现时的原始形态     一个突出的问题是，现代的微积分是否要运用17世纪发明微积分时的那种原始形态？无穷小量还有存在的必要吗？笔者认为仍然需要介绍.因为那是人类智慧的

19、结晶，闪烁着天才的光芒.     1617世纪数学家们在发现微积分的时候，确实火热的思考.请看费马当年怎样运用无穷小讨论以下的极值问题：“周长一定的矩形以正方形面积最大”.     证明 设周长为A，截取一段B.现取无穷小量E.如果A-B，B是解，那么可以猜想（一个天才的想法）：     B（A-B) = (B+E)A-(B+E)= BA-B2+AE-2BE+E2,     整理得到 &

20、#160;  (A-2B)E+E2=0,     因为E0,可以约去E，得(A-2B)+E=0.     又因E无限小，可以略去，得到结论A=2B.     这样的思想，确实是微积分思想的本质.后来，我们将它严密化，那个E就是无穷小量，称做微分，写成dx，将它理解成增量x0的过程，可以避免逻辑上的困难.此后，导数公式（x2)=2x的出现，也就顺理成章了.     3把握微积分的

21、整体目标.     微积分教学的一个问题是如何树立微积分学的总目标.如果从熟知的自由落体运动出发，提出一般的F（x)和f(x）之间的关系         v(t)=gt,s(t)=(1/2)gt2    y=f(x),F(x)=S(x)     据此，提出基本问题.1怎样求瞬时速度？2怎样求曲边梯形面积？3如何由变速求位移？4如何得到二者间的本质联系.带着整体的目标，

22、带着要解决的问题，能够激发学生的学习热情.     4揭示矛盾，运用哲学思考加深理解     在形式主义的诠释中，是看不见矛盾的.一切似乎是天衣无缝地安排好了的.事实上，微积分里充满了矛盾.我们是在解决这些矛盾中不断前进的.掩盖了矛盾，就掩盖了微积分的实质，失去了活的灵魂.     微积分表面的矛盾有：常量与变量，有限与无限，近似与精确，曲线与直线等等.这些矛盾，采取“匀”、“不匀”、“局部匀”，以及极限方法加以处理，在对立中得到统一，正是微积分

23、的精华所在. 这里要提出的一个不被人们注意的矛盾：局部与整体.微分学研究函数的局部性质，一点的极限、连续、可导等.积分学研究整体性质，区间上有界、单调，一致连续，可积等.闭区间上的连续函数，具有局部性质，也有整体性质.覆盖定理是沟通局部性质和整体性质的桥梁.微分中值定理的证明建立在连续函数整体性质的基础上，因而成为研究函数整体性质的工具，其作用仍然是从局部性质过渡到整体性质的桥梁.现在，许多数学系的研究生不知道这样的背景.甚至一篇指导性文章说，函数的局部性质是指在一点的值，令人叹息.     整体性质和局部性质的矛盾统一，是世界上普遍

24、存在的矛盾.政治上有全局利益与地方利益；物理学有宏观的天文学与微观的量子力学；美术上有泼墨山水和工笔花鸟；生物有整体的生态描述和微观的基因研究.天下事情都是如此，数学也不例外.必须从整体的发展出发，才能研究局部，反之，只有把局部的性质研究透彻，对整体的性质才能理解透彻.分子生物打开了DNA的密码，对人的整体研究进入了新阶段.导数对函数局部的研究，导致了对函数整体性质的判别.导数为什么能够研究函数的性质？这是因为函数f(x)在一点可导，意味着函数在这一点附近近似于一次函数，即曲线在一点的附近可以近似地看成一条切线，这叫做局部线性化：     &#

25、160;   y=f(x)x+o(x)     曲线可以千变万化，但是局部地都可以看成线性函数，最简单的一次函数.最后有了微积分的内在联系：牛顿-莱布尼兹公式.     5问题驱动，激活思考     在微积分教学中，一提到数学问题，就会联想到无数的练习题和考题.     这对掌握和巩固数学知识当然不可缺少.但是，一般地说，这些问题多半是技能训练型的.我们在这里所说的数

26、学问题，是指那些具有启发性的、本原性的、触及数学本质、能够在教学中起统帅作用的问题.问题还要能够形成链条，一切都要发生得自然而连贯，使得所有概念和方法都是合情合理的，没有“天上掉下个林妹妹”来的感觉！     在教科书中往往只讲“是什么”，很少讲“为什么”？形式化演绎，往往不是提出问题，而是直接下定义.在“可导”、“可积”概念之前，不知道为什么要讲连续.在定义导数之前，不知道为什么要定义增量，不一而足.     关于问题驱动的具体做法，曾有专门记叙3,这里不赘.   

27、;  6诠释微积分的文化内涵     微积分学，给人的印象是干巴巴的.概念、定理、公式，记忆再记忆，例题、习题、考题，练习再练习.然而，数学是人做出来的，必然有人的思想、情绪、感觉，社会文化，历史传统在起作用.无论数学、科学和人文科学，创造性的思想源泉往往是相通的.数学是一种文化.一个时代的数学会受那个时代文化的制约，同时数学本身的发展又生成了一种文化现象，丰富着那个时代的一般文化.支撑数学的基础在于它的文化价值.正如音乐不等于音符节拍：美术不等于线条颜色；数学也不等于逻辑程式.不然的话，光彩照人的数学女王，就会变成一副x光

28、照片下的骨架！     7月31日温总理探望钱学森，钱学森说：科学技术要有创造，必须懂得文学、艺术、音乐.温总理回答说：我们的教育还有一些问题.     7月17日文汇报，丘成桐：数学和中国文学的比较.其中提到，中国诗词都讲究比兴，有深度的文学作品必须要有“义”、有“讽”、有“比兴”.数学亦如是.我们在寻求真知时，往往只能凭已有的经验，因循研究的大方向，凭我们对大自然的感觉而向前迈进，这种感觉是相当主观的，因个人的文化修养而定.     那么微积

29、分教学应怎样做呢？揭示数学思想的本质当然是第一位的.除此之外，我们也可以增加一些人文的、文学的、美学的色彩，使人容易接近，尤其在思想意境上能够比较接近.毕竟，数学和其他学科都是人创造的，彼此一定能够互相沟通.     四、微积分教学中的美学欣赏     在微积分教学中，向学生展示微积分的美，师生共赏数学之美，对激发学生的学习热情，活跃课堂气氛，增强数学理解，乃至提高教学质量，将是十分有效的.以下，我们将依照微积分课程的逻辑顺序，提供一些建议.    

30、60;1极限的意境美     极限是一个无限的过程.描写无限的文化积淀很多，熟知的有“一尺之捶，日取其半，万世不竭”（庄子），以及刘徽的割圆术等.     徐治利先生曾经引用李白的诗句“孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流”来比喻极限的动态过程.抽象的极限在这里具象化了，使得人们感到一种由数学联想带来的愉悦.     另一个有关数量变化的意境是“无界”.宋朝叶绍翁的游园不值：“春色满园关不住，一枝红杏出墙来”，生动且贴切地描述了无界变化的状态：无论园子

31、有多大，红杏都会出墙，即至少有“一枝”红杏不能被围住.“关不住”是关键词.无界就是无法将数列关住的意思.     初唐诗人陈子昂诗云：“前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下.”这是古人乃至今天人们对时间与空间的认识.诗人处在原点，两头茫茫皆不见，于是时间的模型是一条两端无限的直线.这就是数轴，也是正负无穷大量的想象.     2连续函数和谐与奇异之美     初等数学里的函数，有许多具象的描述.例如，“指数爆炸”、“直线上升”；对数

32、函数y=logax(a1)则增长缓慢，可比喻某种经济现象.y=sinx、y=cosx等三角函数呈周期变化，周而复始，有高峰也有低谷，无限轮回，是“和谐美”的典型.     相对于连续，间断则表现为不规则和与众不同，我们称之为“病态”.象狄利克雷函数D（x)，它在任一点都不连续.间断给人的美感尤如奇异抽象面.如果说，艺术依靠想象，那么，D（x)也是依靠想象诞生出来的事物，在美学上，它们是相通的.     3导数之美局部线性之美     作为函数局部

33、变化率的导数，其意义是描写函数的局部线性形态.局部观念的形成，实在是学习微积分的关节点.人类从数量上考察局部性质即一点及其邻域内的性质，是一次重大的飞跃.     导数之美在于体现了局部的“率”，这是一个无穷的过程.我们不是只看一点的值，而要考察这一点周围的无限小局部的性态.可导函数表示的曲线，就是能够局部近似地看作是一条直线.这条直线（切线）的斜率，就是导数.函数的局部性质在于局部线性.凭着切线的斜率，可以研究函数的整体性质（以y=x2为例，切线能够说明它的单调上升、下降的区间、极值的所在等等）.    

34、; 总之，把函数的局部性质弄得越清楚，整体性质才能揭示得越深刻.微积分教学需要把这层“窗户纸”捅破，欣赏局部思考之美.这就象面对一座美丽的大山，人们可以远望山景，感受其气象万千；也能进山观赏其局部，“云深不知处”，留恋忘返.这样的美学意境，需要慢慢琢磨，细细体会，一旦感受到数学局部的深邃之美，当能受益无穷.     4积分宏观上的统一之美     定积分的定义和区间a,b有关，因而涉及函数的整体性质.早在古希望时代，阿基米德就研究0，1区间内抛物线围成的弓形的面积，其基本方法是“分割、

35、近似代替、求近似和、取极限”.这样的运算只能是个别问题个别解决，非常复杂，没有统一的解决办法.人们的一个梦想是求出由一般的函数f(x)生成的曲边图形的面积，这也相当于求变速运动物体的位移.     漫长的中世纪黑夜过去以后，经过文艺复兴的时期的思想解放，终于迎来了创立微积分的科学黄金时代.最后的结果，便是出现了伟大的牛顿莱布尼兹公式      baf(x)dx=F(b)-F(a). 我们把它称为微积分的基本定理.因为它将表现上看起来毫无关系的微分与积分之间建立起了一座桥梁，将积分的问题

36、转化为求导的逆运算，巧妙地将对立的微分和积分统一起来，可谓“一桥飞架南北，天堑变通途”.人类的梦想终于解决了，牛顿力学建立起来了.各种积分（定积分、二重积分、三重积分、n重积分、曲线积分、曲面积分）本来都是通过“分割、近似代替、求近似和、取极限”这四步得到，现在它们最终都可归结为定积分来计算.     数学的统一美，需要细细体会.     从中学开始，我们有过一些欣赏统一美的机会.例如：     坐标方法，把数和形结合起来，代数学和几何学获得统一；     勾股定理，使直角三角形的三边用一个代数式表示出来；     三角学，使得几何中三角形的边角关系定理化;