逆矩阵与分块矩阵谷风教育

1、第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算1软件网络 逆矩阵逆矩阵2软件网络矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. 矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？这就是本节所要讨论的问题这就是本节所要讨论的问题.这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵阶方阵. . 从乘法的角度来看，从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵阶单位矩阵 e 在同阶方阵中的地在同阶方阵中的地位类似于位类似于 1 在复数中的地位在复数中的地位 一个复数一个复数 a 0的倒数的倒数 a1可以可以用等式用等式

2、 a a1 = 1 来刻划来刻划. 类似地，我们引入类似地，我们引入对于对于 n 阶单位矩阵阶单位矩阵 e 以及同阶的方阵以及同阶的方阵 a，都有，都有nnnnna ee aa3软件网络定义：定义： n 阶方阵阶方阵 a 称为称为可逆的可逆的，如果有，如果有 n 阶方阵阶方阵 b，使得，使得这里这里 e 是是 n 阶单位矩阵阶单位矩阵.abbae根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. 对于任意的对于任意的 n 阶方阵阶方阵 a，适合上述等式的矩阵，适合上述等式的矩阵 b 是唯是唯一的（如果有的话）一的（如果有的话）.定义：定义： 如果矩阵如果

3、矩阵 b 满足上述等式，那么满足上述等式，那么 b 就称为就称为 a 的的逆矩阵逆矩阵，记作记作 a1 .4软件网络下面要解决的问题是：下面要解决的问题是：在什么条件下，方阵在什么条件下，方阵 a 是可逆的？是可逆的？如果如果 a 可逆，怎样求可逆，怎样求 a1 ？5软件网络111212122212nnnnnnaaaaaaaaaa 1121112222*12nnnnnnaaaaaaaaaa 结论：结论： ，其中，其中*|aaa aa e定理：定理：若若 ，则方阵，则方阵a可逆，而且可逆，而且| 0a 1*1.|aaa 推论：推论：若若 ，则，则 .| 0a 11|aa 元素元素 的代数的代数余

4、子式余子式 位于位于第第 j 行第行第 i 列列ijaija6软件网络例：例：求二阶矩阵求二阶矩阵 的逆矩阵的逆矩阵.abacd 11dbaadbcca 7软件网络例：例：求求3阶方阵阶方阵 的逆矩阵的逆矩阵.221315323a 解解：| a | = 1，1112132122233132337, 6, 3, 4, 3, 2, 9, 7, 4, mmmmmmmmm 则则1121311*1222321323331|aaaaaaaaaaaaa 112131122232132333mmmmmmmmm 749637324 8软件网络方阵方阵a可逆可逆 | 0a 此时，称矩阵此时，称矩阵a为为非奇异矩阵

5、非奇异矩阵容易看出：对于容易看出：对于n 阶方阵阶方阵a、b，如果，如果 ,abe 那么那么a、b都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵. .1*1|aaa 定理：定理：若方阵若方阵a可逆，则可逆，则 | 0a 9软件网络推论：推论： 如果如果 n 阶方阵阶方阵a、b可逆，那么可逆，那么 、 、 与与ab也可逆，且也可逆，且11(),aa 1a ta(0)a 11()() ,ttaa 111(),aa 111().abb a 10软件网络线性变换线性变换 11111221221122221122,nnnnnnnnnnya xa xa xya xa xaxya xaxa

6、 x 的系数矩阵是一个的系数矩阵是一个n 阶方阵阶方阵 a ，若记，若记 1122, nnxyxyxyxy则上述线性变换可记作则上述线性变换可记作 y = ax . . 11软件网络例：例：设线性变换的系数矩阵是一个设线性变换的系数矩阵是一个 3 阶方阵阶方阵 112233, ,xyxxyyxy221315323a 记记则上述线性变换可记作则上述线性变换可记作 y = ax 求变量求变量 y1, y2, y3 到变量到变量 x1, x2, x3的线性变换相当于求方阵的线性变换相当于求方阵 a 的逆矩阵的逆矩阵. 12软件网络已知已知 ，于是，于是 ，即，即1749637324a 1123212

7、33123749,637,324.xyyyxyyyxyyy 1xa y 13软件网络 矩阵分块法矩阵分块法14软件网络前言n由于某些条件的限制，我们经常会遇到大型文件无法上传的情况，如何解决这个问题呢?n这时我们可以借助winrar把文件分块，依次上传.n家具的拆卸与装配问题一：什么是矩阵分块法？问题二：为什么提出矩阵分块法？15软件网络问题一：什么是矩阵分块法？定义：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块； 每一个小块称为矩阵的子块； 矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.111213142122232431323334aaaaaaaaaaaaa 12

8、211122aaaa 这是这是2阶阶方阵吗？方阵吗？16软件网络思考题伴随矩阵是分块矩阵吗？答：不是伴随矩阵的元素是代数余子式（一个数），而不是矩阵112111222212nnnnnnaaaaaaaaaa 17软件网络问题二：为什么提出矩阵分块法？答：对于行数和列数较高的矩阵 a，运算时采用分块法，可以使大矩阵的运算化成小矩阵的运算，体现了化整为零的思想.18软件网络111213141112131421222324212223243132333431323334, aaaabbbbaaaaabbbbbaaaabbbb111112121313141421212222232324243131323

9、233333434ababababababababababababab11a12a21a22a11b12b21b22b1111ab 1212ab 2121ab 2222ab 分块矩阵的加法19软件网络若矩阵若矩阵a、b是同型矩阵，且采用相同的分块法，即是同型矩阵，且采用相同的分块法，即11111111, rrssrssraabbabaabb则有则有11111111rrsssrsrababababab形式上看成形式上看成是普通矩阵是普通矩阵的加法！的加法！20软件网络111213142122232431323334aaaaaaaaaaaaa 111213142122232431323334aaa

10、aaaaaaaaaa 11a12a21a22a分块矩阵的数乘11a 12a 21a 22a 21软件网络若若 是数，且是数，且 1111rssraaaaa 则有则有1111rssraaaaa 形式上看成形式上看成是普通的数是普通的数乘运算！乘运算！22软件网络分块矩阵的乘法一般地，设一般地，设 a为为ml 矩阵，矩阵，b为为l n矩阵矩阵 ，把，把 a、b 分块如下：分块如下：11111211112121222221222122122121 , , trtrssstttttrtrsaaabbbaaabnnnmmmbbabaaalllllblbb 1112121222112, (1, ; 1,

11、)rtrijikkjksssrccccccca bcabis jrccc 121212strlmmmmnnnnlll 23软件网络按行分块以及按列分块mn 矩阵 a 有m 行 n 列，若将第 i 行记作 若将第 j 列记作则12(,)tiiiinaaa 1112112122221212,.tntnntmmmnmaaaaaaaaaa 12,jjjmjaaa 24软件网络于是设 a 为 ms 矩阵，b 为 s n 矩阵，若把 a 按行分块，把 b 按列块，则 1111222121122122(),tttnttttnttijm nntttmmmnmccab 12121,.jsjtijijiiisik

12、kjksjbbcaaaa bb 25软件网络分块矩阵的转置若 ，则例如：1111rssraaaaa 1111ttstttrsraaaaa 1112131421222324123431323334,aaaaaaaaaaaaa 1121311122232213233331424344tttttaaaaaaaaaaaaa 分块矩阵不仅形分块矩阵不仅形式上进行转置，式上进行转置，而且每一个子块而且每一个子块也进行转置也进行转置26软件网络分块对角矩阵定义：设 a 是 n 阶矩阵，若1. a 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，2.其余子块都为零矩阵，3.对角线上的子块都是方阵，那么称 a 为分块对角矩

13、阵例如：112235000010000830052aooboaoaoobooa27软件网络分块对角矩阵的性质n| a | = | a1 | | a2 | | as | n若| as | 0，则 | a | 0，并且12saaaa 111121saaaa 28软件网络例例: :设设 ，求，求 a1 解：解：500031021a 12500031021aoaoa1111(5),5aa 1223111,2123aa 111121/500011023aoaoa 29软件网络例：例：往证往证 amn = omn的充分必要条件是方阵的充分必要条件是方阵ata = onn 证明：证明：把把 a 按列分块，有

14、按列分块，有于是于是那么那么即即 a = o 12(),ijm nnaa 1112212211222121,tttnttttntttntttnnnnna ao 122221212,0jjtjjjjmjjjmjmjaaaaaaaaa 120jjmjaaa30软件网络克拉默法则31软件网络二元线性方程组二元线性方程组 11112212112222a xa xba xa xb 若令若令 11122122aadaa 1211222bbada 1221121badab ( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式) )则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为112212211122

15、1221ddb aa bxa aa a 1121212211221221a bb adxa aa ad 32软件网络一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb 的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即1112121222120nnnnnnaaaaaadaaa33软件网络122123,. (2)nnddddxxxxdddd其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程组右端的常列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的数项代替后所得到的 阶行列式，即

16、阶行列式，即jddjn111,11,111,1,11jjnjnn jn jnnnaaaadaaaabb 那么线性方程组那么线性方程组(1)(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成有解并且解是唯一的，解可以表示成34软件网络定理中包含着三个结论：定理中包含着三个结论：方程组有解；方程组有解；（解的存在性）（解的存在性） 解是唯一的；解是唯一的；（解的唯一性）（解的唯一性）解可以由公式解可以由公式( (2) )给出给出. .这三个结论是有联系的这三个结论是有联系的. . 应该注意，该定理所讨论的只是系应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，数行列式不为零的方

17、程组，至于系数行列式等于零的情形，将在第三章的一般情形中一并讨论将在第三章的一般情形中一并讨论. .35软件网络关于克拉默法则的等价命题定理定理4 如果线性方程组如果线性方程组( (1) )的系数行列式不等于零，则的系数行列式不等于零，则该线性方程组一定有解该线性方程组一定有解, ,而且解是唯一的而且解是唯一的 . .定理定理4 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零系数行列式必为零. .设设11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb 36软件网络例例

18、解线性方程组解线性方程组12341242341234258,369,225,4760.xxxxxxxxxxxxxx 解解2151130602121476d 122rr 42rr 075131306021207712 37软件网络75132127712 122cc 322cc 35301077218151930652120476 81d 22851190605121076 =108d 27038软件网络32181139602521406 27d 42158130902151470 27d 11813,27dxd 221084,27dxd 33271,27dxd 44271.27dxd39软件网络

19、线性方程组线性方程组常数项全为零的线性方程组称为常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组齐次线性方程组，否则，否则称为称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组. .11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb 齐次线性方程组总是有解的，因为齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,(0,0, 0), 0)就是一个就是一个解，称为解，称为零解零解. . 因此，齐次线性方程组一定有零解，但因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解不一定有非零解. . 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解在着非零解. . 40软件网络齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理定理定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次，则齐次线性方程组只有零解，没有非零解线性方程组只有零解，没有非零解. .0d 定理定理5 如果齐次线性方程组有非零解如果齐次线性方程组有非零解, ,则它的系数行列式必则它的系数行列式必为零为零. . 备注备注1.1. 这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件非零解的必要