利用定积分求简单几何体的体积PPT课件

1、1（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？ (2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？ （二）新课探析 yf xx问题：求函数，x=a,x=bx=a,x=b围成的平面图形绕 轴旋转一周所得到的几何体的体积。第1页/共11页2 设由曲线yf(x)，直线xa，xb与x轴围成的平面图形(如图甲绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V.思考： 1简单几何体的体积计算第2页/共11页3 在区间a，b内插入n1个分点，使ax0 x1x2xn1xn1，把曲线yf(x)，axb分割成n个垂直于x轴的“小长条”，如图甲所示设第i个“小长条”的宽是xixixi1，i1,2，n.这个“小长条

2、”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是xi的小圆片，如图乙所示当xi很小时，第i个小圆片近似于底面半径yif(xi)的小圆柱，因此第i个小圆台体积Vi近似为Vif2(xi)xi. 该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和Vf2(x1)x1f2(x2)x2f2(xi)xif2(xn)xn 这个问题是积分问题，则有第3页/共11页4 (1)找准母线的表达式及被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定了被积函数 (2)分清端点 (3)确定几何体的构造 (4)利用定积分进行体积表示2利用定积分求旋转体的体积问题的关键在于3一个以y轴为中心轴的旋转体轴为中心轴的旋转体的体积 yabox)(ygx第4页/共11页5例

3、1、求由曲线142 xxy,所围成的图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。 例题研究 2410 dxxVxyox=1xy42 第5页/共11页6xye0 x 12x xx)(12e变式练习1 1、求曲线，直线， 与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。答案：例2 2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。第6页/共11页7分析：解此题的关键是如何建立数学模型。将其轴截面按下图位置放置，并建立坐标系。则A，B坐标可得，再求出直线AB和抛物线方程， “冰激凌”可看成是由抛物线弧OB和线段AB绕X轴旋转一周形成的。

4、 ),(012A),( 44Bpxy22解：将其轴截面按下图位置放置，并建立如图的坐标系。则， ，设抛物线弧OA所在的抛物线方程为：， 第7页/共11页8),( 44B2pxy420y代入求得：抛物线方程为：（）12 qyx),( 44B2q621xy设直线ABAB的方程为：，代入求得：直线ABAB的方程为：所求“冰激凌”的体积为： 3401242232246212)()()(cmdxxdxx第8页/共11页9变式引申变式引申:某电厂冷却塔外形如图所示某电厂冷却塔外形如图所示,双曲线的一部分双曲线的一部分绕其中轴绕其中轴(双曲线的虚轴双曲线的虚轴)旋转所成的曲面，其中旋转所成的曲面，其中A,A

5、是是双曲线的顶点，双曲线的顶点，C,C是冷却塔上口直径的两个端点，是冷却塔上口直径的两个端点，B,B 是下底直径的两个端点，已知是下底直径的两个端点，已知AA=14m,CC=18m,BB=22m,塔高塔高20m.(1)建立坐标系，并写出该曲线方程建立坐标系，并写出该曲线方程(2)求冷却塔的容积（精确到求冷却塔的容积（精确到10m3塔壁厚度不计，塔壁厚度不计， 取取3.14）22xy114998( )8822121212 Vx dyy49 dy2( )()第9页/共11页10课堂小结：1.1.求体积的过程就是对定积分概念的进一步理解过程，总结求绕x x轴旋转的旋转体体积步骤如下： 1 1）先求出 yf x 2baVfx dx2 2）代