数列通项求解的基本方法与练习题

1、常见数列通项的求解方法几种常见递推数列通项公式的求解方法。解决方法类型一：anan f(n) ( f n可以求和)累加法例1、在数列 N !中，已知a-t=1，当n _ 2时，有an =an 2n -1 n _ 2 ，求数列的通项公式。解析：an -4 丄=2n -1(n _ 2)For pers onal use only in study and research; not for commercial usea? - a1 1a4 _a3上述n1个等式相加可得:an _an=2n -1an y = n2 -1评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。For pers onal us

2、e only in study and research; not for commercial use类型一专项练习题：1、已知 a=1，an =an+ n ( n A 2)，求 an。2、已知数列 tan 1，a1=2， an 1=an +3n+2，求 an 。an_ n(n - 1)-2n(3n 1)2For pers onal use only in study and research; not for commercial use3、 已知数列an满足an d =an - 2n 1，a1 =1，求数列an的通项公式。an二n2 14、 已知an中，a1 = 3, an 1 = an

3、 2，求 4。an = 2 ' 11 C 屮 *r3 (1 严5、已知 a1 二，an 1 = an - (n N ),求数列'a?通项公式.a-2 12丿26、已知数列：a*满足Q =1,a*=3心an4n 一 2 ,求通项公式an ？an3n-17、若数列的递推公式为a1 =3,為1二an-2 3n1(n，N*)，则求这个数列的通项公式an =12 -38已知数列an满足anan-2 .3n-1,印=3，求数列何的通项公式。a 3n n 13 19、 已知数列 a 满足 a1 二，an .1 = an 2 ，求 an。an :2n +n2 n10、数列 Ian 1中,印=2

4、 , an=an+cn ( c是常数，n= 1,2,3,),且 an a?, a3成公比不为 1 的 等比数列.(I )求c的值；c=2(II )求ian ?的通项公式.an = n2 - n 211、设平面内有n条直线(n > 3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)二5;6f(n)= n n 2(用n表示).类型二：an.1 = f(n) an ( f(n)可以求积)累积法例1、在数列：an匚中，已知a1 =1,有nan厂n 1 an, ( n 一 2)求数列：a"的通项公式解析：aananan -2 ”

5、j a3a2玄an anJ2anJ3玄2玄1口 口川3 - 1n 1 n n14 3 n 12 *又(a1也满足上式；.an(n N )n +1评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。类型二专项练习题：1 已知 a1 =1, a厂刖儿(“-2)，求 an2、已知数列满足a- , an厂亠an，求a.3n +13n3、已知an中，an 1 n an，且q=2，求数列 佝的通项公式 a. n十23n 14、已知印=3 , an1 二亍an(一1)，求 anan3n 15、已知 a1 =1, an = n(an1-an)(n，N*),求数列'af通项公式ann2 n6、已知数列an?满

6、足a1=1,an1=2nan，求通项公式an?an =3 n! 2nJ 57、已知数列an满足an生=2(n 1)5n an，a1 =3，求数列an的通项公式。8已知数列an，满足ai=1, an=a1 2a2 3a3n1)an(n2),则an的通项an1n!n =1n _29、设an是首项为 1 的正项数列，且(n + 1) an 1 -nan +an+1 an = 0 (n = 1,2, 3,)，求1an =n10、数列an的前n项和为Sn，且a-1，Sn=n2an(n N*)，求数列an的通项公式.它的通项公式.an 2n +n类型三：an 1 Aan B(其中A,B为常数A=0,1 )

7、解决万法待定常数法可将其转化为an 1A(an t)，其中t =B ，则数列3n t为公比等于A的等比数列,A 1然后求an即可。例1在数列：an *中，a1 =1,当n 一 2时，有an =3anJ 2，求数列、an的通项公式。解析：设 an t =3 an t，则 an = 3an 2tt =1，于是 an3 an 4 1n 1是以ai *1=2为首项，以3为公比的等比数列。 an =2 3心-1类型三专项练习题:1、在数列；£n!中，印=1, an 2an 3，求数列C的通项公式。(务=3“ - 2)2、若数列的递推公式为a1 =1,an 1=2an-2(n L*)，则求这个数

8、列的通项公式an=2-2n13、已知数列an中，a1=1, an= -an4+ 1(n 2)求通项 an . a=2-224在数列an(不是常数数列)中,an+=訊+2且a1,求数列®的通项公式.11，2-n3an5、在数列an中,a =1,an i=3 an1 求 an.6、已知数列ian ；满足a =1,an 4. =2an 1(n N*).求数列lan?的通项公式.an = 2n-17、设一次方程anx2-an+1 X+1=0(n匕N)有两根a和卩，且满足 6 a -2 a卩+6卩=3.(1)试用an表示an 1 ;11an 1an ' T23 21(2)求证：数列an

9、 -兰是等比数列;I 3j(3)当ai二7时，求数列 玄？的通项公式a-i163 2 丿8、在数列 f 中，S为其前n项和，若ai拧，a2 =2，并且Sn i -3S 2Snj 0(n > 2)，试判 断b -1 “n N )是不是等比数列？是类型四：Aan 1 Ban Can=0；其中A,B,C为常数，且A BC = O可将其转化为A an彳Wan - - an Wann2 (*)的形式，列出方程组A- B-.-,解出,:;还原到(* )式，则数列：a. 1 * an 是以a2 印为首项，为公比的-：二CA等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出an。例1在数列：aj中，3 =2， a

10、? =4，且an 3a2anj n_2求数列2昇的通项公式。解析：令 an 1 ran =2(an *an4),(n -2)得方程组3解得- -1f=2;' -2an 1 -an =2 an -an4 n - 2则数列an1-a是以&2-印为首项，以2为公比的等比数列an d -an =2 2 = 2a? - ai = 222a3 -'a2a4 a31-2an - an= 2nJ=23评注：在Aand七务 Vk丄=0;其中A,B,C为常数，且AB 0中，若A+B+C=0则一定可以构造a彳-aj为等比数列。例 2 已知=2、a2 =3, an 厲=6an-an (n 2)

11、,求 an解析：令 an d 丄汩“ =：an 二a*n _2，整理得 a* d = ： -a* zan_i - - -162 =9 -2nj ;an 1 3a a2 3ai 29 23 an=2 2n94得 0 1 £ 0 二-"I t2 29t10bn 1910两边同除以2n*得，:黑a3令扌"n，- bn 12bn令 0 1 t 号 bn t ,94913矿秸为首项，-为公比的等比数列。bn_9 =丄 _310 一10 2n -Abn/、n 4=2+丄 310 10 2即企2类型四专项练习题:9 n 1 n 4 得 aF 丁3)1 -2、已知ai=1,a2=

12、5 ,a.羊=5 a.卑-2 a.,求数列a“的通项公式an.a3-333(3/3、 已知数列玄:中，Sn是其前n项和，并且Sn4an 2( n=1,2,川),a, =1 ,设数列bn二an1 -2an(n=1,2,)，求证：数列 匕？是等比数列；设数列Cn =¥(n =12)，求证：数列 心血等差数列；2n求数列：n的通项公式及前n项和。an=2n3(n -1)Sn(3n -1)2n- 24、数列：an 1：3an 2-5and2an=0(n_1,n N)， a1=a, a2二b，求数列 玄餐的通项公式。nJan =3b2a 3(a-b)in3类型五：anpan f (n) ( p

13、 = 0 且 p = 1)一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。1J例1 设在数列中，2=1，aan'2n-1n_2求数列匕,的通项公式 解析：设 bn = an An b1 _an An BanA n -1 B展开后比较得 2=0 +1=0.2 2A = -4B =62这时 bnbn4 n 丄2 且 bn 二 an -4n 6bn?是以3为首项，以丄为公比的等比数列n 4n 4a-4n 6， - an =34n -62例2 在数列aj中，印=2 , an=2an+2nH4(nr 2)求数列an的通项公式 解析：=2可二-2n 1 n _2an-2an=2n1,两边同

14、除以2n得吕一储=2.岂 是以空=1为首项，2为公差的等差2 22 J 2数列。a1 n -1 j，2 = 2 n -1即 an = 2 i2n -d例3 在数列 玄？中，印=5， an =2an 2n-1 n_2,nn 求数列GJ的通项公式。解析：在an =2anJ 2n -1中，先取掉2n，得 务=2-1令 an * ' 2 an 1 ''，得，=-1，即 an - 1 二 2(an J _ 1)；然后再加上2n得an -1 =2 an -12n；an -1 -2 an二-1 =2n两边同除以2n，得更学-叫学=1；2n 2“ 亠-an1是以 乩11 =2为首项，1

15、为公差的等差数列I 2n J 2an " 12n=2 n T 二 n 1，.an =2n n 112n的其它式子，再构造或待定评注：若f(n)中含有常数，则先待定常数。然后加上例4已知数列an满足an d =3an - 5 2n 4, &1=1,求数列何的通项公式解析：在an 1 =3an 5 2n 4中取掉5 2n待定令am t =3 an t，则 am =3an 2t2t=4， t=2 ； - an2=3an2,再加上 5 2 得,am 3 an 2 5 2n，整理得:an 12令J弋，则bn1 J3 3t令t m * t , bn1 =尹石；13 3 n'兀2，

16、即an22n整理得 an =13 3n-5 2n -2t =5;E _52 "2-为公比的等比数列2即"5中5 ;.数列阮“是以0 6宁,舟为首项,类型5专项练习题：1、设数列 曲的前n项和S4al2n1 J n _1, nN*，求数列 曲 的通项公式a4n -2n12、已知数列玄/ 中, a ,点n,2an “ - an在直线y = x上，其中n = 1,2,3| 11.(1)令bn二an 1 -an -1,求证：数列f bn?是等比数列；(2)求数列玄啲通项；“訂-23、 已知 6=2，an卅=4an+2n*，求 a.。a. =4n 2n4、设数列"an:a

17、=4,an= 3an 丄 2n -1,(n_ 2)，求 an.an= 43n一 n -15、已知数列an满足 q =2,an1=2為(2n-1),求通项anan= 52nJ- 2n-16、在数列an中,a1 = ?，2an -anJ 6n - 3，求通项公式 an。an27、已知数列 & 冲，a|, anan ()n1，求 a.。a -2 -63213丿8 已知数列 an ，a1=1, n N” &.十=2a. + 3 n ,求通项公式 a. an=3-2n5 19、 已知数列a.满足a. =33. - 2 3n 1，a3，求数列a.的通项公式。a (2n- ) -6 210、

18、 若数列的递推公式为a1 =1,a. 1 =3a. -2 3n 1(. L)，则求这个数列的通项公式 an 即7r2n)a5-3n4-2n111、已知数列弄满足a1 =1,an3a. 2n1,求a.12、已知数列a.满足an-2an ' 3 -2n，a, =2，求数列a.的通项公式a.珂3n-1) 2n1n n 1an = 52 -14、已知 a1 =1， an - -an 2n'，求 an。an =2n - 115、已知aJ 中，a =1，an =2anj 2n(n 2)，求 a. an13、已知数列an满足an1 =2an 3 5n,印=6，求数列an的通项公式1116、已

19、知数列 也？中，Sn是其前n项和，并且Sn4an 2(n = 1,2,川)® = 1 , 设数列bn二an1 -2an(门=1,2,)，求证：数列bn 1是等比数列;设数列5二宪,(n =1,2,)，求证：数列匕是等差数列;2求数列1an泊勺通项公式及前n项和。an=2n 3(n -1)-2n;s*=(3n -1) -2n- 2类型六：an 1二c anc p d 厂 0)pan d_ 倒数法2 an令b'EW)；展开后得，一2 ；-1bn -22例 1 已知 a1 =4， an* =，求 an。2an +1解析：两边取倒数得： 丄一丄=1，设-=bn,则bn d-1bn =

20、1 ；an 1 2anan2.fbn-2?是以4-2-2 = -7为首项，1为公比的等比数列。a142n -1 bn- 2 71；即 丄-2 =n42； an42n-12* 1an，得 an27评注：去倒数后，一般需构造新的等差(比)数列。 类型六专项练习题：1 11、若数列的递推公式为 印=3,- -2(n L )，则求这个数列的通项公式an 十anan37-6 n2、已知数列an满足3 =1, n2时，a. 4 - a* =2an_an，求通项公式anoanan 43、已知数列 an满足：an口 © =1，求数列 an的通项公式3亦+1。an3n -21n 2 -16、在数列q中

21、，印=2耳1 =仝，求数列an的通项公式.an 3an6一 2n 1a24、设数列an满足a1 -2, ana3,求可."乔F3a5、已知数列 an满足a1=1, an 1 n ，求an an3an +627、若数列 an 中, a1=1,兀1=化 花N，求通项an - a解决方法 类型七：Sn 二 f(an)-an=S (n =1)Sn -Sn(n 一2)例1 已知数列前n项和Sn=4-an-k.21求an 1与an的关系;(2)求通项公式an.解析：1 1 n =1 时，印=$ = 4 -印 - 2，得 a1 =1;1 12-2时，十-务-尹-4"尹；1 1得 an 1

22、' an n 022(2)在上式中两边同乘以2n '得2n G 1 -2匕=2 ;-数列Snan 是以2咕1=2为首项，2为公差的等差数列;2n an = 2 2n2 = 2n ;得 a* 二 。类型七专项练习题：1、 数列an的前N项和为S，a1=1， an+1=2S(n N ).求数列an的通项an。a 3n J2、已知在正整数数列q中，前n项和Sn满足&=丄临，2)2，求数列耳的通项公式.8an =4n -23、 已知数列an的前n项和为Sn = 3n - 2,求数列an的通项公式.內二1 ./门二1)12 3 (n 启 2)4、 设正整数an的前n项和Sn =丄

23、(an 1)2，求数列an的通项公式.an = 3n45、 如果数列an的前n项的和S=§an -3,那么这个数列的通项公式是 an = 2 3n06、已知无穷数列CaJ的前n项和为Sn，并且an Sn =1（n N*），求f aj的通项公式?an=2-类型八：周期型12an, (0 一 an)61、若数列：an /满足an 1二2 ，若ai仝，则a20的值为1 72an -1,(an 1)2解析：根据数列1的递推关系得它的前几项依次为:6,;6,5,3'JimI;我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期；5a20 二 a2 二 7 评注：有些题目，表面看起来无从下手，

24、但你归纳出它的前几项后，就会发现规律，出现周期 性，问题就迎刃而解。类型八专项练习题：1、已知数列an满足a0,an d1（n N*），则 a20=（ B ）A. 0B.- 3C.32、在数列an中，a1a = 5耳 2 二 an 1 -an,求a.-4类型九、利用数学归纳法求通项公式例1已知数列an满足an 1 =3n8(n -1)2 2(2n1)2(2 n3)2a冷，求数列an的通项公式an(2n 1)2 -1(2n 1)2解析：根据递推关系和a8得，a4,a48,|l|l|l92549所以猜测an二2(2n 1) -1(2n 1)2F面用数学归纳法证明它;2假设n= k(k _2)时，命题成立，即ak二(2k 1)2 -1(2k 1)22则"1 时，a+ak kT和16k4 64k3 84k2 44k 8 2k 1 p2k 3弹 + 3)2一12 22k 1 2k 32 22k 1 2k 3(2k + 3)2以下无正文.n k 1时命题成立;由1 2可知命题对所有的n N均成立。n2 n 2(3)求a 的通项公式及