割补法求二次函数图象中面积最大值

1、“割”“补”法求二次函数图象中面积最大值袁苏春【专题名称】中学数学教与学（初中读本）【专 题 号】g351【复印期号】2009年04期【原文出处】数理化学习：初中版(哈尔滨)2008年12期第1821页【作者简介】袁苏春，江苏射阳县实验初中(224300)。    中考试卷与二次函数相关的压轴题经常要求面积的最大值，其求解的基本方法是“割”“补”法。下面举例说明：    一、“割”        (1)求这条抛物线的解析式。 

2、   (2)设此抛物线与直线y=x相交于点a、b（点b在点a的右侧），平行于y轴的直线x=m(0m)与抛物线交于点m，与直线y=x交于点n，交x轴于点p，求线段mn的长（用含m的代数式表示）    (3)在条件(2)的情况下，连接om、bm，是否存在m的值，使bo材的面积s最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由。        (3)分析：因为omb的三边中没有边在坐标轴上（或与坐标轴平行），所以可以考虑把omb“割”成omn和bmn（

3、mny轴），因为omn和bmn的边mn上的高之和是一定的，所以mn为底，omb的面积可求。        例2如图2，已知o为坐标原点，aob=30°，abo=90°，且点a的坐标为(2，0)。        图2    (1)求点b的坐标；    (2)若二次函数的图象经过a、b、o三点，求此二次函数的解析式；  &

4、#160; (3)在(2)中的二次函数图象的ob段（不包括点o、b）上，是否存在一点c，使得四边形abco的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点c的坐标；若不存在，请说明理由。    分析：因为四边形oabc的边oa在x轴上，所以可以考虑把四边形oabc“割”成ocd、梯形cdgb、gab，只要分别求出ocd、梯形cdgb、gab的面积，即可求出四边形oabc的面积。        评注：当所求面积的图形有边在坐标轴上时，通常用“割”的方法，如例2中的四边形oa

5、bc有边oa在x轴上，四边形oabc被cd、bg（cd、bg都与y轴平行）“割”成ocd、梯形cdgb、gab；当所求面积的图形没有边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，也可以用“割”的方法，使“割”后图形有边在坐标轴上（或与坐标轴平行），如例1中omb被mn（mn与y轴平行）“割”成omn和bmn。    二、“补”    例3如右上图3，在直角坐标系中，点a的坐标为(-2，0)，连接oa，将线段oa绕原点o顺时针旋转120°，得到线段ob。    (1)求点b的坐标

6、；    (2)求经过点a、o、b三点的抛物线的解析式；    (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点c，使boc的周长最小？若存在，求出点c的坐标；若不存在，请说明理由。         图3    (4)如果点p是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么pab是否有最大面积？若有，求出此时p点的坐标及pab的最大面积；若没有，请说明理由（注意：本题中的结果均保留根号） &#

7、160;          (3)在(2)中的抛物线cp段（不包括c、p点）上是否存在一点m，使得四边形mcap的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时m点的坐标；若不存在，请说明理由。        (3)分析：直接求四边形mcap的面积，显然不好求。通过“割”的方法也比较繁。倒不如把四边形mcap与oca“补”成五边形mcoap，然后再把五边形mcoap“割”成易求面积的梯形coem、梯形medp、pda，即可简捷地求解四边形mcap的面积。        评注：当所求面积的图形没有边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，除用“割”的方法外，还可以用“补”的方法，使“补”后的图形有边在坐标轴上（或与坐标轴平行），然后再用“割”的方法分别求“割”后的图形