2020-2021学年广东省佛山市高二(上)期末考试数学(文科)试题Word版含解析

1、2020-2021学年广东省佛山市高二（上）期末考试数学（文科）试j一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的1. 过点A （2, 1）,且与直线x+2y1二0垂直的直线方程为（）A. x+2y - 4=0 B. x - 2y=0 C. 2x - y - 3=0 D. 2x+y - 5=02. “圧3”是“直线ax - 2y - 1=0与直线6x - 4y+l二0平行”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3. 若命题“p/ （q）”与“p”均为假命题，则（）A. p真q真 B. p假q真

2、C. p假q假 D. p真q假4. 已知两条不同直线m、1,两个不同平面a、B,下列命题正确的是（）A. 若1 a,则1平行于a内的所有直线B. 若 mu a , lu 0 且 1 一m,则 a 丄 BC. 若lu 0, 1丄a ,则a丄0D. 若 mu a , lu 0 且 a 0 ,则 m 15. 在两坐标轴上截距均为m（mGR）的直线1与直线L： 2x+2y3二0的距离为逅，则m=（）A.上 B. 7 C.1或7D. 丄或上2 2 26. 已知圆锥的底面半径为1,侧面展开图的圆心角为60° ,则此圆锥的表面积为（）A. 3 n B. 5 n C. 7 n D. 9 n7. 已知

3、直线x二1上的点P到直线x-y=0的距离为伍，则点P的坐标为（）A. （1,1） B. （1, 3） C. （1, - 2）或（1, 2） D. （1,1）或（1, 3）"x+y+408. 已知圆C：二4上所有的点满足约束条ft 2x-y+8>0,当m取最小值时，可行域（不等.x=<iri式组所围成的平面区域）的面积为（）A. 48 B. 54 C. 242 D. 3639. 已知点 A（V3，0）和 P（V3，t） （tGR）,若曲线 x2+y=3 ±存在点 B 使ZAPB二60°，贝0 t的最大值为（）A. V3 B. 2 C. 1+V3 D. 3

4、2 210. 已知双曲线务宁1 （a>0, b>0）的右顶点为A,左焦点为F,过F作垂直于x轴的a2 b2直线与双曲线相交于B、C两点，若AABC为直角三角形，则双曲线的离心率为（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 511. 在平面也角坐标系xOy中，圆C的方程为x'+y - 8x+15二0,若直线y=kx - 2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（）A. Z B. 2 C. 2 D. 33312. 矩形ABCD沿BD将ABCD折起，使C点在平面ABD上投影在AB上，折起后下列关系：A ABC是直角三角形；ZXACD是直角三角形；

5、ADBC：AD丄BC.其中正确的是（）A. ®® B. C. ®® D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13. 命题 “VxWR, x'+x+l>0” 的否定是.14. 已知椭圆的两焦点坐标分别是（2, 0）、（2, 0）,并且过点（2並,3）,则该椭圆的标 准方程是.15. 四面体ABCD中，AB二2, BC二3, CD二4, DB二3, AC二后，ADrj两，则四面体ABCD外接球的表面积是.16. 已知圆C的方程是x'+y'4x=0,直线1： ax-y- 4a+2二0 （aGR）与圆C相交于M、N两点

6、， 设P （4, 2）,则PM + PX的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. （10分）已知某儿何体如图1所示.（1）根据图2所给儿何体的正视图与俯视图（其中正方形网络边长为1）,画出儿何图形的侧 视图，并求该侧视图的面积；（2） 求异面直线 AC 与 EF 所成角的余弦tf值.18（12分）如图，面积为8的平行四边形ABCD, A为坐标原点，B坐标为（2, - 1）, C、D 均在笫一象限.（I）求直线CD的方程;（II）若BC：=V13求点D的横坐标.19. （12分）如图，三棱锥A-BCD中，BC丄CD, AD丄平面BC

7、D, E、F分别为BD、AC的中点（I）证明：EF丄CD：（II）若BC=CD=AD=1,求点E到平面ABC的距离.20. （12分）已知动点P与两个顶点M （1, 0）, N （4, 0）的距离的比为丄.2（I）求动点P的轨迹方程；（II）若点 A（2, 2）, B（2, 6）, C（4, 2）,是否存在点 P,使得 PA =+|PB 3+|PC|2=36.若 存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.21. （12分）如图，在长方体ABCDA:BiCD中，AB=3, AAx=2, AD二1, E、F分别是AA】和BB】 的中点，G是DB上的点，且DG二2GB.（I）求三棱锥氏EBC的体积；

8、（II ）作出长方体ABCD AxBxCxDx被平面EB£所截的截面（只要作出，说明结果即可）;(Ill)求证:GF平面EBC22. (12分)已知M是抛物线C：产2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，ZMFx二60°且FM|=4.(I )求抛物线C的方程；(II)已知点P在y轴正半轴，直线PF交抛物线C于A(X1, yj、B (x=,兀)两点，其中刃 >0, y：<0,试问晋j_帯是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.2020-2021学年广东省佛山市高二（上）期末考试数学（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6

9、0分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的1. 过点A （2, 1）,且与直线x+2y1二0垂直的直线方程为（）A. x+2y - 4=0 B. x - 2y=0 C. 2x - y - 3=0 D. 2x+y - 5=0【分析】设要求的直线方程为：2xy+nFO,把点A （2, 1）代入解得m即可得出.【解答】解：设要求的直线方程为：2xy+m二0,把点A （2, 1）代入可得：4 1+m二0,解得m二 3.可得要求的直线方程为：2xy3=0,故选:C.【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2. “沪3”是“直线ax - 2y - 1

10、=0与直线6x - 4y+l二0平行”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【分析】利用直线与直线的平行条件得出匕二丘，结合充分必要条件判断即可.【解答】解：若“a二3”成立，则两直线的方程分别是3x - 2y - 1=0与6x - 4y+l二0,匕盏皂.2 所以两直线一定平行； 反之，当“直线ax - 2y - 1=0与直线6x4y+l二0平行”成立时，有去丄，所以a=3；6 2所以“沪3”是“直线ax - 2y - 1=0与直线6x4y+l二0平行”的必要充分条件， 故选：A.【点评】本题简单的考查了直线的平行的条件，充分必要条件的概念，难度不大，

11、属于容易题.3. 若命题“p/ （q）”与“p”均为假命题，则（）A. p真q真 B. p假q真 C. p假q假 D. p真q假【分析】山已知结合复合命题真假判断的真值表，可得答案.【解答】解：命题“P”为假命题，'P为真命题，又' upA ('q)”为假命题，故命题“q”为假命题，°q为真命题，故选：A.【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，熟练掌握复合命题真假判断 的真值表，是解答的关键.4. 已知两条不同直线m、1,两个不同平面a、0,下列命题正确的是()A. 若1 !,则1平行于CI内的所有直线B. 若 mu a , lu 0 且

12、1 一m,则 a 丄 BC. 若lu 0, 1丄a ,则a丄0D. 若 mu a , lu B 且 a B ,则 m 1【分析】由线面平行的性质定理可知A错误；若m u a, lu B且1丄m,则a、B位置关系不 确定；根据平面与平面垂直的判定定理可得结论；由平面与平面平行的性质定理可得结论.【解答】解：由线面平行的性质定理：若1 a,a n P 则lm可知，A错误；若mu a , lu 0且1丄m,则a、B位置关系不确定，B错误；根据平面与平面垂直的判定定理，可知C正确：山平面与平面平行的性质定理，可知D不正确.故选C.【点评】本题主要考查了直线与平面，平面与平面的位置关系及判定定理、性质定

13、理的综合应 用，属于知识的综合应用.5. 在两坐标轴上截距均为m(mGR)的直线1与直线b： 2x+2y3二0的距离为血，则nr( )A冷B. 7 C.或7D.诗或专【分析】设直线h的方程为2x+2y - 2呼0,利用直线h与直线1： 2x+2y3二0的距离为近,可得2叶辻刊任V4+4即可求岀m的值.【解答】解:设直线h的方程为2x+2y-2m二0, 直线h与直线lc： 2x+2y - 3=0的距离为屁”4+4m=丄或工,2 2故选D.【点评】本题考查两条平行线间距离的计算，考查学生的计算能力，比较基础.6. 已知圆锥的底面半径为1,侧面展开图的圆心角为60°，则此圆锥的表面积为()

14、A. 3 n B. 5 n C. 7 n D. 9 n【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，求出母线长，即可求解圆锥的表 面积，【解答】解：设母线长为1,则1=271-1，3解得：1=6.圆锥的表面积为兀16+血1二7 n ,故选：C.【点评】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题 的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.7. 已知直线x二1上的点P到直线xy二0的距离为血，则点P的坐标为()A. (1,1) B. (1, 3) C. (1, - 2)或(1, 2) D. (1,1)或(1, 3)【分析】设P (1

15、, b),则11亠逅，求出b,即可求出点P的坐标.V2【解答】解：设P (1, b),则11袒二近，V2b=1或3,r.P (1, 1)或(1, 3),故选D.【点评】本题考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础.8. 已知圆C： xT二4上所有的点满足约束条ft 2x+8>0,当m取最小值时，可行域(不等ID式组所圉成的平面区域)的面积为()A. 48 B. 54 C. 242 D. 363【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据三角形的面积最小求出m的最小值，结合三角形 的面积公式进行求解即可.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，要使圆C： x:+y:=4上所有的点满

16、足约束条件，则 m$2,则m取最小值2时，阴影部分的面积最小，山严二 2得 f 乂二 2 ,即。(2, -6),(x+y+4=0 .歼一6由(沪'得卩陀,即A (2, 12),(2x-y+8=0(y=12由 fx+y+4=0 得侶-4,即 b ( -4, 0),、2x-y+8=0 I y=0则三角形的面积sd2(-4) 12(6)丄x&X1疔4,2 2【点评】本题主要考查线性规划的应用，以及三角形的面积的计算，根据图象求出m的最小值 是解决本题的关键.9. 已知点A0)和P(V3, t) (tGR),若曲线x'+yN上存在点B使ZAPB=60°，贝0 t 的最

17、大值为()A. Vs B 2 C 1+x/s D 3【分析】由题意,PB与圆相切，ZAPB=60° , t取得最大值或最小值,t取得最大值时,tan30° 二3,即可得出结论.t【解答】解：山题意，PB与圆相切，ZAPB二60° , t取得最大值或最小值，t取得最大值时，tan30° =21, At=3,t故选D.【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题.2 210. 已知双曲线笃宁1 (a>0, b>0)的右顶点为A,左焦点为F,过F作垂直于x轴的a2 b2直线与双曲线相交于B、C两点，若AABC为直角三角形，则双

18、曲线的离心率为()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【分析】先求岀当x=c时，y的值，再利用AABC为直角三角形，建立方程，由此可得双曲 线的离心率.,2【解答】解：由题意，当x二c时，y二土丄aABC为直角三角形，1 2=a+ca/ c2 - a:=a (a+c)Ac - a=a c=2a e 二a故选：A.【点评】本题考查双曲线的儿何性质，考查学生的计算能力，属于基础题.11. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2 - 8x+15二0,若直线y二kx - 2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是()A. Z B.空 C. 2 D. 33

19、3【分析】由于圆C的方程为(x4) 2+y2=l,由题意可知，只需(x4) V=1与直线y=kx2 有公共点即可.【解答】解：圆C的方程为x:+y= - 8x+15=0,整理得：(x-4) 2+y2=b即圆C是以(4, 0) 为圆心，1为半径的圆；乂直线y=kx - 2 ±至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需圆C' :(X - 4) 2+y2= 1与直线y=kx - 2有公共点即可.设圆心C (4, 0)到直线y二kx2的距离为d,则十严一2| 02,即3F4kW0, 0WkW亘3k的最大值是!.3故选B.【点评】本题考查直线与圆的位置关系，将条件

20、转化为“(X4)，+才二4与直线y二kx2有公 共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题.12. 矩形ABCD沿BD将ABCD折起，使C点在平面ABD ±投影在AB ±,折起后下列关系： A ABC是直角三角形；ZXACD是直角三角形；ADBC：AD丄BC.其中正确的是()A. ®® B. C. ®® D.【分析】记折起后C记为P点，根据线面垂直的性质定理和判断定理，分析折起后的线面，线 线关系，可得答案.【解答】解：已知如图：折起后C记为P点，由P (C) 0丄底面ABD,可得P (C) 0丄AD,又由AB丄AD,可得：

21、AD丄平面P (C) AB,进而AD丄P (C) B,又由 PD (CD)丄PB (CB),故 PB (CB)丄平面 P (C) AD,故 PB (CB)丄P (C) A, 即：AABP是直角三角形；即：AABC是直角三角形；故正确；由中，AD丄平面P (C) AB,可得：AD丄P (C) A,即AAPD是直角三角形，即AACD是直角三角形，故正确：AD与BC,异面，故错误；由中，AD丄平面P (C) AB,可得：AD丄P (C) B,即AD丄BC,故正确：故选:A【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与直线的位置关系，直线与平 面的位置关系等知识点，难度中档.二、填空题：本

22、大题共4小题，每小题5分，满分20分13. (2016*长春二模)命题 “VxWR, x'+x+l>0” 的否定是 m xWR, x'+x+lWO .【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：“V ”；：“”即可，据此分析 选项可得答案.【解答】解：命题“VxWR, x2+x+l>0 “的否定是：m xER, x'+x+lWO.故答案为:3 xWR, x'+x+lWO.【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“”的否定用“ V”T.这里就有注意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”.特称 命题的否

23、定是全称命题，“存在”对应“任意”.14. 已知椭圆的两焦点坐标分别是(2, 0)、(2, 0),并且过点(2舅，舅)，则该椭圆的标 准方程是-事害【分析】设出椭圆方程，利用焦点坐标以及椭圆经过的点，列岀方程求解即可.【解答】解：椭圆的两焦点坐标分别是(2, 0)、(2, 0),可得c二2,2 2设椭圆方程为：务+二一二1，椭圆经过点(2価，V3),a a -4可得：埠解得沪4，a2 a 2-4则该椭圆的标准方程是：菩+£二1故答案为:2 2X, 71612丄【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查讣算能力.15. 四面体ABCD中，AB二2, BC二3, CD二4,

24、DB二3, AC二后，ADrj两，则四面体ABCD外接球的 表面积是29 Ji .【分析】山题意，DC丄AC, DC丄BC, AB丄BC,将四面体扩充为长方体，体对角线长为屈每刊网， 即可求出四面体ABCD外接球的表面积.【解答】解：由题意,DC丄AC, DC丄BC, AB丄BC,将四面体扩充为长方体，体对角线长为VI帀逅， 四面体ABCD外接球的表面积是4兀(夢)2二29 - 故答案为29 n.【点评】本题考查四面体ABCD外接球的表面积，将四面体扩充为长方体，求出体对角线长是 关键.16. 已知圆C的方程是x2+y-4x=0,直线1： ax-y- 4a+2二0 (aGR)与圆C相交于M、N

25、两点， 设P (4, 2),则PM + P的取值范围是 (4, 4回 .【分析】把直线1的参数方程(x=4+lcos Q代入x2+y2 - 4x=0,可得tM (sin a +cos a ) t+4二0,利用 > 0 ,可得sin a cos a > 0 , a G ( 0 ,),利用根与系数的好像可得2|PM| + |PN|二比 + tj二t+tj二4血sin ( a+),即可得出.4【解答】解：把直线1的参数方程沪4+WosCl,代入 x2+y: - 4x=0t 可得 t:+4 (sina +cos a ) t+4=0,由二 16 (sin a +cos a ) 2 - 16&

26、gt;0t sin a cos a >0,Xa e0, n ), a e (0,),2/.tj+1：二-4 (sina+cosa ),二4./t!<0, t2<0./ PM|+ PN| = itx + tj二七+t二4 (sina+cosa )二4血sin ( a+),4由 Cl W (0,),可得 a +2Le (,竺)，A2£l<sin ( a +2L) Wl,244424A |PM| + |PN|的取值范围是(4, 4同.故答案为(4, 421.【点评】本题考查了直线参数方程的运用、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了 推理能力与计算能力，属于中

27、档题.三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. （10分）已知某儿何体如图1所示.（1）根据图2所给儿何体的正视图与俯视图（其中正方形网络边长为1）,画出儿何图形的侧视图，并求该侧视图的面积;求异面与 EF 所成角的余弦AC【分析】（1）根据三视图的画法，画出侧视图，并求岀面积即可，（2） III于ACDF,得到AC与EF所成的角即为ZDFE,在ADEF中，解三角形可得.【解答】解：（1）侧视图如图所示：其中皿传XX迪（2） VAC/7DF,/.AC与EF所成的角即为ZDFE,在ZXDEF 中，DF二4,乂 AB二2屁则 deR,V ADEF为等

28、腰三角形 cos ZDFE二 Z二 2佰,V2929异面直线AC与EF所成角的余弦值为竺29M【点评】本题考查了三视图的画法和异面直线所成的角，属于中档题.-1), C、D18（12分）如图，面积为8的平行四边形ABCD, A为坐标原点，B坐标为（2, 均在第一象限.（I）求直线CD的方程；（II）若|BC|=V13,求点D的横坐标.AB二弱即可求直线CD的方程;利用S二8,（II）若 iBC 二届，则 AD =V13,可得a-H2b-8=0Va2+b2=vn,即可求点D的横坐标.【解答】解：（I）由题意，k沪也二丄，2'直线 CD 的方程为 y= - x+m,即 x+2y - 2m=

29、0, 2VS=8, AB 朋，.丨缶|二8 帀TT/. m= ± 4,由图可知m>(),直线CD的方程为y二丄x+m,即x+2y - 8=0；2(II)设 D (a, b),若 BC =a/13，则 IAD =VT，-2b-2=0r, :点D的横人比标a-1. 2或2.a2+b -V13【点评】本题考查直线方程，考查距离公式的运用，属于中档题.19. (12分)如图，三棱锥ABCD中，BC丄CD, AD丄平面BCD, E、F分别为BD、AC的中点(I) 证明：EF丄CD：(II) 若BC=CD=AD=1,求点E到平面ABC的距离.【分析】(I)取CD的中点G,连接EG, FG,

30、证明CD丄平面EFG,即可证明：EF丄CD：(II)利用等体积方法，求点E到平面ABC的距离.【解答】(I)证明：取CD的中点G,连接EG, FG,E为BD的中点，EGBC,TBC丄CD, EG丄CD,同理FGAD, AD丄平面BCD, .IFG丄平面BCD,.FG丄CD,I EG A FG二G, CD 丄平面 EFG,EF丄CD：(ii)解：s.g号S.g号弓，设点E到平面ABC的距离为h,则1X1X1=±X2Z2.-.hW2,34324即点E到平面ABC的距离为*2.【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查等体积法求点E到平面ABC的距离，考查学生 分析解决问题的能力，属于中档

31、题.20. (12分)已知动点P与两个顶点M (1, 0), N (4, 0)的距离的比为丄.2(I) 求动点P的轨迹方程；(II) 若点 A( - 2, 2), B(2, 6), C(4, 2),是否存在点 P,使得 PA 2+|PB :+|PC|-=36.若 存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.【分析】(I)利用直接法，求动点P的轨迹方程；(II)由|PA|2+|PB|2+|PC|2=36,可得3x'+3y，+16x12y+32二0,得出公共弦的方程，即可得出 结论.【解答】解：(I)设P (x, y),则动点P与两个顶点M (1, 0), N (4, 0)的距离的比为丄，2

32、A 2V (x-1 )2 +严血-4 )fx'+y-4,即动点P的轨迹方程是x:+yM；(II)由 PA 2+|PB|:+|PC|2=36,可得(x+2) 2+ (y+2) '+ (x+2) + (y 6) 2+ (x+4) 2+ (y - 2) -=36,/.3x2+3y3+16x - 12y+32=0,T x'+y二 4,4x - 3y+ll二0,圆心到直线4x - 3y+ll二0的距离d=Ak>2,5直线与圆相离，不存在点匕使得PA 3+|PB|2+ PC =36.【点评】本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题.21. (12分)如图，在长方体ABCD A：BGDi中，AB二AA二2, AD二1, E、F分别是AA】和BB】 的中点，G是DB上的点，且DG二2GB.(I) 求三棱锥BEBC的体积；(II) 作出长方体ABCD AbCD被平面EBC所截的截面(只要作出，说明结果即可)；(III) 求证:GF平面EBC【分析】(1 )求出点E到平面B：BC的距离为AB=V3, ill此能求出三1 Z棱锥BEBC的体积.(II) 取AD的中点M,连结EM, MC,则EMCBi是长方体ABCD - ABCJX被平面EBC所截的截面.(I