机械波波动方程

1、 机械波、波动方程机械波、波动方程13-1 13-1 机械波的基本概念机械波的基本概念 13-2 13-2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程 第十三章第十三章机械波和电磁波机械波和电磁波波动是振动的传播过程波动是振动的传播过程. .振动是激发波动的波源振动是激发波动的波源. .机械波机械波电磁波电磁波波动波动机械振动在弹性介质中的传播机械振动在弹性介质中的传播. .交交变电磁场在空间的传播变电磁场在空间的传播. .13-1 机械波的基本概念机械波的基本概念一、机械波产生的条件一、机械波产生的条件波源波源介质介质+弹性作用弹性作用机械波机械波产生产生条件条件：1 1、有做机械振动的物体，

2、即波源；、有做机械振动的物体，即波源； 2 2、有连续的介质、有连续的介质弹性介质弹性介质. . 波是运动状态的传播，介质的波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播质点并不随波传播. .注意注意机械波：机械振动在弹性介质中的传播机械波：机械振动在弹性介质中的传播. .(1)(1)横波：横波：质点振动方向与波的传播方向相质点振动方向与波的传播方向相垂直垂直的波的波. . 特征：特征：具有交替出现的波峰和波谷具有交替出现的波峰和波谷. .如绳波如绳波( (机械横波仅在固体中传播机械横波仅在固体中传播) )、电磁波、电磁波二、横波和纵波二、横波和纵波(2) 纵波：纵波：质点振动方向与波的传播方向互

3、相质点振动方向与波的传播方向互相平行平行的的波波. .如声波（纵波可在固体、液体和气体中传播）如声波（纵波可在固体、液体和气体中传播） 特征：具有交替出现的密部和疏部特征：具有交替出现的密部和疏部. . 注注: :生活中常见的水波不是简单的横波或者纵波生活中常见的水波不是简单的横波或者纵波, ,情况比较复杂情况比较复杂波场波场-波传播到的空间。波传播到的空间。波面波面-波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波前（波阵面）波前（波阵面）-某时刻波源最初的振动状态某时刻波源最初的振动状态 传到的波面。传到的波面。波线（波射线）波线（波射线）-代表波的传播方向的

4、射线。代表波的传播方向的射线。各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直. .沿波线方向各质点的振动相位依次落后。沿波线方向各质点的振动相位依次落后。三、波线和波面三、波线和波面*球球 面面 波波平平 面面 波波波前波前波面波面波线波线振动状态（即位相）在单位时间内传播振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离称为的距离称为波速波速 ，也称之，也称之相速相速1 1、波速、波速 u gu 在固体媒质中在固体媒质中纵波纵波波速为波速为 eu/ g、 e为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 为介质的密度为介质的密度在固体媒质中在固体媒质中横

5、波横波波速为波速为在同一种固体媒质中，在同一种固体媒质中，横波横波波速比波速比纵波纵波波速小些波速小些四、描述波动的几个物理量四、描述波动的几个物理量在液体和气体只能传播在液体和气体只能传播纵波纵波，其波速为：，其波速为： bu/ b为介质的容变弹性模量为介质的容变弹性模量 为密度为密度3、波长、波长 2、波的周期、波的周期和频率和频率21tut u波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需所需 的时间，用的时间，用t表示。表示。波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目的数目，用，用 表示。表示。

6、同一波线上同一波线上相邻相邻的位相差为的位相差为2 的两质点的距离的两质点的距离。介质决定介质决定波源决定波源决定 例例1 在室温下，已知空气中的声速在室温下，已知空气中的声速 为为340 m/s，水中的声速水中的声速 为为1450 m/s ，求频率为，求频率为200 hz和和2000 hz 的声波在空气中和水中的波长各为多少？的声波在空气中和水中的波长各为多少？1u2um7 .1hz200sm3401111um17. 0212um25. 7hz200sm14501121um725. 0222u在水中的波长在水中的波长解解由由 ，频率为，频率为200 hz和和2000 hz 的声波在的声波在u

7、空气中的波长空气中的波长波动方程波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系),(txyy 各质点相对平各质点相对平衡位置的衡位置的位移位移波线上各质点波线上各质点平衡平衡位置位置 简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波简谐运动时，在介质中所形成的波. . 平面简谐波：波面为平面的简谐波平面简谐波：波面为平面的简谐波. .13-2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程一平面简谐波在理想介质中沿一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播，轴正向传播，x轴即为某一波线轴即为某一波线设

8、原点振动表达式：设原点振动表达式：tcosay 0y表示该处质点偏离平衡位置的表示该处质点偏离平衡位置的位移位移x为为p点在点在x轴的坐标轴的坐标一、平面简谐波的波动方程一、平面简谐波的波动方程p点的振动方程：点的振动方程：cos()xyatut 时刻时刻p处质点的振动状态重复处质点的振动状态重复xtu时刻时刻o处质点的振动状态处质点的振动状态xypuoxo点振动状态传到点振动状态传到p点需用点需用 uxt 沿沿x轴正向传播轴正向传播的平面简谐波的波动方程的平面简谐波的波动方程xu沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动. .为为p点的振动落

9、后与原点振动的时间点的振动落后与原点振动的时间时间推迟方法时间推迟方法点点 p 比点比点 o 落后落后的相位的相位opuxtuxxp22)(cosuxtayp点点 p 振动方程振动方程相位落后法相位落后法沿沿x轴负向轴负向传播的传播的平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程cos()xyatupx*yxuaao)tcos(ay00 若波源（原点）振动初位相不为零若波源（原点）振动初位相不为零)(2cos0 xttay)xtcosay022 )xut(cosay02 )xut(kcosa0 0cos ()xyatu或或 2 k波矢波矢，表示在，表示在2 长度内所具有的完整波的长度内所具有的完整波

10、的数目。数目。 质点的振动速度，加速度质点的振动速度，加速度)(sinuxtatyv)(cos222uxtatya0 )uxt (cosay1、如果给定、如果给定x，即，即x=x0yotttx0处质点的振动初相为处质点的振动初相为002 x 02 x为为x0处质点落后于原点的位相处质点落后于原点的位相为为x0处质点的振动方程处质点的振动方程则则y=y(t)xtcos(a)t(y002 若若x0= 则则 x0处质点落后于原点的位相为处质点落后于原点的位相为2 是波在空间上的周期性的标志是波在空间上的周期性的标志二、波动方程的物理意义二、波动方程的物理意义波线上各点的简谐运动图波线上各点的简谐运动

11、图2、如果给定、如果给定t，即，即t=t0 则则y=y(x) 221212xxx 00 )uxt (cosay表示给定时刻波线上各质表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布点在同一时刻的位移分布，即给定了，即给定了t0 时刻的波形时刻的波形同一波线上任意两点的振动位相差同一波线上任意两点的振动位相差xyoux1x2 21212tt)tt( 同一质点在相邻两时刻的振动位相差同一质点在相邻两时刻的振动位相差t是波在时间上的是波在时间上的周期性的标志周期性的标志3.如如x,t 均变化均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形包含了不同时刻的波形0 )uxt (cosa)x( yxyuoxtt t

12、x 0 )utuxtt (cosa)tt ,xx( yt时刻的波形方程时刻的波形方程t+ t时刻的波形方程时刻的波形方程0 )uxtt (cosa)x( yt时刻时刻,x处的某个振动状态经过处的某个振动状态经过 t ，传播了，传播了 x的距离的距离0 )uxt (cosa)t , x( y)tt , xx( y 在时间在时间 t内整个波形沿波的内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离传播方向平移了一段距离 x) t , x( y) tt , xx( y xyuoxtt tx )(cos0222 uxtaty222022221)(costyuuxtuaxy 222221tyuxy 0 )uxt (

13、cosay求求t 的二阶导数的二阶导数求求x的二阶导数的二阶导数三、平面波的波动微分方程三、平面波的波动微分方程平面波的波动微分方程 小结小结求解波动方程方法求解波动方程方法:1 找任意一点找任意一点 的振动方程的振动方程0 x0cos()yat2 写出沿写出沿 轴传播的波动方程轴传播的波动方程x0cos(2)xxyat沿沿 轴传播轴传播x0cos(2)xxyat沿沿 轴传播轴传播x或或cos ()xyatucos ()xyatu沿沿 轴传播轴传播x沿沿 轴传播轴传播x 例例1 1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速已知波动方程如下，求波长、周期和波速. .)(2.50 cos05. 0si

14、xty解解：方法一（：方法一（比较系数法比较系数法）. . )(2cosxttay222.502cos05. 0 xty把题中波动方程改写成把题中波动方程改写成s8 . 05 . 22tm00. 21sm50. 2tu比较得比较得 1）波动方程波动方程2 例例2 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 o x 轴正方向传播，轴正方向传播， 已知振已知振幅幅 ， ， . 在在 时坐标原时坐标原点处的质点位于平衡位置沿点处的质点位于平衡位置沿 o y 轴正方向运动轴正方向运动. . 求求 0tm0 . 2m0 . 1as0 .2t0,0tyyv00 xt解解 写出原点处质点的振动方程写出原点处质点的振动方程

15、yao0cos()yat2 /t01.0cos()2yt1.0cos(2)22xyt2）求求 波形图波形图.(1.0sinm)xs0.1t(1.0cos 2ym)x波形方程波形方程s0.1tom/ym/x2.01.0-1.0 时刻波形图时刻波形图s0.1t1.0cos(2)22xyt3） 处质点的振动规律并做图处质点的振动规律并做图 . .m5 . 0 x1.0cosyt 处质点的振动方程处质点的振动方程m5 . 0 x0m/y1.0-1.0s/t2.0oy1234*1234处质点的振动曲线处质点的振动曲线m5 . 0 x1.01.0cos(2)22xyt 例例3 一平面简谐波以速度一平面简谐

16、波以速度 沿直线传播沿直线传播, ,波波线上点线上点 a 的简谐运动方的简谐运动方程程 .s/m20u23 10cos4ayt 1）以以 a 为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程m10 utm1032as5 . 0t023 10cos(42)()10 xytmuabcd5m9mxo8m0cos(2)xxyatababxx 21052b23 10cos(4byt) 23 10cos(42)( )10 xytm 2）以以 b 为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程uabcd5m9mxo8m23 10cos4ayt3）写出传播方向上点写出传播方向上点c、点点d 的简谐运动方程的

17、简谐运动方程uabcd5m9mxo8m2(3 10)cos4aymt点点 c 的相位比点的相位比点 a 超前超前23 10cos42cacyt2133 10cos45t 点点 d 的相位落后于点的相位落后于点 a 293 10cos45tm1023 10cos42dadyt 4）分别求出分别求出 bc ，cd 两点间的相位差两点间的相位差4 . 4102222dcdcxxuabcd5m9mxo8m23 10cos4ayt 6 . 110822cbcbxxm10 1）给出下列波动方程所表示的波的给出下列波动方程所表示的波的传播方传播方向向和和 点的初相位点的初相位. .0 x)(2cosxtta

18、y)(cosuxtay 2）平面简谐波的波函数为平面简谐波的波函数为 式中式中 为正常数，求波长、波速、波传播方为正常数，求波长、波速、波传播方向上相距为向上相距为 的两点间的相位差的两点间的相位差. .)cos(cxbtaycba,d)cos(cxbtay)(2cosxttayc2bt2cbtudcd2思考思考),(向向x 轴轴正正向传播向传播),(向向x 轴轴负负向传播向传播 3 ） 如图简谐波如图简谐波以余弦函数表示，以余弦函数表示，求求 o、a、b、c 各各点振动点振动初相位初相位. .)(oyxuabcaat=t/4t =0o2a0b2coyaoyaoyaoya例例4 一平面简谐波以

19、波速一平面简谐波以波速u=200ms-1 沿沿 x 轴正方向传播轴正方向传播, 在在 t = 0 时刻的波形如图所示。时刻的波形如图所示。 (2) 求求 t = 0.1 s , x = 10 m 处质点的位移、振动速度和加速度处质点的位移、振动速度和加速度。 u = 200ms-1t = 0 时波形时波形(1) 求求 o 点的振动方程与波动方程点的振动方程与波动方程 ；y123450.02o(m)(m)xam4hzu50420011002s解：解：(1) o 点振动方程点振动方程 taycos(2) t = 0.1 s , x = 10 m 处质点处质点位移位移速度速度加速度加速度 2100c