高数泰勒公式PPT课件

1、1主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第十七讲2二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 第八节一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒 ( taylor )公式 第二二章 3特点:)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题如何提高精度 ?如何估计误差 ?xx 的一次多项式若)(xf是非多项式函数，问是否可用一个

2、n次多项式)(xpn来近似表示?)(xf40)(xexfx由( )(0)(0)f xffx)(1100 xpxxeeex误差)1 ()(1xexrxxxrx)(lim10001lim0 xxexx01lim0 xxe)()(1xoxr)(1xoxex)()(11xrxp即为一次多项式x的高阶无穷小试问)(1222xoxaxex是否成立？即是否求出2a)(1(lim22202xxoxxeaxx2121lim0 xexx特例：特例：5即)()()(2112222xoxpxoxxex22211)(xxxp为抛物线与xey 更为接近问)(2113332xoxaxxex类似方法可得! 313a)()()

3、(! 3121133332xoxpxoxxxex2111()( )()2!xnnnnexxxo xp xo xn 右边的多项式在0的附近可以无限的接近于如何用高次多项式来近似表示已给函数，并给出误差公式呢?( )xf xe61. 求求 n 次近似多项式次近似多项式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令令)(xpn则)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00

4、xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(0202017)0(之间与在nx )( )(10nnxxxr )(2) 1( )(0)(xnrnnnn2. 余项估计余项估计)()()(xpxfxrnn令(称为余项) ,)(0 xrn)(0 xrn0)(0)(xrnn10)()(nnxxxrnnxnr)(1()(011 )(1( )(011nnxnr1022)() 1()( nnxnnr! ) 1()()1(nrnn则有

5、)(0 xrn0)(0 xrn0)(0)(xrnn0 x)01(之间与在xx)102(之间与在x8)()()(xpxfxrnn10)()(nnxxxr! ) 1()()1(nrnn)0(之间与在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxr)()()1()1(xfxrnnn时的某邻域内当在mxfxn)() 1(0)0(之间与在xx10! ) 1()(nnxxnmxr)()()(00 xxxxoxrnn9公式 称为 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 .)(xf公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 .泰勒中值定理泰勒中值定理 :内具有的某开区间在包含若),

6、()(0baxxf1n直到阶的导数 ,),(bax时, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xrn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxr则当)0(之间与在xx10公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(peano) 余项余项 .在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxr注意到* 可以证明: 阶的导数有直到在点nxxf0)( 式成立11特例特例:(1) 当 n = 0 时,

7、 泰勒公式变为)(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可见)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxr 误差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx12称为麦克劳林（麦克劳林（ maclaurin ）公式）公式 ., ) 10(,00 xx则有)(xf)0(fxf)0( 1) 1

8、(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(mxfn则有误差估计式1! ) 1()(nnxnmxr2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上由此得近似公式13二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xrn!22x其中)(

9、xrn! ) 1( n) 10(1nxxe14)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xrm其中)(2xrm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm!) 12(m12mx154224642024612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近1

10、612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin42246420246xysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近17xy xysin ! 33xxy o五、小结1 1. .t tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ; 18xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小结1 1. .t ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;19xy xysin ! 33xx

11、y ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o五、小结1 1. .t ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;20 xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o五、小结1 1. .t ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;212 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .222 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .232 2. .t tayloraylor 公式的

12、数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .242 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .252 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .262 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .272 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .282 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .292 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-

13、局部逼近局部逼近. .302 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .312 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .322 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .332 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .342 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .352 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .3

14、62 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .37! )2(2mxmxxfcos)()3(类似可得xcos1!22x!44x)(12xrm其中)(12xrm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx38) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xrn其中)(xrn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n39) 1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22

15、x33xnxn)(xrn其中)(xrn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n类似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(k401. 利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限例例1 计算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用41例例2 2 求xxxxeixx30sin1sinlim解：解： 用函数的麦克劳林展开式求此极限 22! 21xoxxex 43!

16、 3sinxoxxx 4323sinxoxxxxex 3233203limxxxxoxxxix3142.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必塔法则不方便 !2x用泰勒公式将分子展到项,x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox2x43)(2216941xox 例例3. 求43例例4 设111( )1xxf xxe，求0lim( ).xf x解解11ln( )ln(1)1xf xxx 22211lnxoxxx210

17、)(limexfx2ln(1) xxx4411)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(2. 利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例4. 证明).0(82112xxxx证证:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx45例例5 5 设当1.)x( )0,(1)2,(1)3fxff ( )0f x 1,)x( )f x1x 21( )(1)(1)(1 +( )1)2f xffxfx）（！212

18、3(1)( )(1)2xfx23(1)53xx(2)10f (1,2)( )0.f(1)20f( )0f x ，有证明在时，至少有一个实根。在处展开成一阶泰勒公式因此 ，根据连续函数零点而此使得的一个实根。 证明证明 将定理可知，至少存在一点为2. 利用泰勒公式证明方程根的存在性利用泰勒公式证明方程根的存在性46内容小结内容小结1. 泰勒公式泰勒公式其中余项)(0nxxo当00 x时为麦克劳林公式麦克劳林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xrn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxr)0(之间与在xx472. 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 ( p139 p140 ),xe, )1ln(x,sin x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1) 近似计算(3) 其他应用求极限 , 证明不等式 等.(2) 利用多项式逼近函数 , xsin例如48作业作业p141 1（2） ; 3；4 ; 5 ; 6； 7 49泰勒泰勒 (1685 1731)英国数学家, 他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(171