2-3隐函数和参数方程求导.

1、i、 和、差、积、商的求导法则ii、反函数的导数iii、 复合函数的求导法则iv、 初等函数的导函数2.设/(x) = (x-a(x),其中卩(兀)在 x=a 处连续, 在求 fa)时，下列做法是否正确？因厂(x)X0(x)+(X 一 o)0(x)故 fa) =(p(a)正确解法：广=lim=limI)於)x-a x-a XT。x a=lim(p(x) =(p(a)x3设 f =x(x -1 )(x - 2)(x - 99),求广(0).解：方法 1 利用导数定义.八 0)=吧/(x)-/(0)x-0= lim(x-l)(x-2)-(x-99) = -99! xfO方法 2 利用求导公式.fx

2、) = (xy. (x - lXx - 2). -(x - 99)+ x(x_lXx_2)(x_99)Y. p0) = -99!e请阅读p98例13, |P 101例17, 19,20sin2x例 18：设函数/(x)二* x，求 A(x)0,x = 0解：当 X H 0 时，宀、zsin2x、(2sin xcosx)x sin2xf M = () =2xsin 2x sin2x当绎 QU 伽寸,若用导数极限定理/+(0) = .=/(%) = 2-1 = 1f /)悝.诂尸 n 希也用影三 XAXTO人y - arcsin /x -F f(arcrg-),求y，X11丄11y僅-丁X 2+2

3、f(u)f(u)(-)Jl-X 2. . I X-di)2 Jx-x，x +1第二章隐站裂牝彖赦方程求导相果变化率一、 隐函数的导数二、 由参数方程确定的函数的导数三、 相关变化率一、隐函数的导数若由方程 F(x,y) = O 可确定 y 是 x 的函数则称此 函数为隐函数.由 y 二 fw 表示的函数，称为显函数.例如x_八 =0可确定显函数7 = 3 1二X y5-ly- x - 3x7=0 可确定 y 是 x 的函数， 但此隐函数不能显化.隐函数求导方法：F(X,JM) = 0*两边对 x 求导尸(比刃二 0(含导数 y的方程) dx例 1 求由方程卩-+刃=0 所确定的隐函数解得字=：

4、V，由原方程知 x =O,J=O, dx x+e所求切线方程为，一； = -（“一；）即 x + y-3 = U法线方程为 T = T即 y“书上例 2 自己看y 的导数字，字dx dx解方程两边舷求导,练习：（2008 2009期期中）求翳对数求导法观察函数才,尸严”（x + 4ye方法：先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导 方法求出导数.对数求导法 适用范围：多个函数相乘和壽指函如（X）心的情形设 y=y （x） 由方程 exy+y3-5x-0 所确定2例 3 设 y = x“（x0）,求 y解 等式两边取对数得 In j =sinx -Inx上式两边对 x 求导得jcosxlnx +

5、 sinx-yx= j(cosxlnx+sinx) xMX(x + 1) X X 1_p.,例 4 设*(“4)订求八解等式两边取对数得lnj = ln(x + l)+ ln(x -1) - 21n(x + 4) - x 3上式两边对X求导得=- +y x +1 3( x - 1) x + 4匕辱1丄+_(x + 4)2exx + 1 3(x-l) x + 4xs,nx(cosxlnx +S，11Remark:1)对幕指函数 y = zzv可用对数求导法求导:ny = vnuIFn tw vv = v lnz/ + ywy = “ ( vrlnz/ 4-)注意： y =lnu v + vw11

6、z 按指数函数求导公式按離函数求导公式三、由参数方程所确定的函数的导数称此为由参数方程所确定的函数.例如消去参数若参数方程确定 y 与 x 间的函数关系,问题：消参困难或无法消参如何求导?在方程 F中,设函数 r = 0具有单调连续的反函数 T =0(x), :.y =i/4(Pl(x)再设函数 x =(p(t).y =肖(/)都可导、且(/)工 0.由复合函数及反函数的求导法则得dy；dx dt dx dt dx mf(t)L、卩-=-dtdx dxdt例 5 求摆线严厂皿)在心轨的切线方程.y =a(l cosf)dy如 w 当 F时,x=a(:-1), y=a所求切线方程为= x-a(-

7、l)即 y=x+a(2-)asint _ sin/a-acosr I cost n sin-21-cos-2例 6.求心形线 p = l+sin 0 在点 0 =彳处的法线方程解利用直角坐标与极朋标的关系，有：x = p cos = （1 + si n 0） cos 0y = psin = （1 +sin0）sin0dy _ （I + sin。）sin。 _ sin20 +cos。dx （l+sin）cos0 cos 26?-si nO 当&諾时：x=L+週,尸迺+（字=-】32424 办所以：法线方程为 +丄+44例 7 不计空气阻力，初速度吟发射角 a 发射炮弹,x = vor c

8、os a运动方程为1y = v(/sma-g/-求炮弹在时刻%的运动方向;(2)炮弹在时刻 r的速度大小解(1)在/。时刻的运动方向即切线方向,可由斜率來反映dy( (W詁丁Posina-=-= dx (v0/ cosafv0cosavosina-g/ov0cosa找出相关变量的关系式对/求导得相关变化率之间的关系式 !在人时刻炮弹的速度为、#；+#；=xv（；-2vo/osina + g 7；三、相关变化率x = x(Z), y = y(t)为两可导函数之间有联系相关变化率问题解法：北之间也有联系祢为相关变化率(2)炮弹在人附刻沿 x*轴方向的分速度为=:叫sina-g求出未知的相关变化率例

9、& KlOm 的梯了斜靠在墙上，顺墙卜滑。 L1 知 X 梯子的上端离地|fi|6m 时，梯子上端沿 墙面卜滑的速率为 2m/s,问此时梯 F 卜端滑 动的速率是多少？解；设时刻，梯子卜端离墙向 x,上端离地 Ihiy, 因梯子的长度为 10m 故：x2+ y2= 100 关于 f 求导，得到相关变化率： c dx r dy八clxy dvdt dtdtx dt当 y mb = 8,学“2,代入得半二dtdt即梯 f 下端以 1.5 加舶速率向右滑行例 8气球从离开观察员 500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 14()m/min ,当气球高度为 500 m 时,观察员 视线的仰角增

10、加率是多少？解：设气球上升 f 分后其高度为爪仰角为 a,则tana =500 两边对 f 求导sec2a. =丄丛P c5(X)sec2cr = I + tan2adr 50() d/已知 “ =140m min , h = 5()()m 时，tana = 1,sec2a = 2, dt空=-140 =0.14 (rad/min)dt 2 500练习:设于表的分针长10mm,时针长6mm,两针尖之间的距离长为/，问，当2点时，/关于时间的变化率是多少？练习:y(x)=xx求导数解：两边収对数得In y = x - In x=x In x In xx x1 In x-f- x一xy = xe-xv(ln2x-F lnxd)x内容小结1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导yy= X)lnx + x2. 对数求导法：适用于彖指函数及某些用连乘,连除表示的函数3. 参数方程求导法极坐标方程求导4