高中数学典型例题解析：第四章数列-学案

1、第四章 数列§4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n项，.3.通项公式：一般地，如果数列an的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2

2、,然后用递推关系逐一写出数列中的项.7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示 8.等差中项:如果，这三个数成等差数列，那么我们把叫做和的等差中项 二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(1，2，3，n)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列an的前n项的和Sn与an之间的关系：若a1适

3、合an(n>2),则不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为，若令A，Ba1，则An2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲例1已知数列1，4，7，10，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的

4、通项公式；（2）指出1+4+（3n5）是该数列的前几项之和. 例2 已知数列的前n项之和为 求数列的通项公式。2 / 13例3 已知等差数列的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于 。 例4等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求； 例5已知一个等差数列的通项公式an=255n，求数列的前n项和； 例6已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前项和的公式吗？ 例7已知： （） （1） 问前多少项之和为最大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 例8项数是的等差数列，中间两项为是方程的两根，求证此数列的和是方程 的根。 （）四、典型习题导

5、练1已知，求及。2设，求证：。3.求和: 4.求和： 5.已知依次成等差数列，求证：依次成等差数列.6.在等差数列中， ，则 （       ）。A72B60C48D367. 已知是等差数列，且满足，则等于_。8.已知数列成等差数列，且，求的值。§4.2等比数列的通项与求和一、知识导学1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示2. 等比中项：若，成等比数列，则称 为 和 的等

6、比中项3.等比数列的前n项和公式： 二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0.2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.4.在已知等比数列的a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.6.

7、等比数列an的通项公式an=a1qn-1可改写为.当q>0，且q1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列an的图象是函数的图象上的一群孤立的点.7在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲例1 已知数列的前n项之和Sn=aqn（为非零常数），则为（）。A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列 例2 已知等比数列的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于. 例3 求和：a+a2+a3+an. 例4设均为非零实数， 求证：成等比数列且公比为

8、。 例5在等比数列中，求该数列前7项之积。 例6求数列前n项和 例7从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？ (2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？四、典型习题导练1.求下列各等比数列的通项公式：1) a1=-2, a3=-82) a1=5, 且2an+1=-3an 3) a1=5, 且2.在等比数列，已知，求. 3.已知无穷数列， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的， （3）这

9、个数列的任意两项的积仍在这个数列中。4.设数列为求此数列前项的和。5.已知数列an中，a1=-2且an+1=Sn，求an ,Sn6.是否存在数列an，其前项和Sn组成的数列Sn也是等比数列，且公比相同？7.在等比数列中，求的范围。§4.3数列的综合应用一、知识导学1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1

10、）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求Sn还是求an.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.二、疑难知识导析 1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；3.等差数列中, am=an+ (nm

11、)d, ; 等比数列中，an=amqn-m; 4.当m+n=p+q（m、n、p、q）时，对等差数列an有：am+an=ap+aq；对等比数列an有：aman=apaq；5.若an、bn是等差数列，则kan+bbn(k、b是非零常数)是等差数列；若an、bn是等比数列，则kan、anbn等也是等比数列；6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9）仍是等差（或等比）数列；7.对等差数列an,当项数为2n时，S偶-S奇nd；项数为2n1时，S奇S偶a中（n）；8.若一阶线性递推数列an=kan1+b（k0,k1）,则总可以将其改写

12、变形成如下形式:(n2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；三、经典例题导讲例1设是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明：。例2 一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米） 例3 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？例4求数列的前n项和。 例5求数列前n项和 例6设等差数列an的前n项和为Sn，且，求数列an的前n项和 例7大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）四、典型习题导练1在1000，2000内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？2某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)3已知数列中，是它的前