第17讲多项式环与根的扩域

1、第第16讲讲 多项式环与根的扩域多项式环与根的扩域求根的前提是求根的前提是 根的存在性根的存在性. 2.5 多项式环与根的扩域多项式环与根的扩域如果如果 f(x) 在在F上没有根上没有根, 是否有是否有F的扩域的扩域 E 使得使得多项式的求根问题是应用中广泛存在的多项式的求根问题是应用中广泛存在的. 问问题题设设 f(x) 是域是域 F 上的一个多项式。上的一个多项式。 f(x) 在在 E 上有根上有根？如果如果 这样的扩域这样的扩域 E 存在，怎样把存在，怎样把 E 找出来找出来？E 与与 f(x) 有何关系？有何关系？2.5 多项式环与根的扩域多项式环与根的扩域(1) 生成子域生成子域,

2、对求对求E不适用不适用(?)问题问题因此因此, 首先讨论多项式环首先讨论多项式环Fx的理想和极大理想的的理想和极大理想的把把 E 找出来就是构造新的域找出来就是构造新的域. 已知的方法有已知的方法有(2) 在交换环上在交换环上, 利用极大理想构造商域利用极大理想构造商域.与多项式与多项式 f(x)有关的交换环有多项式环有关的交换环有多项式环Fx，结构结构特征特征 在交换环在交换环 R 中中, (a) = aR = Ra.域域F上的多项环上的多项环Fx是主理想环是主理想环证明思想证明思想定定理理N = (m(x)每个理想都是主理想的环称为主理想环每个理想都是主理想的环称为主理想环.设设N是是Fx

3、 的非零理想的非零理想, 求求 m(x) N 使得使得=m(x)Fx=q(x)m(x): q(x)Fxf(x) = q(x)m(x) + r(x), r(x)=0 或者或者 0 (r(x) (m(x). 可设可设m(x)是中一个是中一个次数最低次数最低的多项式的多项式 f(x)N, 设设 证证明明由由 N 是是 Fx 的理想及的理想及 m(x)、 f(x) Nr(x) = f(x) m(x)q(x) N m(x)Fx.r(x)=0, 故故f(x) = q(x)m(x) m(x)Fx. N是非零理想是非零理想, 则中有非零多项式，则中有非零多项式，反之，反之， 由由 N 是是 Fx 的理想及的理

4、想及 m(x)N 得得N m(x)Fx. 得得 r(x) N.由由 m(x) 的极小性得的极小性得2.5 多项式环与根的扩域多项式环与根的扩域 设设F是域是域, N=(m(x), 则则商环商环 Fx N =r(x)+N: r(x)Fx, (r(x) (m(x) 0命题命题证明证明f(x) = q(x)m(x) + r(x), 若若 m(x) 0, f(x)Fx, 设设 f(x) + N = r(x) + N 若若 m(x)=0, 则命题显然成立则命题显然成立. r(x)=0 或者或者 0 (r(x) (m(x). 定义定义 2.6 子环、理想和同态定理子环、理想和同态定理设是环设是环,如果如果

5、M R, 且且 H R =H 或或 H=R. R.则则R/I是域是域I是是R的极大理想的极大理想. 定理定理 设设R是交换环是交换环, I是是R的理想的理想, 则称则称 M 是是 R 的的 极大理想极大理想.f(x)在在Fx中不可约中不可约.是是Fx的极大理想的极大理想主理想主理想 (f(x)命题命题证证明明必要性必要性 假设有非平凡分解假设有非平凡分解 f(x)=h(x) g(x),则则( f(x) (h(x),( f(x)是是Fx的极大理想的极大理想 ( f(x)=(h(x),或或(h(x)=Fx, ( f(x)= (h(x),或或(h(x)=0,与与 f(x)=h(x) g(x)是非平凡

6、分解矛盾是非平凡分解矛盾.所以所以, f(x)在在Fx中不可约中不可约.若有若有( f(x) (h(x), 则则h(x) | f(x) 充分性充分性 设设f(x)在在Fx中不可约中不可约 ( f(x)= (h(x),或或(h(x)=0,( f(x)=(h(x),或或(h(x)=Fx,所以所以, f(x)是是Fx的的极大理想极大理想.推论推论 Fx( f(x)是域是域 f(x)在在Fx中不可约中不可约.证明证明 令令 K=a=a+(p(x): aF, 则则 E=Fx(p(x)可看作可看作F的扩域的扩域, p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + an xn.定理定理 设设n次多项式次多项式 p(x)Fx 不可约不可约, 则则且且 x = x+(p(x) E是是 p(x) 的根的根. 所以所以, 可以把可以把 E 看作看作F的的扩扩域域, 即可用即可用 a 代替代替 a. 设设F K. (a a 就是一个同构映射就是一个同构映射)把把 E中的元素中的元素 x 代入代入 p(x) 得得所以所以, x 是是 p(x) 的根的根. 得证得证. p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + an xn = p(x) = 0.2.5 多项式环与根的扩域多项式环